欧几里得
欧几里得30、戴德金分割——从算术角度，回答了“无理数是什么”
…结构理论：起源最早可追溯（sù）至20世纪初。当时西方有一部份学者对现代文化分工太细，只求局部、不讲整体的“原子论”倾向感到不满，他们渴望恢复自文艺复兴以来中断了的注重综合研究的人文科学传统，因此提出了“体系论”和“结构论”的思想，强调从大的系统方面（如文化的各个分支或文学的各种体裁）来研究它们的结构和规律性…
（…溯：1.沿水逆流而上。2.往上推求和回想…
…追溯：逆流而上，向江河发源处走，比喻探索事物的由来——两国交往的历史可以～到许多世纪以前…）
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。此外，他还研究了结构理论的基础，使之成为现代代数的中心分支之一。现今数学上的许多命题和术语，如环、场、结构、截面、函数、定理、互换原理等，都是与他的名字联系在一起的。
…归纳：见《欧几里得27~28》…
…数学归纳法：见《欧几里得29》…
…映象：见《欧几里得29》…
戴德金于1916年2月12日在不伦瑞克去世。
…不伦瑞克：德国中北部城市…
尽管戴德金的关于数学基本理论的许多重要思想在他生前并未被人们充分认识，但是…它们影响了现代数学的发展…
…
戴德金在数学上有很多新发现，不少概念和定理以他的名字命名…他的主要贡献之一是：在实数和连续性理论方面，他提出“戴德金分割”，给出了无理数及连续性的纯算术定义。
…定义：对一种事物的本质特征的确切而简要的说明…
…无理数的纯算术定义：？…
“欧多克斯曾给出无理数的几何定义（见《欧几里得19~20》）——欧多克斯曾从几何角度回答了‘无理数是什么’这个问题…”现代百姓说。
“这里，戴德金给出了无理数的算术定义…”现代百姓接着说，“戴德金用‘戴德金分割’，从算术角度，回答了‘无理数是什么’这个问题…”
【戴德金分割】
假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B…A中的每一个元素都小于B中的每一个元素…任何一种分类方法称为有理数的一个分割。
…集：集合；聚集…
…合：结合到一起；凑到一起；共同（跟“分”相对）…
…集合：1.许多分散的人或物聚集在一起。2.数学名词。指若干具有共同属性的事物的总体。如全部自然数就成一个自然数的集合，一个单位的全体人员就成一个该单位全体人员的集合。简称“集”…
…元素：代数中，指组成联合的各个部分，如723和312中的7，2，3，1。几何中，指构成图形的各个部分，如构成三角形的边和角。化学上指具有相同核电荷数（即相同质子数）的同一类原子的总称，如氧元素、铁元素…
““英文中，‘最大’写作‘maximum’…即——‘最大’的英语单词是‘maximum’…”现代学者接着说，“数学家为了简洁的表示‘最大’，常用‘max’…‘max’这个符号，就来源于英语单词‘maximum’…”
请看下集《欧几里得31、“戴德金分割”少儿版：少儿都能学会的高等数学…》”
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…结构理论：起源最早可追溯（sù）至20世纪初。当时西方有一部份学者对现代文化分工太细，只求局部、不讲整体的“原子论”倾向感到不满，他们渴望恢复自文艺复兴以来中断了的注重综合研究的人文科学传统，因此提出了“体系论”和“结构论”的思想，强调从大的系统方面（如文化的各个分支或文学的各种体裁）来研究它们的结构和规律性…
（…溯：1.沿水逆流而上。2.往上推求和回想…
…追溯：逆流而上，向江河发源处走，比喻探索事物的由来——两国交往的历史可以～到许多世纪以前…）
1888年，戴德金提出了算术公理的完整系统，其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式，把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。此外，他还研究了结构理论的基础，使之成为现代代数的中心分支之一。现今数学上的许多命题和术语，如环、场、结构、截面、函数、定理、互换原理等，都是与他的名字联系在一起的。
…归纳：见《欧几里得27~28》…
…数学归纳法：见《欧几里得29》…
…映象：见《欧几里得29》…
戴德金于1916年2月12日在不伦瑞克去世。
…不伦瑞克：德国中北部城市…
尽管戴德金的关于数学基本理论的许多重要思想在他生前并未被人们充分认识，但是…它们影响了现代数学的发展…
…
戴德金在数学上有很多新发现，不少概念和定理以他的名字命名…他的主要贡献之一是：在实数和连续性理论方面，他提出“戴德金分割”，给出了无理数及连续性的纯算术定义。
…定义：对一种事物的本质特征的确切而简要的说明…
…无理数的纯算术定义：？…
“欧多克斯曾给出无理数的几何定义（见《欧几里得19~20》）——欧多克斯曾从几何角度回答了‘无理数是什么’这个问题…”现代百姓说。
“这里，戴德金给出了无理数的算术定义…”现代百姓接着说，“戴德金用‘戴德金分割’，从算术角度，回答了‘无理数是什么’这个问题…”
【戴德金分割】
假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B…A中的每一个元素都小于B中的每一个元素…任何一种分类方法称为有理数的一个分割。
…集：集合；聚集…
…合：结合到一起；凑到一起；共同（跟“分”相对）…
…集合：1.许多分散的人或物聚集在一起。2.数学名词。指若干具有共同属性的事物的总体。如全部自然数就成一个自然数的集合，一个单位的全体人员就成一个该单位全体人员的集合。简称“集”…
…元素：代数中，指组成联合的各个部分，如723和312中的7，2，3，1。几何中，指构成图形的各个部分，如构成三角形的边和角。化学上指具有相同核电荷数（即相同质子数）的同一类原子的总称，如氧元素、铁元素…
““英文中，‘最大’写作‘maximum’…即——‘最大’的英语单词是‘maximum’…”现代学者接着说，“数学家为了简洁的表示‘最大’，常用‘max’…‘max’这个符号，就来源于英语单词‘maximum’…”
请看下集《欧几里得31、“戴德金分割”少儿版：少儿都能学会的高等数学…》”
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欧几里得31、“戴德金分割”少儿版：少儿都能学会的高等数学…
【戴德金分割】1
假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B…A中的每一个元素都小于B中的每一个元素…任何一种分类方法称为有理数的一个分割。
…集：集合；聚集…
