现在回到人的例子，因为数还比较小，相对也简单一些。


让人数得更快一些，那么0.1秒能数一个数吗？似乎不能，所以就是快慢也是有限的。


现在假定这个人做事很慢，比如一个一年只能数一个数；
从出生开始，100岁就意味着数100个数（不计较边界问题）。


那么100就是他按照这种方式数数的能力，是上限。


有了上限，那么下限呢？把人从这个模型中抽象掉。
并把它称之为计数器。去掉人这个约束之后，就剩下100为上限的计数能力。
这个能力意味着什么？


这个能力意味着，意味着这个计数器，作为观察者而言，它能够把一个单位分成最小的单位，
能够分成最小单位的份数，也不能超越100这个值。


换句话说，他除了认识1到100之内的数之外，不认识别的东西，而在这个范围内，能够
达到的最小即实现，就是1/100，也就是一百分之一。

这个可能不是那么直观。
但是考虑一下，你手上有1,2,3一直到100，你要把它们细分为更小的存在，那么你是选择100分成更小的，还是选择1分成更小的，哪个更小？显然选择1，分成100份更小。


但是你也许会问，1既然是单位了，怎么还有更小的？这又是一个分支：我们知道1米是单位，但是仍然存在1毫米，这也是一种对于单位的理解：这个单位是浮动的，或者说，你说它是多少即是多少，是你决定的。而这种单位其实就是实数域上的单位概念。


还有一种单位，就是自然数意义上的单位，这个单位就是数论意义山的单位。而对于这种单位而言，最小的就是1，不是1/100。

这回按照图片发帖，看看百度系统怎么处理。

至此，我们可以识别两种系统，每种系统都有两个可用的数值。第一种实数系统，最大值100，最小值1/100；
第二种自然数系统，最大值100，最小值1。


让我们暂时先考虑前者。有了最大值和最小值，能做什么事情？


让我们提出一个“尖锐的问题”吧：如果计数器的最大计数能力为100，那么在这个计数能力上，增加最小的计数能力，会出现什么情况？

也就是说，
100+1/100
等于多少？


等于一百又一百分之一？
没错。但是别忘了，计数器模型抽象于人的计数能力，或者说，这个计数器是有限计数器。一百又一百分之一，超出了它的计数能力。者就像是，你要求一个死人去数数一样，这是没法实现的。


那么，对于这个有限计数器（任何计数器其实都是有限的，前面已经说过了），它要对这个数值计数的话，那只能“发生在下一辈子”了。


什么叫做“下一辈子”？无论是计数器的下一辈子还是人的下一辈子，都是一个意思，就是“从零开始”。


这是对于实数单位的情况，对于自然数单位的情况，则可以考虑一个只有时针的24小时钟表。
当它走到了23点，再往下走，就是24点。没错，而24点，从来都不叫作24点，而是叫作0点。


也就是说，对于这两种情况而言：
100+1/100=0
23+1=0

你可能认为，我偷换了0的概念。
因为先前说到0，是没有什么“从零开始”这个意思的。只有“没有”或者“没看到”（包括永远看不到）两种情况。


但是考虑到下一辈子，就意味着这一辈子的结束，你就能明白，对于这一辈子而言，就是永远看不到了。
所以这个从零开始，符合第二种意思的后一个选项。


而实质上，若你能知道，“不存在不存在的东西“或者“只有不存在才是不存在的”，那么你就知道，“没有”和“没看到”（包括永远看不到），本质上是一样的。这可能会让你想到“存在即被感知”，不是这样的。或者说，狭义存在可以这么理解，广义存在不能这么理解。所以综合狭义和广义，这句话不能这么说。


我没有偷换0的概念。或者说，在这个语境下，我们正在定义0是什么东西：它不是什么也没有，它有些时候是没有
产生足够被观察到的效果，有些时候是受限的观察者怎么也观察不到效果（下辈子能观察到），而综合起来，
不是不存在，而是没有被投射到观察者认为的有效论域中的效果。


所以你大可以认为，所有你能想出来的东西，都已存在，正存在，将存在。而它还“没存在”，可能是你错过了，也可能是没到时候，也可能就在你眼皮底下却没看到。

写出100+1/100=0的人，肯定是“数学没学好”的，是不是？
这就和写出1=0一样，没有道理。


但对于有限计数器而言，这既是它会观察到的事实。而从哲学导出一切计数器（狭义存在）的本质就是有限计数器。那么，没有办法，只能当做一个现实去接受。也就是说，这种情况，无论在物理现实还是在数学意义上都是普遍存在的。而能做的，则是需要一种方式，去描述这个现象。以便于掌握和应用这个规律。

