求教一个数学问题
在下近日在研究一些数论相关的问题。其中肯定绕不过一些难题。
比如费马大定理：
X^n+Y^n=Z^n
对于整数X,Y,Z还有n，在n>2的时候无解（没有可以使得等式成立的X，Y，Z，n）
比如费马大定理：
X^n+Y^n=Z^n
对于整数X,Y,Z还有n，在n>2的时候无解（没有可以使得等式成立的X，Y，Z，n）
这些数论难题的难度，对于数学爱好者或者相关工作者而言，是不用多说的。
所以，基本上没有人会建议一个普通高中生或者本科生研究这类题目：因为可能要用一辈子也无法解答，毕竟让一个人一辈子就这么“必然失败”，确实很不负责任。
所以我这里提出的问题，显然也不是要任何人来解答这个问题本身。
所以，基本上没有人会建议一个普通高中生或者本科生研究这类题目：因为可能要用一辈子也无法解答，毕竟让一个人一辈子就这么“必然失败”，确实很不负责任。
所以我这里提出的问题，显然也不是要任何人来解答这个问题本身。
X^3+Y^3=Z^3 无整数解，这个应该不难，似乎也能在网上找到初等证明。
X^4+Y^4=Z^4的证明我没有找到。
而这么一个个的证明也是无穷无尽的。所以这种“纯体力活”是条死路。
那么，能不能转换一下，换一个题目来考虑：
说X^3+Y^3=Z^3无整数解，那么
X^3+Y^3+Z^3=W^3 （左边3个整数的平方的和）
有没有整数解？
这可能根本就是一个常识，或者早就有人解答了。但是，在网络上输入数学公式还是比较困难，很多公式都是在图片里面，而这类图片的识别率是比较低的（不知道百度或者Google什么时候会在这方面加强一下）。
如果是这样的话，希望有吧友帮我确认一下，到底这种三元的情况有没有正整数解（因为是数论问题，所以这里的整数只考虑正整数）。
X^4+Y^4=Z^4的证明我没有找到。
而这么一个个的证明也是无穷无尽的。所以这种“纯体力活”是条死路。
那么，能不能转换一下，换一个题目来考虑：
说X^3+Y^3=Z^3无整数解，那么
X^3+Y^3+Z^3=W^3 （左边3个整数的平方的和）
有没有整数解？
这可能根本就是一个常识，或者早就有人解答了。但是，在网络上输入数学公式还是比较困难，很多公式都是在图片里面，而这类图片的识别率是比较低的（不知道百度或者Google什么时候会在这方面加强一下）。
如果是这样的话，希望有吧友帮我确认一下，到底这种三元的情况有没有正整数解（因为是数论问题，所以这里的整数只考虑正整数）。
然后，再扩展一下（如果上述四元方程有正整数解的话）：
X^4+Y^4+Z^4+W^4=A^4
这种5元，4次的方程有无整数解？
说明：用“正整数”而不是“自然数”是为了避免“0是不是自然数”的问题。因为这个问题总是含糊不清，原因可能是数论中对0的处理和其它分支中对0的处理不同造成的。实际上，就从一个普通的认知角度（不需要数学专业的东西）来看，0到底是不是自然数，也是有问题的：0意味着不存在么？如果是的话，那么不存在又是如何存在的呢？否则怎么能出现关于它的描述呢？
X^4+Y^4+Z^4+W^4=A^4
这种5元，4次的方程有无整数解？
说明：用“正整数”而不是“自然数”是为了避免“0是不是自然数”的问题。因为这个问题总是含糊不清，原因可能是数论中对0的处理和其它分支中对0的处理不同造成的。实际上，就从一个普通的认知角度（不需要数学专业的东西）来看，0到底是不是自然数，也是有问题的：0意味着不存在么？如果是的话，那么不存在又是如何存在的呢？否则怎么能出现关于它的描述呢？
再进一步说，
对于n次，n+1元的此类（各元皆是正整数）方程，是不是都有解？
而对于n次，少于n+1元的此类方程，是不是都无解？
如果这个问题可以确认，那么，后面的问题就好办了。
对于n次，n+1元的此类（各元皆是正整数）方程，是不是都有解？