…合：结合到一起；凑到一起；共同（跟“分”相对）…
…集合：1.许多分散的人或物聚集在一起。2.数学名词。指若干具有共同属性的事物的总体。如全部自然数就成一个自然数的集合，一个单位的全体人员就成一个该单位全体人员的集合。简称“集”…
…元素：算术中，指组成联合的各个部分，如723和312中的7，2，3，1。几何中，指构成图形的各个部分，如构成三角形的边和角。化学上指具有相同核电荷数（即相同质子数）的同一类原子的总称，如氧元素、铁元素…
“在数学集合（简称‘集’）中，元素指组成集的每个对象…”现代学者说，“换言之，集合由元素组成…”
…换言之：换句话说…
“组成集合的每个对象被称为组成该集合的元素，如集合{1，2，3}中，1、2、3都是集合的一个元素…”现代学者接着说。
…A中的每一个元素都小于B中的每一个元素：？？？…
“A中的元素可以用a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7…表示，B中的元素可以用b1、b2、b3、b4、b5、b6、b7…表示，”现代学者说，“‘A中的每一个元素都小于B中的每一个元素’指的是，在‘a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7…’这些元素中，随便挑一个元素，让它和B中的元素去比较…它必须小于B中的元素…”
“这里…‘B中的元素’…也是随便挑的…”现代学者接着说。
【戴德金分割】2
对于任一分割，必有3种可能，其中有且只有1种成立。
“这句话是什么意思呢…”现代学者说，“这句话的意思是：对于任一分割，一定有3种可能，其中有、且只有1种成立…”
【戴德金分割】3
分割的3种可能…第1种：A有一个最大元素a，B没有最小元素。例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数。
“这句话是什么意思呢…”现代学者说，“我们细嚼慢咽的理解…”
“‘A有一个最大元素a’…怎么理解呢…”现代学者说。
“英文中，‘最大’写作‘maximum’…即——‘最大’的英语单词是‘maximum’…”现代学者接着说，“数学家为了简洁的表示‘最大’，常用‘max’…‘max’这个符号，就来源于英语单词‘maximum’…”
“‘A有一个最大元素a’，可以写作a（max）…”现代学者继续说，“a（max）的写法是我发明的…”
“按说应该写的a大一点，max小一点…但是这样的话，发到网上就会变成‘amax’…”现代学者最后说。
…
“由于发明数学符号的人常用英语，所以他们用英文单词简洁的表达数学知识…”现代学者说，“我们作为汉藏语系的人…将来要是有出息了…可以发明一些汉语符号…简洁的表示自然科学中，新发现的知识、规律…”
““数学家用‘min’表示‘最小’，‘min’源自英语单词minimum（最小的）…”现代学者说，“那么，B有一个最小元素b，这个‘最小元素b’就可以表示成b（min）…”
请看下集《欧几里得32、数学符号与语言的联系；人类对“简洁”的喜爱；戴德金分割3》”
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【戴德金分割】1
假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B…A中的每一个元素都小于B中的每一个元素…任何一种分类方法称为有理数的一个分割。
…集：集合；聚集…
…合：结合到一起；凑到一起；共同（跟“分”相对）…
…集合：1.许多分散的人或物聚集在一起。2.数学名词。指若干具有共同属性的事物的总体。如全部自然数就成一个自然数的集合，一个单位的全体人员就成一个该单位全体人员的集合。简称“集”…
…元素：算术中，指组成联合的各个部分，如723和312中的7，2，3，1。几何中，指构成图形的各个部分，如构成三角形的边和角。化学上指具有相同核电荷数（即相同质子数）的同一类原子的总称，如氧元素、铁元素…
“在数学集合（简称‘集’）中，元素指组成集的每个对象…”现代学者说，“换言之，集合由元素组成…”
…换言之：换句话说…
“组成集合的每个对象被称为组成该集合的元素，如集合{1，2，3}中，1、2、3都是集合的一个元素…”现代学者接着说。
…A中的每一个元素都小于B中的每一个元素：？？？…
“A中的元素可以用a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7…表示，B中的元素可以用b1、b2、b3、b4、b5、b6、b7…表示，”现代学者说，“‘A中的每一个元素都小于B中的每一个元素’指的是，在‘a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7…’这些元素中，随便挑一个元素，让它和B中的元素去比较…它必须小于B中的元素…”
“这里…‘B中的元素’…也是随便挑的…”现代学者接着说。
【戴德金分割】2
对于任一分割，必有3种可能，其中有且只有1种成立。
“这句话是什么意思呢…”现代学者说，“这句话的意思是：对于任一分割，一定有3种可能，其中有、且只有1种成立…”
【戴德金分割】3
分割的3种可能…第1种：A有一个最大元素a，B没有最小元素。例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数。
“这句话是什么意思呢…”现代学者说，“我们细嚼慢咽的理解…”
“‘A有一个最大元素a’…怎么理解呢…”现代学者说。
“英文中，‘最大’写作‘maximum’…即——‘最大’的英语单词是‘maximum’…”现代学者接着说，“数学家为了简洁的表示‘最大’，常用‘max’…‘max’这个符号，就来源于英语单词‘maximum’…”
“‘A有一个最大元素a’，可以写作a（max）…”现代学者继续说，“a（max）的写法是我发明的…”
“按说应该写的a大一点，max小一点…但是这样的话，发到网上就会变成‘amax’…”现代学者最后说。
…
“由于发明数学符号的人常用英语，所以他们用英文单词简洁的表达数学知识…”现代学者说，“我们作为汉藏语系的人…将来要是有出息了…可以发明一些汉语符号…简洁的表示自然科学中，新发现的知识、规律…”
““数学家用‘min’表示‘最小’，‘min’源自英语单词minimum（最小的）…”现代学者说，“那么，B有一个最小元素b，这个‘最小元素b’就可以表示成b（min）…”
请看下集《欧几里得32、数学符号与语言的联系；人类对“简洁”的喜爱；戴德金分割3》”
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欧几里得32、数学符号与语言的联系；人类对“简洁”的喜爱；戴德金分割3