如果你较真，上述描述还是有问题的。


一个从1数到100的计数器，它能知道自己的计数能力为100吗？
它数都100的那一刻，它的此次周期就结束了。
到底是99，还是99.1，还是99.9，它怎么能知道？它知道的那一刻和它结束的那一刻重合，存在一个极其细微
的时间间隔，保证了它不可能获得真正精确的值，也就是100。这就有点像是测不准原理的情况了。


所以对于它自己而言（因为抽象于人的模型，所以我们可以允许它具有人的智能），它是无法测定自己的
计数能力的。但是它知道这个数是有限的。
所以，它可以用方程来描述这种“超过了我的能力”的情况，并且，也可以试着从这种情况来判断自己的能力极限。


显然是，你得用米尺，才能量半米，你用20厘米的尺，没法量50厘米。所以要度量自己的极限，就必须超越自己的
极限。而这又是不可能的。确实很矛盾，但这个问题，能解决。或者说，是可以有一种方式来表达的。


用方程的形式来写：计数器认为自己的最大计数能力为x，最小计数能力为1/x。
无论x为何值，
x+1/x
的结果一定，且最接近超出了自己计数能力的位置。而这个位置，就是“下辈子”。
也就是说，它可以写出方程：


x+1/x=0

x+1/x=0


x是什么东西？很好办，算一下吧：
x+1/x=0
x * x + 1/x * x = 0
x^2 + 1 = 0
x^2 = -1
x=sqrt(-1) ;sqrt：求平方根
x = +/- i


到倒数第二步的时候，问题就很清楚了。
最后一步，一切都明了了。


而这个故事，就是虚数单位i的来源。就是我从12岁开始，一直寻找了二十多年之后，找到的那个答案。


当物体的运动速度超过光速，它的相对时间会出现纯虚数。我的学习机算不了复数。它给了我一个ERROR。
这个ERROR不能给我满意的解释：它没说明白，这个时间到底是多少？
那么现在我知道了，这个时间，也就是ti，意味着，“t辈子”（至于是谁的一辈子为标准，不是数学问题了，
在物理问题上可以讨论。）


所以，虚数单位i是什么？它（体现的）就是观察者的寿命。而它到底等于多少，观察者用自己的时间单位度量它，是没有有效结果的。只能用另一个观察者的时间单位来度量它。在这个例子里面，是100，或者说100年。

我希望有人能够以这种方式，像讲故事一样，在我学习复数的第一课，就告诉我虚数单位i是什么东西。


显然这是过去的事情了。如果对于我来说再发生一次，那也得是下辈子的事情了。


但是自此之后，你可以把这个故事讲给那些像我这样或者不像我这样的孩子：这比较于-1的平方根这种定义而言，才是普通人能够听懂的方式。


另外，不要怪罪i的发明者或者先前的数学家们，不是他们不告诉你，而是他们从数学中发现这个东西的时候，
也并不知道这后面的原因。


如果这个故事你懂了，那么我相信，见到复数的时候，你就自然知道它在说什么了，你也会用了，也能基于它创造新的东西了。而若这一点可以实现，我先前说到的目的，就达成了。

在这个基础上，再回来看那些数学上极难的东西：


比如说，欧拉公式，
e^(Pi*I)+1=0
有人说，它叫做“上帝方程”。现在再看，它和上帝可有任何关系？


没有什么关系。上帝若真的存在，祂便是无限本身。
而这个方程显示出来的是有限性（I决定的）的增量过程在复平面上的投射存在周期性，
或者说，有限性如何决定了两个层面上的周期性的问题。


再比如说，当你看到
lim(1/x)
x->Inf
那么，基本上你就可以扔掉极限运算了，因为这个数，就是1/i；也就是，当x趋向于无穷（对于观察者来说的无穷仍然是有限量，只是这个量没法测量），对于观察者来说，它最大就是自己的测量能力i，而它的倒数就是最小测量能力
1/i，所以你直接用1/i替换这个极限即可。当然要注意的是，不是每一种情况下，这个i都能做平方等于-1的转换。