而对于n次，少于n+1元的此类方程，是不是都无解？
如果这个问题可以确认，那么，后面的问题就好办了。
X=Y
X+Y=Z
2元1次，3元1次都是有解的，自不用说。
X^2+Y^2=Z^2
3元2次，也就是求使得勾股定理成立的正整数是有解的（大家最熟悉的一组是3,4,5）。
X^3+Y^3+Z^3=W^3
有没有解，我暂时不知道，但是可以跑个程序试一下。
稍候。
X+Y=Z
2元1次，3元1次都是有解的，自不用说。
X^2+Y^2=Z^2
3元2次，也就是求使得勾股定理成立的正整数是有解的（大家最熟悉的一组是3,4,5）。
X^3+Y^3+Z^3=W^3
有没有解，我暂时不知道，但是可以跑个程序试一下。
稍候。
寻找1000以内的，符合4元3次方程的正整数程序片段（C#）：
注意：此程序片段为尽量表达计算目的，未进行任何优化
const long M = 1000;
for (long x = 1; x <= M; x++)
{
for(long y = 1; y <= M; y++)
{
for(long z = 1; z <= M; z++)
{
for(long w = 1; w <= M; w++)
{
if(x*x*x+y*y*y+z*z*z == w * w * w)
{
Console.WriteLine("{0},{1},{2},{3}",x,y,z,w);
}
}
}
}
}
注意：此程序片段为尽量表达计算目的，未进行任何优化
const long M = 1000;
for (long x = 1; x <= M; x++)
{
for(long y = 1; y <= M; y++)
{
for(long z = 1; z <= M; z++)
{
for(long w = 1; w <= M; w++)
{
if(x*x*x+y*y*y+z*z*z == w * w * w)
{
Console.WriteLine("{0},{1},{2},{3}",x,y,z,w);
}
}
}
}
}
程序算出来的东西，应该没什么问题。
我只验证了第一个，正确，后面的应当同样正确，因为在10^9不会造成长整数（64位有符号）溢出的前提下，用的是同样的算法。
我只验证了第一个，正确，后面的应当同样正确，因为在10^9不会造成长整数（64位有符号）溢出的前提下，用的是同样的算法。
看来百度不满意太长的数据，换一个短一点的：X数到,2，不排除重复数据。
1,6,8,9
1,8,6,9
1,71,138,144
1,135,138,172
1,138,71,144
1,138,135,172
1,242,720,729
1,372,426,505
1,426,372,505
1,426,486,577
1,486,426,577
1,566,823,904
1,720,242,729
1,823,566,904
2,12,16,18
2,16,12,18
2,17,40,41
2,40,17,41
2,142,276,288
2,270,276,344
2,276,142,288
2,276,270,344
2,514,947,995
2,947,514,995
1,6,8,9
1,8,6,9
1,71,138,144
1,135,138,172
1,138,71,144
1,138,135,172
1,242,720,729
1,372,426,505
1,426,372,505
1,426,486,577
1,486,426,577
1,566,823,904
1,720,242,729
1,823,566,904
2,12,16,18
2,16,12,18
2,17,40,41
2,40,17,41
2,142,276,288
2,270,276,344
2,276,142,288