【戴德金分割】3
分割的3种可能…第1种：A有一个最大元素a，B没有最小元素。例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数。
“这句话是什么意思呢…”现代学者说，“我们细嚼慢咽的理解…”
“‘A有一个最大元素a’…怎么理解呢…”现代学者说。
“英文中，‘最大’写作‘maximum’…即——‘最大’的英语单词是‘maximum’…”现代学者接着说，“数学家为了简洁的表示‘最大’，常用‘max’…‘max’这个符号，就来源于英语单词‘maximum’…”
“‘A有一个最大元素a’，可以写作a（max）…”现代学者继续说，“a（max）的写法是我发明的…”
“按说应该写的a大一点，max小一点…但是这样的话，发到网上就会变成‘amax’…”现代学者最后说。
…
“由于发明数学符号的人常用英语，所以他们用英文单词简洁的表达数学知识…”现代学者说，“我们作为汉藏语系的人…将来要是有出息了…可以发明一些汉语符号…简洁的表示自然科学中，新发现的知识、规律…”
…
“其实…即便我们发现新知识了…我们很可能还是用英文字母表示它们…”另一位现代学者说，“因为英文字母更简洁…”
“人类都在用阿拉伯数字，而不是自己语言中的数字…也是这个道理…”现代学者接着说。
“人类喜欢简洁…”现代学者最后说。
…
“A有一个最大元素a——这个‘最大元素a’可以写作‘a（max）’…”现代学者说，“B没有最小元素…”
“就是说，集合A包含a（max）及所有小于a（max）的有理数，集合B包含所有大于a（max）的有理数…”现代学者接着说，“例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数…”
【戴德金分割】4
分割的3种可能…第2种：B有一个最小元素b，A没有最大元素。例如A是所有<1的有理数，B是所有≥1的有理数。
“数学家用‘min’表示‘最小’，‘min’源自英语单词minimum（最小的）…”现代学者说，“那么，B有一个最小元素b，这个‘最小元素b’就可以表示成b（min）…”
“B有b（min），A没有最大元素…即：集合B包含b（min）及所有大于b（min）的有理数，集合A包含所有小于b（min）的有理数…”现代学者接着说，“例如A是所有<1的有理数，B是所有≥1的有理数…”
【戴德金分割】5
分割的3种可能…第3种：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。
“平方等于2的数是分界点…”现代学者说。
“平方等于2的数，就是对2做开方运算后，得出的那个数…”现代学者接着说，“它可以用√2（根号2）表示——这一点，我们在前面《欧几里得23》中已做过详细叙述…”
““这里我们发散一下思维（让思维自由飞翔一下）：比1稍大的有理数，可以写作‘1.000…1’…”现代学者说，“这样的话，有理数就可以分为两个集合：≤1的有理数和≥‘1.000…1’的有理数…”
请看下集《欧几里得33、高等数学并不高深——用初中知识就能理解…》”
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【戴德金分割】3
分割的3种可能…第1种：A有一个最大元素a，B没有最小元素。例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数。
“这句话是什么意思呢…”现代学者说，“我们细嚼慢咽的理解…”
“‘A有一个最大元素a’…怎么理解呢…”现代学者说。
“英文中，‘最大’写作‘maximum’…即——‘最大’的英语单词是‘maximum’…”现代学者接着说，“数学家为了简洁的表示‘最大’，常用‘max’…‘max’这个符号，就来源于英语单词‘maximum’…”
“‘A有一个最大元素a’，可以写作a（max）…”现代学者继续说，“a（max）的写法是我发明的…”
“按说应该写的a大一点，max小一点…但是这样的话，发到网上就会变成‘amax’…”现代学者最后说。
…
“由于发明数学符号的人常用英语，所以他们用英文单词简洁的表达数学知识…”现代学者说，“我们作为汉藏语系的人…将来要是有出息了…可以发明一些汉语符号…简洁的表示自然科学中，新发现的知识、规律…”
…
“其实…即便我们发现新知识了…我们很可能还是用英文字母表示它们…”另一位现代学者说，“因为英文字母更简洁…”
“人类都在用阿拉伯数字，而不是自己语言中的数字…也是这个道理…”现代学者接着说。
“人类喜欢简洁…”现代学者最后说。
…
“A有一个最大元素a——这个‘最大元素a’可以写作‘a（max）’…”现代学者说，“B没有最小元素…”
“就是说，集合A包含a（max）及所有小于a（max）的有理数，集合B包含所有大于a（max）的有理数…”现代学者接着说，“例如A是所有≤1的有理数，B是所有>1的有理数…”
【戴德金分割】4
分割的3种可能…第2种：B有一个最小元素b，A没有最大元素。例如A是所有<1的有理数，B是所有≥1的有理数。
“数学家用‘min’表示‘最小’，‘min’源自英语单词minimum（最小的）…”现代学者说，“那么，B有一个最小元素b，这个‘最小元素b’就可以表示成b（min）…”
“B有b（min），A没有最大元素…即：集合B包含b（min）及所有大于b（min）的有理数，集合A包含所有小于b（min）的有理数…”现代学者接着说，“例如A是所有<1的有理数，B是所有≥1的有理数…”
【戴德金分割】5
分割的3种可能…第3种：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。
“平方等于2的数是分界点…”现代学者说。
“平方等于2的数，就是对2做开方运算后，得出的那个数…”现代学者接着说，“它可以用√2（根号2）表示——这一点，我们在前面《欧几里得23》中已做过详细叙述…”
““这里我们发散一下思维（让思维自由飞翔一下）：比1稍大的有理数，可以写作‘1.000…1’…”现代学者说，“这样的话，有理数就可以分为两个集合：≤1的有理数和≥‘1.000…1’的有理数…”
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欧几里得33、高等数学并不高深——用初中知识就能理解…
【戴德金分割】5
分割的3种可能…第3种：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。
“平方等于2的数是分界点…”现代学者说。
“平方等于2的数，就是对2做开方运算后，得出的那个数…”现代学者接着说，“它可以用√2（根号2）表示——这一点，我们在前面《欧几里得23》中已做过详细叙述…”