回忆一下前面所说的，这就是前面所说的，初等数学和高等数学之间的那个代沟，而这个就是弥补代沟的解。

实际上有了这些基础之后，很多事，不需要我说。
若你研究，你自己就能做到。


除非这个根本就是错的：然而它怎么错？在写出
x+1/x=0
之后，就没有错的余地了。如果你把所有的故事都扔掉，没问题，
你会回到对虚数原来的理解（-1的平方根），以及后面的复数理论
和引用都成立。你不扔掉它，你只是得到一个新的认识而已，你怎么错？


无论如何复数（以及实际上它所延伸到的高等数学的方方面面）在数学上
已经不是什么新概念了，它已经被反复的证实其正确性和可用性。


剩下的，则是基于它的过去，能走多远的问题。


那么在这个问题上，我希望这个故事，能够有所帮助。

今天的任务就完成这些吧。


下一次要说什么我也不知道。想到什么说什么吧。

我继续写。
正如士大夫精神，所谓修齐治平，并不适合每个人一样，一片文章并不可能适合于每一个读者。
若真的可以做到适合每一个读者，那恐怕只有无字的天书了。


对于这种情况，我能给出的建议是，若你对相关问题感兴趣，不妨提出，大家一起讨论，或者你直接把我推翻，都没有问题，因为这是学术，学术应该如此。就事论事，不超出这个范围。


当然也有很多时候，许多东西还是会放关联到一起，使得学术问题变得复杂：比如我尝试消解虚数单位给我的理解造成的困难，而若消解了这个困难，也消解了它的神秘感，这对于倾慕于数学的吧友而言，恐怕有所打击。


正如如果我用化学和物理去解读爱情，那么恐怕一定会遇到爱情的死忠粉提出抗议。
又正如用科学去解释并融合宗教，那么很多宗教的信仰者会觉得失去精神家园。


然而，请意识到，没有人要针对你。请以实事求是，具体问题具体分析的态度来理解这些话。
寻找一个不受自己影响的视角基本上无法实现，但寻找一个尝试理解他人立足点的视角，是可以的。

这个世界就是这样：多样性如同一个光谱，含有所有的颜色。
不同的人生活在一起，说实话，并不那么理想：既实现了多样性，又没有各种层面上的冲突。


多样性和冲突恐怕本来就是矛盾的。
而这种矛盾，又不像学术问题那样，可以通过证明其中一个是对的，另一个不对的方式来解决。
因为那矛盾的后面是具有不同趋向和需求的真正的人。


但是我们讨论的真的不是人的问题，所以请尽量就事论事的讨论问题本身吧。

我的目标在于，寻找一个尽可能可以被广泛理解的方式，来解读艰深的科学。
可以料想的是，读者之中有相当多的人，都具有很好的科学素养。
但是，请再想一遍：你的科学素养不代表一个十二岁小学生的科学素养，若你要给她一个解释，你该如何做？你的科学素养不代表一个文科学生的科学素养，如果你要给一个文科学生解释，你会选择用哪层面上的知识？


再或者说，真正问你自己，那些你所学的东西，真的理解了吗？


我曾经的一位导师，也是我的老板，给我提出了一个要求：那时候，我在他的公司研究神经编译器的题目，他有一次找我，要我给他解释我研究的东西到底是什么东西。这个问题给我难倒了。因为我知道他不是研究这个的，而我要说的所有的概念，他基本上都没有。我怎么给他解释？（你可能认为这个解释很容易，但你坐在我的位置上你才能明白满头是汗是什么意思）


我解释不了，我也说了原因。但是他给了我这样一句话：如果你真的明白你所做的事情，那你就能用最简单的语言，给任何人讲明白；或者你根本不明白。

他这句话给我的影响很深。这么多年来，我基本上把这一点当做一个标准。


有一定科学素养的吧友可能会为我不平：因为这个要求，基本上没人能做到，尤其是在现代科学如此分化的情况下。但是你回忆一下，古人有写诗给老太太听，保证她能听懂的故事。为什么这么做？


因为能写出这种诗，基本上把所有的负担都放在自己身上，给读者留下的理解上的困难是零，那么，这种诗，是不是就可以成为所有人都有可以享用的艺术？而不再有什么高山流水的问题。


