史瓦西时空自由落体参考系的讨论
我们知道参考系是类时线汇，于是考虑静态球对称时空，比如我们地球周围的时空
考虑这样的时空中全体自由落体观者世界线组成的参考系，先不计算简单的想一下：
首先，由于时空球对称，显然每张等r面都正交于过该面的自由落体世界线，
于是按照常理自由落体参考系应该是无旋的超曲面正交系；
其次，想象匀加速直线运动位移差随时间增大，不同世界线的自由落体观者之间距离随时间增加而减小
自由落体参考系应该不是刚性系，并且类似引力波时空具有剪切
下面我们用计算证明猜想的这三点
考虑这样的时空中全体自由落体观者世界线组成的参考系，先不计算简单的想一下：
首先，由于时空球对称，显然每张等r面都正交于过该面的自由落体世界线，
于是按照常理自由落体参考系应该是无旋的超曲面正交系；
其次，想象匀加速直线运动位移差随时间增大，不同世界线的自由落体观者之间距离随时间增加而减小
自由落体参考系应该不是刚性系，并且类似引力波时空具有剪切
下面我们用计算证明猜想的这三点
首先为计算Bab=▽bZa+AaZb先要确定自由落体观者的四速Z^a
这就需要求解复杂难解的测地线方程，好在史瓦西时空对称性颇高，有4个killing场，我们拿出一个就足以
我们用类时killing场（∂/∂t）^a与观者四速做内积，这个内积的负值表示测地线上单位质量具有的能量
这个内积在测地线上为常数，由于史瓦西时空渐进平直无穷远处这个内积显然为1
于是整条线上这个内积都是1，解得
这就需要求解复杂难解的测地线方程，好在史瓦西时空对称性颇高，有4个killing场，我们拿出一个就足以
我们用类时killing场（∂/∂t）^a与观者四速做内积，这个内积的负值表示测地线上单位质量具有的能量
这个内积在测地线上为常数，由于史瓦西时空渐进平直无穷远处这个内积显然为1
于是整条线上这个内积都是1，解得
然后用度规降指标得到降指标四速Za=gabZ^b，接下来用类似
《史瓦西时空静态参考系的膨胀，扭转和剪切的计算》
（传送门：https://tieba.baidu.com/p/6360424820）中用的方法来计算Bab，
考虑自由落体观者走测地线，四加速Aa=0，故Bab=▽bZa
查书得史瓦西时空克氏符，考虑非0项指标只能是0或1，结合四速分量Z0=-1和Z1=（1-2M/r）^-1
经过一番复求导可得四速协变导数分量只有两个非0：Z0；0和Z1；1
以此计算Bab
如图
《史瓦西时空静态参考系的膨胀，扭转和剪切的计算》
（传送门：https://tieba.baidu.com/p/6360424820）中用的方法来计算Bab，
考虑自由落体观者走测地线，四加速Aa=0，故Bab=▽bZa
查书得史瓦西时空克氏符，考虑非0项指标只能是0或1，结合四速分量Z0=-1和Z1=（1-2M/r）^-1
经过一番复求导可得四速协变导数分量只有两个非0：Z0；0和Z1；1
以此计算Bab
如图
由于Bab里边只喊相同矢量的并矢项，所以Bab是对称张量
于是θab=Bab≠0，即自由落体参考系非刚性系；
并且ωab=0，即自由落体参考系无旋，为超曲面正交系
σab≠0，至于其具体表达式不难求解，鉴于计算麻烦我就不算了，有兴趣的读者可以自行计算
综上自由落体参考系是非刚性、存在剪切的超曲面正交系，与事先的猜测相符
于是θab=Bab≠0，即自由落体参考系非刚性系；
并且ωab=0，即自由落体参考系无旋，为超曲面正交系
σab≠0，至于其具体表达式不难求解，鉴于计算麻烦我就不算了，有兴趣的读者可以自行计算
综上自由落体参考系是非刚性、存在剪切的超曲面正交系，与事先的猜测相符
注2.我们求得的膨胀θ=-√（2M/r）/2r＜0，
这意味着自由落体参考系的任意两个临近观者之间的距离随时间增加而减小
然而根据自由落体时间反演的物理事实，
在史瓦西时空静态坐标系具有不同径向坐标的两个临近观者之间距离随时间增加而增大
这个问题出在临近观者之间距离变化的贡献不止有θ提供，还有剪切σab
剪切对距离变化的贡献仅依赖于σab的三个正交归一特征矢量对应的特征值
（每个特征矢量的特征值唯一决定临近观者在该特征矢量方向上的距离变化）
有兴趣的读者可以在计算出σab后求一下特征值
这意味着自由落体参考系的任意两个临近观者之间的距离随时间增加而减小
然而根据自由落体时间反演的物理事实，
在史瓦西时空静态坐标系具有不同径向坐标的两个临近观者之间距离随时间增加而增大
这个问题出在临近观者之间距离变化的贡献不止有θ提供，还有剪切σab
剪切对距离变化的贡献仅依赖于σab的三个正交归一特征矢量对应的特征值
（每个特征矢量的特征值唯一决定临近观者在该特征矢量方向上的距离变化）
有兴趣的读者可以在计算出σab后求一下特征值