“分割的第3种可能，可以简略的叙述为：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有＜√2的有理数，B是所有＞√2的有理数…”现代学者继续说。
【戴德金分割】6
根据大前提（见《欧几里得31》），集合A和集合B合并起来（简称“A和B的并集”）是所有有理数。（√2不是有理数。）
√2又是确确实实存在的一种数。
…
戴德金称第3种分割定义了一个无理数…或者简单的说这个分割就是一个无理数。
前面2种情况中（见《欧几里得32》），分割是有理数。
这样，所有可能的分割（既有有理数，又有无理数）构成了数轴上的每一个点…数轴上的点，统称实数。
“前提是实数和直线上的点有着一一对应关系…”戴德金说。
【戴德金分割】7
思考题：戴德金分割的第4种可能——A有最大元素a，B有最小元素b，例如A是所有≤1的有理数，B是所有≥1.1的有理数。
…有没有这种可能？
思考题简略版：A有a（max），B有b（min），例如A是所有≤1的有理数，B是所有≥1.1的有理数。
…有没有这种可能？
“这是不可能的，因为这样就会出现不存在于A、B两个集合中的有理数（例如上面例子中，1和1.1之间的有理数——1.01，1.001…），这与‘A和B的并集是所有有理数’矛盾…”现代学者说。
…前提：可以推出另一个判断的判断，如三段论中的大前提、小前提（见《欧几里得3》）…
【戴德金分割】8
“这里我们发散一下思维（让思维自由飞翔一下）：比1稍大的有理数，可以写作‘1.000…1’…”现代学者说，“这样的话，有理数就可以分为两个集合：≤1的有理数和≥‘1.000…1’的有理数…”
“这样的话…这个分割…既不是有理数，又不是无理数…”现代学者接着说，“这种分割不是一个数…这种分割是一个单纯的分割——比如，我们把1，2，3，4，5分成{1，2，3}、{4，5}两个集合，就是这样的分割…”
“存在这样的戴德金分割吗？…其实，这样的戴德金分割是不存在滴…”现代学者继续说，“问题的关键点在于‘1.000…1’…”
“‘1.000…1’是什么？…根据大前提，它是有理数——即‘比1稍大的有理数’…可有理数是能准确写出来的数（如整数、分数）…”现代学者最后说，“我们无法准确写出‘比1稍大的有理数’…”
““需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家…”现代学者说，“奇懒无比的的数学家…再次懒出天际…”
请看下集《欧几里得34、不食人间烟火的数学家与直线思维的美…》”
5
【戴德金分割】5
分割的3种可能…第3种：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。
“平方等于2的数是分界点…”现代学者说。
“平方等于2的数，就是对2做开方运算后，得出的那个数…”现代学者接着说，“它可以用√2（根号2）表示——这一点，我们在前面《欧几里得23》中已做过详细叙述…”
“分割的第3种可能，可以简略的叙述为：A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有＜√2的有理数，B是所有＞√2的有理数…”现代学者继续说。
【戴德金分割】6
根据大前提（见《欧几里得31》），集合A和集合B合并起来（简称“A和B的并集”）是所有有理数。（√2不是有理数。）
√2又是确确实实存在的一种数。
…
戴德金称第3种分割定义了一个无理数…或者简单的说这个分割就是一个无理数。
前面2种情况中（见《欧几里得32》），分割是有理数。
这样，所有可能的分割（既有有理数，又有无理数）构成了数轴上的每一个点…数轴上的点，统称实数。
“前提是实数和直线上的点有着一一对应关系…”戴德金说。
【戴德金分割】7
思考题：戴德金分割的第4种可能——A有最大元素a，B有最小元素b，例如A是所有≤1的有理数，B是所有≥1.1的有理数。
…有没有这种可能？
思考题简略版：A有a（max），B有b（min），例如A是所有≤1的有理数，B是所有≥1.1的有理数。
…有没有这种可能？
“这是不可能的，因为这样就会出现不存在于A、B两个集合中的有理数（例如上面例子中，1和1.1之间的有理数——1.01，1.001…），这与‘A和B的并集是所有有理数’矛盾…”现代学者说。
…前提：可以推出另一个判断的判断，如三段论中的大前提、小前提（见《欧几里得3》）…
【戴德金分割】8
“这里我们发散一下思维（让思维自由飞翔一下）：比1稍大的有理数，可以写作‘1.000…1’…”现代学者说，“这样的话，有理数就可以分为两个集合：≤1的有理数和≥‘1.000…1’的有理数…”
“这样的话…这个分割…既不是有理数，又不是无理数…”现代学者接着说，“这种分割不是一个数…这种分割是一个单纯的分割——比如，我们把1，2，3，4，5分成{1，2，3}、{4，5}两个集合，就是这样的分割…”
“存在这样的戴德金分割吗？…其实，这样的戴德金分割是不存在滴…”现代学者继续说，“问题的关键点在于‘1.000…1’…”
“‘1.000…1’是什么？…根据大前提，它是有理数——即‘比1稍大的有理数’…可有理数是能准确写出来的数（如整数、分数）…”现代学者最后说，“我们无法准确写出‘比1稍大的有理数’…”
““需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家…”现代学者说，“奇懒无比的的数学家…再次懒出天际…”
请看下集《欧几里得34、不食人间烟火的数学家与直线思维的美…》”
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欧几里得34、不食人间烟火的数学家与直线思维的美…
“我们知道‘比1稍大的有理数’存在，但是却不能准确写出它…‘比1稍大的有理数’，其实是无理数…”现代学者说。
“‘1.000…1’是一个无理数，那么，戴德金分割的第4种可能里，有理数的两个集合就变成：≤1的有理数和＞1的有理数…”现代学者接着说。
“‘≤1的有理数和＞1的有理数’，这，其实就是戴德金分割的第1种可能（见《欧几里得32》）…”现代学者最后说。
对戴德金分割…网友“汇知园”有自己的思考…
…汇：1.河流会合——～为巨川。2.聚集——～总…
…知：知识…
…园：园子（种蔬菜、花果、树木的地方）…
…汇知园：聚集知识的园子…
“我觉得这部分内容（包括上确界，下确界这些东西），初中生是完全可以理解的…”汇知园说。
…上：1.方位词。位置在高处的——～部。～游。往～看。2.方位词。次序或时间在前的——～卷。～次。～半年…
…界：界限；范围…
…上界：上面的界限；上面的范围…