2,276,270,344
2,514,947,995
2,947,514,995
5元4次，当然也可以这样验证。
那么，我为什么会提这个问题呢？
原因在于，如果这个问题能得到肯定得答案，意思是，真真的证明，而不是用数据去堆砌的验证；
那么，我相信，或者说，有很大的把握确信，从这个基础出发，到费马大定理之间有一条捷径。
那么你可能会问的是，既然怀尔斯已经用高深的方法证明了这个定理，那么为什么还有必要再去证明它？
答案很简单：因为我（假定我）看不懂。实际上他的证明我也没有看到。不过根据已有的信息可以知道他大约是
用了椭圆曲线的相关定理获得了最终结果。
然而，这都是同一个问题：问题在于，用一个更复杂的东西证明一个更基本的东西，即便可行，但你终究不能
像用基本的东西证明复杂的东西那样，明白这件事的究竟。因为反过来，用更复杂的东西证明更基本的东西，
你至多只能确认其存在的合理性，而要获得更多东西，更本质的东西，这个方向本来就是反的。
虽然地球是圆的，你总能一直向着北走而走向南方（过了北极点都是南方），继续走就到达南极；虽然宇宙空间的曲率总是保证你最终会环绕到起点，但是，这要多长时间呢？实际上是太久了，最终由很大的概率会成为一个
不可能完成的任务。
所以说，要研究基本问题，应当首选简单易懂的方法。即便用复杂难懂的方法得到结果，实际上还有很长的路要走。
而如果你开始的时候就选择简单易懂的方法，那么，很可能最开始的时候极其困难，但只要一点突破，其它各点
都会自动突破，那么后面的路就好走了。
虽然也很可能赌上一辈子，但从结果上来说，同样的一辈子，这样做若是成功，则更为值得。
那么，我为什么会提这个问题呢？
原因在于，如果这个问题能得到肯定得答案，意思是，真真的证明，而不是用数据去堆砌的验证；
那么，我相信，或者说，有很大的把握确信，从这个基础出发，到费马大定理之间有一条捷径。
那么你可能会问的是，既然怀尔斯已经用高深的方法证明了这个定理，那么为什么还有必要再去证明它？
答案很简单：因为我（假定我）看不懂。实际上他的证明我也没有看到。不过根据已有的信息可以知道他大约是
用了椭圆曲线的相关定理获得了最终结果。
然而，这都是同一个问题：问题在于，用一个更复杂的东西证明一个更基本的东西，即便可行，但你终究不能
像用基本的东西证明复杂的东西那样，明白这件事的究竟。因为反过来，用更复杂的东西证明更基本的东西，
你至多只能确认其存在的合理性，而要获得更多东西，更本质的东西，这个方向本来就是反的。
虽然地球是圆的，你总能一直向着北走而走向南方（过了北极点都是南方），继续走就到达南极；虽然宇宙空间的曲率总是保证你最终会环绕到起点，但是，这要多长时间呢？实际上是太久了，最终由很大的概率会成为一个
不可能完成的任务。
所以说，要研究基本问题，应当首选简单易懂的方法。即便用复杂难懂的方法得到结果，实际上还有很长的路要走。
而如果你开始的时候就选择简单易懂的方法，那么，很可能最开始的时候极其困难，但只要一点突破，其它各点
都会自动突破，那么后面的路就好走了。
虽然也很可能赌上一辈子，但从结果上来说，同样的一辈子，这样做若是成功，则更为值得。
当然这些话不是建议任何人去赌一辈子，而是对于那些对此有所准备的，或者说，已经没有了一辈子的人而言，要赌的话，也赌个大的：什么是大的？费马定理也好，黎曼猜想也好，是大的吗？不是。
它们存在的重要性在于它们所表达的意思，而那个意思才是规律本身。一切研究的本质，都是在寻找规律，寻找本质的规律。这个规律才是大的。若有一天，比如，你证明了黎曼猜想，却说不出黎曼猜想到底要表达什么意思，那么可以说，很遗憾，你并未得到任何真正的东西。
而反过来，若你得到了那个规律，证明黎曼猜想则是必然的。你会清楚的知道你在干什么，你能干什么，你不能干什么，你也能告诉别人，什么是什么，什么事应该怎么办。