然而科学的存在，不正是为了所有人都能享用其成果吗？


所以你要尝试从这些文字中找到高山流水，那么这个可能会让你失望。但是，如果你乐意放下自己，愿意站在一个12岁小学生的角度去重新理解那些你所认为的早已明白的一切，我相信，你会看到一片全新的天地。

还是回到有限性和无限性继续讨论数理问题。


存在总是有限的，然而有限的存在，又是无限本体的体现，按照派生类总是继承基类属性的原则，那么有限的存在实际上还是无限的。有限的存在如何无限呢？就是通过重复来实现的。


这样的话，有限计数器的计数极限和重复计数的次数，就同时定义了周期长度和重复频率。
两个概念总是同时被定义，这是因为他们也只能以此相互依存而生。所以本质上来说，有限性和无限性，生和灭，有和无，所有矛盾双方，都一定是同时定义的。


这可能就是吧友所提到的矛盾问题：数理逻辑应当是没有矛盾的。但你就笨想，用不着任何高深的理论：那个没有矛盾的东西可曾出现过一次？就包括在数学领域，如此完美的地方。


千万不要把任何科学变成宗教：宗教需要虔诚的信仰，科学需要的是实事求是。


还是以虚数单位的通常定义来讲：你可能找到任何一个确定性的数量，其平方为负一？


想破了天也是没有的。负负得正的运算规则已经定了，那么按照这个数学中的普世原则来说，真的没有东西的
平方等于负一。虚数的诞生，岂不是和整个数学，或者说，数学的完美相对立？

还是那句话，今天你接受的这些东西只是大家都接受了而已。


再进一步的说，若没有九年义务教育，没有十二年初等教育这些基础设施的普及，你见到这个东西会什么反应？
而你的反应，就是当年绝大多数数学家的反应（请勿认为我不了解数学的发展史）。


但是它终于被接受了，理由也很简单，要解4次以上的高次方程，没有它不行，或者更严格的说，这个东西在解方程的过程中出现，哪怕结果都没有它，它还是会出现。那么它的出现就不是人为定义的，而是自然的。


换句话说，它代表了一个实际存在的规律，而不是人类假想的任何东西。
但若你不知道这段历史，你一定会认为它是人为定义的。


现实的情况是，绝大多数人不知道这段历史，就算不认为是人为定义的，也没有除了人为定义之外的任何好的解释：《复变函数》第一章给出了一个解释，它是基于球面的。然而当你把它用在傅里叶变换的时候，你怎么用这个解释？这就是实际上的让一个只有听觉而没有视觉触觉的人，去理解圆周率，而现在你拿给他的是一个球。

真的没有任何一个数的平方是负一。


但它又必然存在（否则解方程中出现的现象就没法解释了），那么能说的，就只能是，它不是一个数。
数学中不是一个数的东西很多，最简单的是符号：变量，函数，运算符等等。能选择的东西是有限的。


但先不要着急说它是什么，你有没有想过什么是-1？以及为什么负负得正？


这都是最基本的东西，对吧？对于今天来说是这样。可是当年引入负数的时候，
数学界也是一边倒的反对。


它又出现了，因为什么？不是因为数学的完美，正好是因为它的不完美。如果数学已经完美，
那它就不该出现。可是它不出现，解决不了实际的问题。


数学一定抽象于现实世界。但是你有没有想过，它的抽象可能“抽大了”？或者“抽小了”？


现实中没有的东西，人把它赋予了数学，而现实中有的东西，它反而没有很好的表达。


什么东西最完美呢？刚出生的，你的孩子最完美，原因也很简单，他最像你，仅此而已（不信的话，
同样是初生的婴儿，你再看一眼别人的孩子你就明白了了，这种“完美的程度”差得太远了）。


还是那句话，不要把科学当成宗教：宗教可以完美，也不用承担说错了的责任（其实很多时候是有责任的），
但科学不行。事实就是事实。


所以现实中存在平方等于负一的那种东西，你就必须接纳它，虽然在你早期抽象的时候，没有考虑过这种情
的存在（而这就是你早期创立数学时候的不完美）。同理，如果你认识到，那个你一直扔掉的无穷小，也可能
真的产生累积的效果而不能扔掉，那么你还得按照实际的情况调整数学。


所以数学的完美存在吗？或者说任何学科的完美存在吗？可能存在，而可以预想的是，它在“无穷远处”。