“数学上的‘上界’…是什么意思？”不明真相的吃瓜网友问。
“…一个实数集合M，如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S，那么就称S是M的一个上界…”网友“陈健聪smile”回答。
“？？？”吃瓜网友。
…smile：英语，意思是“微笑”…
…陈健聪：这可能是网友的真名…
…陈健聪smile：直译…意思是“陈健聪的微笑”“微笑的陈健聪”——这是网友的网名…
“陈健聪smile”的回答太复杂了，现在对它进行剖析…
（…剖析：解剖分析…）
一个实数集合M…
“‘一个实数集合M’…什么意思呢？…我们一点一点理解…”现代学者说。
“‘实数’的英语表达是——real number…”现代学者接着说，“‘real’的意思是‘真实的；实际存在的’，‘number’的意思是数字…”
“‘real number’合起来…意思是‘真实的数字；实际存在的数字’…”现代学者继续说。
“‘集合M’…这又是什么意思？”现代学者最后说。
“说起来，数学家是非常懒的——他们喜欢就地取材；他们从来不愿多想一下…”现代学者说。
“在数学的历史中，人们需要用字母表示数字…”现代学者接着说，“懒得出奇的数学家，便用number里的字母表示数字…”
“n和m，是他们最常用的，表示数字的俩字母…”现代学者继续说。
（“我选择n、m表示数字，不是因为我懒，而是因为——我看到n、m，就会想到number【数字】…”一位数学家说，“这叫‘直线思维’…”
…
“你永远无法理解直线思维的美…”数学家最后说。）
“数学家用m表示数字…”现代学者最后说，“随着时代发展…人们需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’…”
“需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家…”现代学者说，“奇懒无比的的数学家…再次懒出天际…”
““这只是‘多思考一下’的劳动量…不需要花时间、花精力、花钱…但是数学家就是不愿意…”现代学者继续说。
“数学家…真是懒死了…”现代学者最后说。
请看下集《欧几里得35、用初中知识理解高等数学的重要概念——上确界，下确界》”
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“我们知道‘比1稍大的有理数’存在，但是却不能准确写出它…‘比1稍大的有理数’，其实是无理数…”现代学者说。
“‘1.000…1’是一个无理数，那么，戴德金分割的第4种可能里，有理数的两个集合就变成：≤1的有理数和＞1的有理数…”现代学者接着说。
“‘≤1的有理数和＞1的有理数’，这，其实就是戴德金分割的第1种可能（见《欧几里得32》）…”现代学者最后说。
对戴德金分割…网友“汇知园”有自己的思考…
…汇：1.河流会合——～为巨川。2.聚集——～总…
…知：知识…
…园：园子（种蔬菜、花果、树木的地方）…
…汇知园：聚集知识的园子…
“我觉得这部分内容（包括上确界，下确界这些东西），初中生是完全可以理解的…”汇知园说。
…上：1.方位词。位置在高处的——～部。～游。往～看。2.方位词。次序或时间在前的——～卷。～次。～半年…
…界：界限；范围…
…上界：上面的界限；上面的范围…
“数学上的‘上界’…是什么意思？”不明真相的吃瓜网友问。
“…一个实数集合M，如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S，那么就称S是M的一个上界…”网友“陈健聪smile”回答。
“？？？”吃瓜网友。
…smile：英语，意思是“微笑”…
…陈健聪：这可能是网友的真名…
…陈健聪smile：直译…意思是“陈健聪的微笑”“微笑的陈健聪”——这是网友的网名…
“陈健聪smile”的回答太复杂了，现在对它进行剖析…
（…剖析：解剖分析…）
一个实数集合M…
“‘一个实数集合M’…什么意思呢？…我们一点一点理解…”现代学者说。
“‘实数’的英语表达是——real number…”现代学者接着说，“‘real’的意思是‘真实的；实际存在的’，‘number’的意思是数字…”
“‘real number’合起来…意思是‘真实的数字；实际存在的数字’…”现代学者继续说。
“‘集合M’…这又是什么意思？”现代学者最后说。
“说起来，数学家是非常懒的——他们喜欢就地取材；他们从来不愿多想一下…”现代学者说。
“在数学的历史中，人们需要用字母表示数字…”现代学者接着说，“懒得出奇的数学家，便用number里的字母表示数字…”
“n和m，是他们最常用的，表示数字的俩字母…”现代学者继续说。
（“我选择n、m表示数字，不是因为我懒，而是因为——我看到n、m，就会想到number【数字】…”一位数学家说，“这叫‘直线思维’…”
…
“你永远无法理解直线思维的美…”数学家最后说。）
“数学家用m表示数字…”现代学者最后说，“随着时代发展…人们需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’…”
“需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家…”现代学者说，“奇懒无比的的数学家…再次懒出天际…”
““这只是‘多思考一下’的劳动量…不需要花时间、花精力、花钱…但是数学家就是不愿意…”现代学者继续说。
“数学家…真是懒死了…”现代学者最后说。
请看下集《欧几里得35、用初中知识理解高等数学的重要概念——上确界，下确界》”
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欧几里得35、用初中知识理解高等数学的重要概念——上确界，下确界
“需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家…”现代学者说，“奇懒无比的的数学家…再次懒出天际…”
“他们用‘大m’表示‘数的集合’…‘大m’即‘大写的m’，也就是M…”现代学者接着说，“解决‘表示【数的集合】’需求时，数学家甚至不愿意去找其它字母…”
“这只是‘多思考一下’的劳动量…不需要花时间、花精力、花钱…但是数学家就是不愿意…”现代学者继续说。
“数学家…真是懒死了…”现代学者最后说。
一个实数S…
“这个没啥好解释的，一个实数S就是一个实数S…”现代学者说。
（“这里，‘S’表示某个实数…”现代学者小声说。）
M中任何数都不超过S…
“M是一个实数集合，例如{1，2，3，4，5}…”现代学者说。
“M里的任何数都不能大于S——满足这个条件的S有很多…我们用刚才的例子进行说明…”现代学者接着说。