而这一点，正是我们的教科书所缺少的东西。
就像我当年学线性代数，一大堆的计算方法（比如上下三角形一类的），一大堆的名词，最后我却不知道那些东西都是干什么用的，从哪来的，是什么意思。那么实际上我就成了做题的机器。显然Mathmatica或者MATLAB做这件事要比我强多了，那么要我何用？
它们存在的重要性在于它们所表达的意思，而那个意思才是规律本身。一切研究的本质，都是在寻找规律，寻找本质的规律。这个规律才是大的。若有一天，比如，你证明了黎曼猜想，却说不出黎曼猜想到底要表达什么意思，那么可以说，很遗憾，你并未得到任何真正的东西。
而反过来，若你得到了那个规律，证明黎曼猜想则是必然的。你会清楚的知道你在干什么，你能干什么，你不能干什么，你也能告诉别人，什么是什么，什么事应该怎么办。
而这一点，正是我们的教科书所缺少的东西。
就像我当年学线性代数，一大堆的计算方法（比如上下三角形一类的），一大堆的名词，最后我却不知道那些东西都是干什么用的，从哪来的，是什么意思。那么实际上我就成了做题的机器。显然Mathmatica或者MATLAB做这件事要比我强多了，那么要我何用？
还是回来讨论数学问题。
要研究物理学（这是我的目的），就逃不开要研究数学。
甚至可以这么说：物理学只是具有更多常数的数学。
（但是老实说，今天的数学，我也看不懂，完全看不懂，尤其是在它彻底脱离物理学，而物理学开始围绕
数学转之后）。
因为一些基本的问题，是物理学问题，更是数学问题。
比如说，若要问，狭义相对论要求物体之间运动的相对速度不能超过光速。
而这个问题最终就会归结为一个直角三角形的三条边的关系。这就是一个数学问题。
而关于直角三角形，我们最熟悉的就是勾股定理。
a^2+b^2=c^2
你不觉得很奇怪吗？它为什么意味着一个三角形？或者说，三角形到底是什么东西？
因为狭义相对论中的三角形，三条边混合了速度和时间在一起，却仍然符合
(sinA)^2+(cosA)^2=1
的关系，而‘这个关系就是’
a^2+b^2=c^2
直觉上来说，不相同的东西是没法再一起运算的，而速度和时间被放在一起构成了一个直角三角形的方程，
这意味着，速度或者说长度和时间有着更内在的联系。
而如果不知道三角形是什么东西，那么这种联系将无法得知。
遇到了这个问题，实际上就已经开始和费马定理沾边了。
这些显然都不是巧合，而是内在必然联系的体现。
要研究物理学（这是我的目的），就逃不开要研究数学。
甚至可以这么说：物理学只是具有更多常数的数学。
（但是老实说，今天的数学，我也看不懂，完全看不懂，尤其是在它彻底脱离物理学，而物理学开始围绕
数学转之后）。
因为一些基本的问题，是物理学问题，更是数学问题。
比如说，若要问，狭义相对论要求物体之间运动的相对速度不能超过光速。
而这个问题最终就会归结为一个直角三角形的三条边的关系。这就是一个数学问题。
而关于直角三角形，我们最熟悉的就是勾股定理。
a^2+b^2=c^2
你不觉得很奇怪吗？它为什么意味着一个三角形？或者说，三角形到底是什么东西？
因为狭义相对论中的三角形，三条边混合了速度和时间在一起，却仍然符合
(sinA)^2+(cosA)^2=1
的关系，而‘这个关系就是’
a^2+b^2=c^2
直觉上来说，不相同的东西是没法再一起运算的，而速度和时间被放在一起构成了一个直角三角形的方程，
这意味着，速度或者说长度和时间有着更内在的联系。
而如果不知道三角形是什么东西，那么这种联系将无法得知。
遇到了这个问题，实际上就已经开始和费马定理沾边了。
这些显然都不是巧合，而是内在必然联系的体现。
回忆起来，学生时代是我最幸福也是最痛苦的时代。
