【切磋】《分形学——双向逻辑的哲学思维论》
分形（fractal）是20世纪70年代发展起来的用于描述一些不能用传统的欧几里得几何描述的复杂几何图形的一门新学科。分形图形的特点是极不规则，分布不均，但在各种放大和缩小的尺度上都有着近乎相似的形状，如天空的浮云、起伏的地面、连绵的山峦等。
分形的应用很广，几乎涉及包括、物理、化学、生物学、材料科学、地质学、水文气象、医学、地理学、天文学等众多学科。大到宇宙星际，小到微生物粒子，可以说，这些貌似高深莫测的数学分形，就遍布于我们的生活中。有此，我把貌似神秘的分形学介绍给大家，并以分形学的理论来研究哲学。
【云层不是圆形的，山不是圆锥体，海岸线不是圆圈，树皮不是光滑的，光不是以直线传播的。——曼德尔布罗特，1983年】
欧几里得几何学的研究对象为几何物体，但它们具有特征长度。比如，零维的点、一维的线段、二维的面、三维的立体乃至四维的时空。自然界中很多的物体具有特征长度，如人有高度，山有海拔高度等。
欧几里得几何学的研究对象为几何物体，但它们具有特征长度。比如，零维的点、一维的线段、二维的面、三维的立体乃至四维的时空。自然界中很多的物体具有特征长度，如人有高度，山有海拔高度等。
分形（fractal）——就是海岸线、云彩、花草树木等复杂的自然形体，它们具有分数维空间。
维数是几何学的基本概念。欧氏几何研究规则的图形，长度、面积、体积是它们最合适的特征量。但对海岸线这类不规则的分形，长度、面积和体积已经不能解释它了。维数才是最好的量化表征。
维数是几何学的基本概念。欧氏几何研究规则的图形，长度、面积、体积是它们最合适的特征量。但对海岸线这类不规则的分形，长度、面积和体积已经不能解释它了。维数才是最好的量化表征。
分形在自然界中无所不在，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等，都表现了客观世界特别丰富的现象。
关于分形的定义：
最简单的分形定义可能就是为一个物体在任意放大后都是自相似（none-similarity）。事实上，具有纵观上的对称性，每个小部分都能再现整体。这可能是一个最放松的定义。然而，这抓住了自相似的最基本的特征。
最简单的分形定义可能就是为一个物体在任意放大后都是自相似（none-similarity）。事实上，具有纵观上的对称性，每个小部分都能再现整体。这可能是一个最放松的定义。然而，这抓住了自相似的最基本的特征。
如果我们把图形的细微部分放大后，还可观察到图形的每一小片段和整体本身都具有相同的结构，局部和放大的过程可以重复下去，就称此物体具有自相似性。具有自相似性质的物体就是分形。自相似性质还可以分为绝对自相似和统计自相似。
绝对自相似的例子可以举一片蕨类植物的叶子，从大的分叉到小的分叉，再到更小的分叉，每次分叉都和原来的叶子有绝对的相似性。每一个蕨类的叶是整个蕨类的缩小。
自然界中具有统计自相似的物体很多，比如云的边界、墙的裂缝、复杂的海岸线等。这些自然的分形有同样的统计特点，即放大后都有同样程度的不规则性。它们具有统计上的自相似性。
拓扑学（topology）是近代发展起来的研究连续性和连通性的一个数学分支，它也叫橡皮几何学。拓扑学研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质。在20世纪，拓扑学发展成为数学中一个非常重要的领域。
拓扑学也叫地志学，即是和研究地形、地貌相类似的有关学科。拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的解析几何（平面几何、立体几何）不同。
举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化，也可能在拓扑空间里是等价的。
在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。
比如画在橡皮膜上的两条相交曲线，对橡皮膜施以拉伸或挤压等形变，但在不破裂或折叠时，它们“相交”始终是不变的，几何图形的这种性质称为拓扑性质。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。
一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，它的变换就是拓扑变幻，就存在拓扑等价。球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。画在橡皮膜上的三角形，经过拉伸或挤压可以变为一个圆，从拓扑学的观点看，三角形和圆有相同的拓扑维数。
对于任何一个海岛的海岸线，经过某些形变总可以变为一个圆，因而海岸线与圆具有相同的拓扑维数（记为DT）。在欧氏几何中，圆作为一种曲线，它的欧几里德维数DE＝1，所以海岸线的拓扑维数也是1。可以论证对一个几何图形，恒有DT＝DE。和欧几里得空间的维数是整数一样，拓扑维数DT的值也为整数。
拓扑维数也叫覆盖维数（covering dimension）。在拓扑意义下，一条直线和任意弯曲的曲线是等价的，它们具有相同的拓扑维数。一个有洞的物体经过任意变形，那个洞还会在那里。只不过洞的大小和形状发生了改变。一个物体的拓扑维数经过变形不会改变。拓扑维数就是用小圆盘覆盖物体的能力大小来计算的。