“对于{1，2，3，4，5}来说，S可以是5、6、7、8…”现代学者继续说，“1，2，3，4，5这五个数，都没能大于5…它们也没能大于6、没能大于7、没能大于8…”
“对{1，2，3，4，5}这个集合来说，5、6、7、8…都是符合条件的S…”现代学者最后说。
称S是M的一个上界…
“…用刚才的例子进行说明…5是{1，2，3，4，5}的一个上界，6是{1，2，3，4，5}的一个上界，7是{1，2，3，4，5}的一个上界…等等…”现代学者说。
…
“‘一个实数集合M，如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S，那么就称S是M的一个上界’…现在你理解这句话了吧…”现代学者最后说。
（“如果还不理解…我以后会用更通俗的话…讲这个知识点…”现代学者说。）
“在所有这些上界中，如果有一个最小的上界，就称它为M的上确界…”网友陈健聪smile说。
（…陈健聪smile：见《欧几里得34》…）
…上：1.方位词。位置在高处的——～部。～游。往～看。2.方位词。次序或时间在前的——～卷。～次。～半年…
…界：界限…
…确：确定…
…上界：上面的界限…
…上确界：上面确定的界限…
“…我们继续用前面的例子说明…”现代学者说，“对{1，2，3，4，5}这个集合来说，S可以是5、6、7、8…”
“在5、6、7、8…这些上界中，5是最小的上界…”现代学者接着说，“5就是M的上确界…”
“一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个…”网友陈健聪smile说。
…有界数集：有最大数（上确界）和最小数（下确界）的数集…
“…我们还是用前面的例子说明…”现代学者说，“{1，2，3，4，5}是个有界数集…”
““大学教材…基本都是用希腊字母做证明…没有图示…”汇知园接着说，“‘确界’，其实都是集合理论…而集合理论…小学生都能理解…”
请看下集《欧几里得36、从本质上说，小学生都能理解大学教材…》”
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“需要简洁的表示‘一堆数’‘数的集合’——最先产生这种需求的，是数学家…”现代学者说，“奇懒无比的的数学家…再次懒出天际…”
“他们用‘大m’表示‘数的集合’…‘大m’即‘大写的m’，也就是M…”现代学者接着说，“解决‘表示【数的集合】’需求时，数学家甚至不愿意去找其它字母…”
“这只是‘多思考一下’的劳动量…不需要花时间、花精力、花钱…但是数学家就是不愿意…”现代学者继续说。
“数学家…真是懒死了…”现代学者最后说。
一个实数S…
“这个没啥好解释的，一个实数S就是一个实数S…”现代学者说。
（“这里，‘S’表示某个实数…”现代学者小声说。）
M中任何数都不超过S…
“M是一个实数集合，例如{1，2，3，4，5}…”现代学者说。
“M里的任何数都不能大于S——满足这个条件的S有很多…我们用刚才的例子进行说明…”现代学者接着说。
“对于{1，2，3，4，5}来说，S可以是5、6、7、8…”现代学者继续说，“1，2，3，4，5这五个数，都没能大于5…它们也没能大于6、没能大于7、没能大于8…”
“对{1，2，3，4，5}这个集合来说，5、6、7、8…都是符合条件的S…”现代学者最后说。
称S是M的一个上界…
“…用刚才的例子进行说明…5是{1，2，3，4，5}的一个上界，6是{1，2，3，4，5}的一个上界，7是{1，2，3，4，5}的一个上界…等等…”现代学者说。
…
“‘一个实数集合M，如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S，那么就称S是M的一个上界’…现在你理解这句话了吧…”现代学者最后说。
（“如果还不理解…我以后会用更通俗的话…讲这个知识点…”现代学者说。）
“在所有这些上界中，如果有一个最小的上界，就称它为M的上确界…”网友陈健聪smile说。
（…陈健聪smile：见《欧几里得34》…）
…上：1.方位词。位置在高处的——～部。～游。往～看。2.方位词。次序或时间在前的——～卷。～次。～半年…
…界：界限…
…确：确定…
…上界：上面的界限…
…上确界：上面确定的界限…
“…我们继续用前面的例子说明…”现代学者说，“对{1，2，3，4，5}这个集合来说，S可以是5、6、7、8…”
“在5、6、7、8…这些上界中，5是最小的上界…”现代学者接着说，“5就是M的上确界…”
“一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个…”网友陈健聪smile说。
…有界数集：有最大数（上确界）和最小数（下确界）的数集…
“…我们还是用前面的例子说明…”现代学者说，“{1，2，3，4，5}是个有界数集…”
““大学教材…基本都是用希腊字母做证明…没有图示…”汇知园接着说，“‘确界’，其实都是集合理论…而集合理论…小学生都能理解…”
请看下集《欧几里得36、从本质上说，小学生都能理解大学教材…》”
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欧几里得36、从本质上说，小学生都能理解大学教材…
“一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个…”网友陈健聪smile说。
…有界数集：有最大数（上确界）和最小数（下确界）的数集…
…陈健聪smile：见《欧几里得34》…
“…我们还是用前面的例子说明…”现代学者说，“{1，2，3，4，5}是个有界数集…”
…前面的例子：指集合{1，2，3，4，5}…见《欧几里得34》…
“{1，2，3，4，5}这个集合的上界是：5，6，7，8…”现代学者接着说，“就是说，{1，2，3，4，5}有无数个上界…”
“{1，2，3，4，5}虽然有无数个上界，但是它的上确界只有一个，就是5…”现代学者继续说。
“‘一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个’…就是这个意思…”现代学者最后说。
“理解了‘上确界’，便能理解‘下确界’…”现代学者说。
…
“实数理论中，有一条叫‘确界原理’的公理…”陈健聪smile说。
…原理：自然科学和社会科学中的基本规律。是在大量观察、实践的基础上，经过归纳而得出的。既能指导实践，又能经受住实践的检验…
“原理可以作为其他规律的基础…”现代百姓说，“从原理出发，可以推导出各种具体的定理、命题…”
…
“原理在公理体系中，叫‘公理’…”现代百姓最后说。
…公理：指人类认为的、不证自明的事实（如“两点之间直线【其实是“线段”】最短；牛顿三定律…”）；经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的命题…