幸福在于，每个周末的一天或者两天，我可以把自己埋在书店里面学习我想要学的东西（也许图书馆更好吧，但我只去过一次，我所知道的是，图书馆基本上没有新书）。痛苦在于，在这套教育体制之下，必须把大量的时间都放在成绩上，这按说也不是问题，更大的问题在于，我发现我越来越学不明白。
按说应该是越学越明白才对？为什么会出现越来越不明白？再后来，我发现，实际上同学之中没人明白。只有更不明白的，没有更明白的。而分数基本上代表你接近机器的程度。而作为一个小程序员（现在是老程序员）而言，这不是对人的能力的赞扬，这是对人的能力的侮辱。
再后来，我发现不仅仅同学不明，实质上老师也不明白。我曾经问物理老师关于E=mc^2是怎么来的。专门在网上下载了一个初等解释，自己翻译，交给老师。老师给了我一个好评！然后，就没有然后了。
其实今天看来不是老师不明白，而是那时候高中生没有微积分基础，她认为给我讲了我也不会明白（我其实已经自学了微积分，但那个证明是初等证明）。或者是她认为那个证明不对。而这就意味着，相对论质能方程，至少在她看来，是没有初等证明的。
真的就没有初等证明吗？没有初等的，高等的怎么建立起来的？
有趣的是，高等的就是这么建立起来的：高等数学引入极限，导数，微分积分等等，如果你认真研究，你会发现，
它就是“跳起来的”。高等数学和初等数学，中间是有“代沟”的。
这个代沟使得很多东西，不只是学生不懂，老师也不懂。这些话可能说起来不那么清楚，因为你可能没法看到
我现在看到的这些情况。换句话说，大多数人不知道缺少了什么，也正因为不知道缺少了什么，也基本上不会
去找它，这种缺失，可能持续很长时间都没人看得见。
幸福在于，每个周末的一天或者两天，我可以把自己埋在书店里面学习我想要学的东西（也许图书馆更好吧，但我只去过一次，我所知道的是，图书馆基本上没有新书）。痛苦在于，在这套教育体制之下，必须把大量的时间都放在成绩上，这按说也不是问题，更大的问题在于，我发现我越来越学不明白。
按说应该是越学越明白才对？为什么会出现越来越不明白？再后来，我发现，实际上同学之中没人明白。只有更不明白的，没有更明白的。而分数基本上代表你接近机器的程度。而作为一个小程序员（现在是老程序员）而言，这不是对人的能力的赞扬，这是对人的能力的侮辱。
再后来，我发现不仅仅同学不明，实质上老师也不明白。我曾经问物理老师关于E=mc^2是怎么来的。专门在网上下载了一个初等解释，自己翻译，交给老师。老师给了我一个好评！然后，就没有然后了。
其实今天看来不是老师不明白，而是那时候高中生没有微积分基础，她认为给我讲了我也不会明白（我其实已经自学了微积分，但那个证明是初等证明）。或者是她认为那个证明不对。而这就意味着，相对论质能方程，至少在她看来，是没有初等证明的。
真的就没有初等证明吗？没有初等的，高等的怎么建立起来的？
有趣的是，高等的就是这么建立起来的：高等数学引入极限，导数，微分积分等等，如果你认真研究，你会发现，
它就是“跳起来的”。高等数学和初等数学，中间是有“代沟”的。
这个代沟使得很多东西，不只是学生不懂，老师也不懂。这些话可能说起来不那么清楚，因为你可能没法看到
我现在看到的这些情况。换句话说，大多数人不知道缺少了什么，也正因为不知道缺少了什么，也基本上不会
去找它，这种缺失，可能持续很长时间都没人看得见。
黎曼能够想到绕着数轴做积分，如果是你的话，你会不会这么做？
谁都知道，数轴意味着指向无穷远，你怎么从无穷远绕回来？
而他这么做却产生了正确的结果。这意味着什么？
不具体的去说是什么，至少可以说，他知道你所不知道的东西。
而这个不知道的东西，很可能就是最根本的，或者说，被跳过的东西。
历史的发展，真的没法跳过。跳过了，恐怕真的得补回来。
不然会会怎么样？不然会发生的就是，始终有一个东西放在那，阻碍你前进，你又看不到它，
结果是你走不了，又不知道为什么。
谁都知道，数轴意味着指向无穷远，你怎么从无穷远绕回来？
而他这么做却产生了正确的结果。这意味着什么？
不具体的去说是什么，至少可以说，他知道你所不知道的东西。
而这个不知道的东西，很可能就是最根本的，或者说，被跳过的东西。
历史的发展，真的没法跳过。跳过了，恐怕真的得补回来。
不然会会怎么样？不然会发生的就是，始终有一个东西放在那，阻碍你前进，你又看不到它，
结果是你走不了，又不知道为什么。
所以想要自由能源，想要反引力，或者说，想要科技走到下一个时代，需要什么？
首先需要的是历史，没有断代，并且你已经尽可能的连接到了事物的本质。
而不是像今天这样：在浮沙上铸高台。
站在前人，或者说，巨人的肩膀上，你绝对可以站得高旺得远，但这不等价于，你能成长成一个一样的，甚至更高的巨人。所以这两者实际上都需要：需要你站在巨人的肩膀上看的更远的同时，实现你自己的成长。
而具体而言，就是钻进去，钻到根上去。在这个一路的溯源过程中，补上那些缺失的东西。最终建立一个统一的平台。在这个平台上发展起来，才是坚实的，和可持续的。
这就是基础研究的重要性。换句话说，一辈子的价值所在。
那么我不得不再说一次：那些嘲笑同类的人，无法担此大任。
首先需要的是历史，没有断代，并且你已经尽可能的连接到了事物的本质。
而不是像今天这样：在浮沙上铸高台。
站在前人，或者说，巨人的肩膀上，你绝对可以站得高旺得远，但这不等价于，你能成长成一个一样的，甚至更高的巨人。所以这两者实际上都需要：需要你站在巨人的肩膀上看的更远的同时，实现你自己的成长。
而具体而言，就是钻进去，钻到根上去。在这个一路的溯源过程中，补上那些缺失的东西。最终建立一个统一的平台。在这个平台上发展起来，才是坚实的，和可持续的。
这就是基础研究的重要性。换句话说，一辈子的价值所在。
那么我不得不再说一次：那些嘲笑同类的人，无法担此大任。
当我給她讲y=x^2的导数的时候，你知道，这必然涉及无穷小的问题。
我自以为推导过程没有问题，但是她却非常迷惑。
我不明白她为什么看不懂。
反复了好几次之后，我发现，她看不懂在这个地方：
当无穷小放在除法运算中，它不能被舍弃，而放在加法运算中，它被舍弃了。
简单说，为什么乘除的时候，它不能为0，加减的时候又必须为0？
那么它到底是0还是不是0？
且不说一个东西是否正确，只说这个东西是否他人能懂。这就分明有一个例子，当这套理论讲给12岁的孩子的时候呀，她不懂。或者说，她没法接受。
那么我是怎么接受的？实际上我根本就没有所谓接受不接受。我只是照着老师的写法，再教给我的孩子而已。
我根本就没想过这个问题。
我自以为推导过程没有问题，但是她却非常迷惑。
我不明白她为什么看不懂。
反复了好几次之后，我发现，她看不懂在这个地方：
当无穷小放在除法运算中，它不能被舍弃，而放在加法运算中，它被舍弃了。
简单说，为什么乘除的时候，它不能为0，加减的时候又必须为0？
那么它到底是0还是不是0？
且不说一个东西是否正确，只说这个东西是否他人能懂。这就分明有一个例子，当这套理论讲给12岁的孩子的时候呀，她不懂。或者说，她没法接受。
那么我是怎么接受的？实际上我根本就没有所谓接受不接受。我只是照着老师的写法，再教给我的孩子而已。
我根本就没想过这个问题。
这个问题仔细考虑，实际上意味着，我们应当怎么理解0：0是什么东西？
也意味着，怎么理解无穷小，无穷小是什么东西？它和0是不是一种东西？
这就是我所说的“跳跃”。从初等数学中并未直接导出无穷小或者无穷大。
极限这个东西是“从天上飞下来的”。
这样你能明白我说的意思了吗？小学生没法理解无穷小为什么一时一样，
那么高中生就理解了？或者大学生就理解了？
根本就没人理解。我最后只能给她这么一个解释：无穷小（在加减运算中）被舍掉了，能够成立，
在于使用微积分建立起来的现代物理学中的工程力学而制造的桥梁建筑等等，没有“立即”塌掉。
但我也得加上一句：也很可能是同样的原因，这些东西持续不了100年。