（…命题：1、逻辑学指表达判断的句子，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。2、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题…）
…公理体系一般指公理系统…
…公理系统：公理和以公理为依据，用三段论的方法推出的定理、推论…共同组成的系统，如欧几里得的《几何原本》（最初的公理系统），牛顿力学体系（俗称“经典力学”）…
确界原理：设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
确界原理的另一种表达：有上界的非空数集必存在上确界；有下界的非空数集必存在下确界。
…数集：数的集合…
…空集：空的集合（不含任何元素的集合）…
…非空集合：至少含有一个元素的集合…
…非空数集：至少含有一个数的数集…
…
“我觉得这部分内容（包括上确界，下确界这些东西），初中生是完全可以理解的…”网友汇知园说。
…网友汇知园：见《欧几里得34》…
“虽然放在大学讲…其实，这些内容非常容易理解…只是大学很多教材写的不是很清楚…”汇知园接着说。
“大学教材…基本都是用希腊字母做证明…没有图示…”汇知园继续说，“‘确界’，其实都是集合理论…而集合理论…小学生都能理解…”
““而且我的感觉是如果留到大学研究这些东西，可能会一知半解…因为时间不够（还要学习专业课）…”汇知园继续说。
…
请看下集《欧几里得37、微积分、极限理论、实数理论间的关系；早期微积分…》”
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“一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个…”网友陈健聪smile说。
…有界数集：有最大数（上确界）和最小数（下确界）的数集…
…陈健聪smile：见《欧几里得34》…
“…我们还是用前面的例子说明…”现代学者说，“{1，2，3，4，5}是个有界数集…”
…前面的例子：指集合{1，2，3，4，5}…见《欧几里得34》…
“{1，2，3，4，5}这个集合的上界是：5，6，7，8…”现代学者接着说，“就是说，{1，2，3，4，5}有无数个上界…”
“{1，2，3，4，5}虽然有无数个上界，但是它的上确界只有一个，就是5…”现代学者继续说。
“‘一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个’…就是这个意思…”现代学者最后说。
“理解了‘上确界’，便能理解‘下确界’…”现代学者说。
…
“实数理论中，有一条叫‘确界原理’的公理…”陈健聪smile说。
…原理：自然科学和社会科学中的基本规律。是在大量观察、实践的基础上，经过归纳而得出的。既能指导实践，又能经受住实践的检验…
“原理可以作为其他规律的基础…”现代百姓说，“从原理出发，可以推导出各种具体的定理、命题…”
…
“原理在公理体系中，叫‘公理’…”现代百姓最后说。
…公理：指人类认为的、不证自明的事实（如“两点之间直线【其实是“线段”】最短；牛顿三定律…”）；经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的命题…
（…命题：1、逻辑学指表达判断的句子，由系词把主词和宾词联系而成。例如：“北京是中国的首都”，这个句子就是一个命题。2、在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题…）
…公理体系一般指公理系统…
…公理系统：公理和以公理为依据，用三段论的方法推出的定理、推论…共同组成的系统，如欧几里得的《几何原本》（最初的公理系统），牛顿力学体系（俗称“经典力学”）…
确界原理：设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。
确界原理的另一种表达：有上界的非空数集必存在上确界；有下界的非空数集必存在下确界。
…数集：数的集合…
…空集：空的集合（不含任何元素的集合）…
…非空集合：至少含有一个元素的集合…
…非空数集：至少含有一个数的数集…
…
“我觉得这部分内容（包括上确界，下确界这些东西），初中生是完全可以理解的…”网友汇知园说。
…网友汇知园：见《欧几里得34》…
“虽然放在大学讲…其实，这些内容非常容易理解…只是大学很多教材写的不是很清楚…”汇知园接着说。
“大学教材…基本都是用希腊字母做证明…没有图示…”汇知园继续说，“‘确界’，其实都是集合理论…而集合理论…小学生都能理解…”
““而且我的感觉是如果留到大学研究这些东西，可能会一知半解…因为时间不够（还要学习专业课）…”汇知园继续说。
…
请看下集《欧几里得37、微积分、极限理论、实数理论间的关系；早期微积分…》”
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欧几里得37、微积分、极限理论、实数理论间的关系；早期微积分…
“大学教材…基本都是用希腊字母做证明…没有图示…”汇知园继续说，“‘确界’，其实都是集合理论…而集合理论…小学生都能理解…”
…汇知园：网友网名，见《欧几里得34》…
“而且我的感觉是如果留到大学研究这些东西，可能会一知半解…因为时间不够（还要学习专业课）…”汇知园最后说。
…
“在大学时，我慌慌张张的往前赶课…我们在慌什么呢？…”现代学者问。
“我们为何而慌？…”现代百姓问。
…
“所以我打算今年暑假跟孩子一起学习数学分析…”汇知园说。
…分：1.区划开——～开。划～。～解。
2.由整体中取出或产生出一部分——～发。～忧。
3.由机构内独立出的部分——～会。～行（háng）。
4.散，离——～裂。～离。～别。～崩离析。～门别类。
5.辨别——区～。～析。
6.区划而成的部分——二～之一…
…析：1.分开；散开——分崩离～。2.分析——剖～，解～几何…
…分析：把一件事物、一种现象、一个概念分成较简单的组成部分，找出这些部分的本质属性和彼此之间的关系（跟“综合”相对）——化学～，～问题，～目前国际形势…
…数学分析：以微积分为主要内容，包含微积分理论基础（实数、函数和极限的基本理论）的一个数学学科…
（…实数、函数和极限的基本理论：实数基本理论；函数基本理论；极限基本理论…）
“数学分析是大学数学专业的一门基础课程…”现代学者说。
“它是数学中，专门研究实数，复数，实数函数，复数函数…的分支学科…”现代学者接着说。
…分支：从一个系统或主体中分出来的部分——～机构…