这是证明吗？这是解释吗？这什么都不是。
也意味着，怎么理解无穷小，无穷小是什么东西？它和0是不是一种东西？
这就是我所说的“跳跃”。从初等数学中并未直接导出无穷小或者无穷大。
极限这个东西是“从天上飞下来的”。
这样你能明白我说的意思了吗？小学生没法理解无穷小为什么一时一样，
那么高中生就理解了？或者大学生就理解了？
根本就没人理解。我最后只能给她这么一个解释：无穷小（在加减运算中）被舍掉了，能够成立，
在于使用微积分建立起来的现代物理学中的工程力学而制造的桥梁建筑等等，没有“立即”塌掉。
但我也得加上一句：也很可能是同样的原因，这些东西持续不了100年。
这是证明吗？这是解释吗？这什么都不是。
那么什么才叫证明？或者说明，或者有意义的解释？或者能让人懂？
你如何给一个，没有触觉，没有视觉，只有听觉并具有正常思维能力的人，去解释什么是圆周率？
如果你的解释他能懂，这就是我所说的让人懂。
他都没有视觉，没有触觉，只有听觉，他怎么感知圆？没法建立圆的观念，如何理解圆周率？
一定有办法。
为什么？因为圆周率不只是一个视觉或者触觉上的几何观念，它是物理学和数学的根基之一。
也就说，基本上没有它不出现的地方。
比如说，如果他能听到声音，它就一定能理解声波。那么这里就有圆周率。剩下的是你如何把他听到的声音，
最终解释为圆周率如何体现的问题。
你的解释成功与否，由他的理解程度来决定。
而现在我遇到的问题，完全不是感知问题，而是逻辑冲突，我如何自圆其说？
而另一方面，使用微积分所建立的桥梁就是没有倒塌，没有因为无穷小被舍弃而出现任何问题（不意味着永远）。
那么这只能说明，我（不知道其他人）没有明白这东西到底是怎么回事。
然后我再用这个东西，算东算西，不管我写出的方程多漂亮，都是在浮沙上铸高台。
很不幸，恐怕做这件事的，不止我一个。
你如何给一个，没有触觉，没有视觉，只有听觉并具有正常思维能力的人，去解释什么是圆周率？
如果你的解释他能懂，这就是我所说的让人懂。
他都没有视觉，没有触觉，只有听觉，他怎么感知圆？没法建立圆的观念，如何理解圆周率？
一定有办法。
为什么？因为圆周率不只是一个视觉或者触觉上的几何观念，它是物理学和数学的根基之一。
也就说，基本上没有它不出现的地方。
比如说，如果他能听到声音，它就一定能理解声波。那么这里就有圆周率。剩下的是你如何把他听到的声音，
最终解释为圆周率如何体现的问题。
你的解释成功与否，由他的理解程度来决定。
而现在我遇到的问题，完全不是感知问题，而是逻辑冲突，我如何自圆其说？
而另一方面，使用微积分所建立的桥梁就是没有倒塌，没有因为无穷小被舍弃而出现任何问题（不意味着永远）。
那么这只能说明，我（不知道其他人）没有明白这东西到底是怎么回事。
然后我再用这个东西，算东算西，不管我写出的方程多漂亮，都是在浮沙上铸高台。
很不幸，恐怕做这件事的，不止我一个。
一万个所以，都指向同一个方向，就是本源。
物理的本源，数学的本源，计算机是个新学科，根基不太深，但是作为教学，也需要基于它的本源。
这是牢固的根基，在这个根基上发展，才是牢固的发展：必然发展，必然成就。也就是说，科学发现也好，发明也好，才不再具有这么多的偶然性。
而基于本源的表达，解释，说明，才是更多人能够读懂的道理。
作为这个原则的实例，不妨说说，在上述n元方程有解，缺元方程无解成立的条件下，后面是什么样的。
物理的本源，数学的本源，计算机是个新学科，根基不太深，但是作为教学，也需要基于它的本源。
这是牢固的根基，在这个根基上发展，才是牢固的发展：必然发展，必然成就。也就是说，科学发现也好，发明也好，才不再具有这么多的偶然性。
而基于本源的表达，解释，说明，才是更多人能够读懂的道理。
作为这个原则的实例，不妨说说，在上述n元方程有解，缺元方程无解成立的条件下，后面是什么样的。