“数学分析的发展由微积分开始…后来扩展到函数的连续性、可微分、可积分等各种特性…”现代学者继续说。
“这些特性…应用在对物理世界的研究后…有助于我们发现自然界的规律…”现代学者最后说。
…
“数学分析的主要内容是微积分…微积分的理论基础是极限理论…极限理论的理论基础是实数理论…”另一位现代学者说，
“微积分学是微分学（Differential Calculus）和积分学（Integral Calculus）的统称，英语简称Calculus，意为计算…”现代学者接着说。
…Differential：英语，意思是“差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差；（汽车）差动齿轮…
…Calculus：英语，意思是“微积分”…
…Integral：英语，做形容词时意思是“必需的；不可或缺的；作为组成部分的；完整的；完备的”，做名词时意思是“整体；积分”…
“这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题…后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis），或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问…”现代学者继续说。
““普通人看不懂希腊字母…所以看不懂大学教材…”现代学者说，“换句话说，如果普通人理解希腊字母…他们就能读懂大学教材…哪怕他们只有小学文化水平…”
请看下集《欧几里得38、微积分的前世今生；实数理论与微积分；大学教育的真相…》”
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“大学教材…基本都是用希腊字母做证明…没有图示…”汇知园继续说，“‘确界’，其实都是集合理论…而集合理论…小学生都能理解…”
…汇知园：网友网名，见《欧几里得34》…
“而且我的感觉是如果留到大学研究这些东西，可能会一知半解…因为时间不够（还要学习专业课）…”汇知园最后说。
…
“在大学时，我慌慌张张的往前赶课…我们在慌什么呢？…”现代学者问。
“我们为何而慌？…”现代百姓问。
…
“所以我打算今年暑假跟孩子一起学习数学分析…”汇知园说。
…分：1.区划开——～开。划～。～解。
2.由整体中取出或产生出一部分——～发。～忧。
3.由机构内独立出的部分——～会。～行（háng）。
4.散，离——～裂。～离。～别。～崩离析。～门别类。
5.辨别——区～。～析。
6.区划而成的部分——二～之一…
…析：1.分开；散开——分崩离～。2.分析——剖～，解～几何…
…分析：把一件事物、一种现象、一个概念分成较简单的组成部分，找出这些部分的本质属性和彼此之间的关系（跟“综合”相对）——化学～，～问题，～目前国际形势…
…数学分析：以微积分为主要内容，包含微积分理论基础（实数、函数和极限的基本理论）的一个数学学科…
（…实数、函数和极限的基本理论：实数基本理论；函数基本理论；极限基本理论…）
“数学分析是大学数学专业的一门基础课程…”现代学者说。
“它是数学中，专门研究实数，复数，实数函数，复数函数…的分支学科…”现代学者接着说。
…分支：从一个系统或主体中分出来的部分——～机构…
“数学分析的发展由微积分开始…后来扩展到函数的连续性、可微分、可积分等各种特性…”现代学者继续说。
“这些特性…应用在对物理世界的研究后…有助于我们发现自然界的规律…”现代学者最后说。
…
“数学分析的主要内容是微积分…微积分的理论基础是极限理论…极限理论的理论基础是实数理论…”另一位现代学者说，
“微积分学是微分学（Differential Calculus）和积分学（Integral Calculus）的统称，英语简称Calculus，意为计算…”现代学者接着说。
…Differential：英语，意思是“差别；差额；差价；（尤指同行业不同工种的）工资级差；（汽车）差动齿轮…
…Calculus：英语，意思是“微积分”…
…Integral：英语，做形容词时意思是“必需的；不可或缺的；作为组成部分的；完整的；完备的”，做名词时意思是“整体；积分”…
“这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题…后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis），或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问…”现代学者继续说。
““普通人看不懂希腊字母…所以看不懂大学教材…”现代学者说，“换句话说，如果普通人理解希腊字母…他们就能读懂大学教材…哪怕他们只有小学文化水平…”
请看下集《欧几里得38、微积分的前世今生；实数理论与微积分；大学教育的真相…》”
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欧几里得38、微积分的前世今生；实数理论与微积分；大学教育的真相…
“这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题…后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis），或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问…”现代学者继续说。
…Analysis：英语，意思是“（对事物的）分析，分析结果；（对物质的）分析”…
“早期的微积分，已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题，但是…”现代学者最后说，“由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释…微积分在很长的一段时间内得不到发展…有很多数学家对这个理论持怀疑态度…”
“柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（weierstrass）完善了作为微积分理论基础的极限理论，摆脱了‘要多小有多小’‘无限趋向’等模糊性的描述…”现代学者说。
“柯西和魏尔斯特拉斯使用精确的数学语言描述极限的定义，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科…”现代学者接着说。
“微积分被称为‘Mathematical Analysis’…中文译作‘数学分析’…”现代学者继续说。
…Mathematics：英语，意思是“数学；运算；计算”…
…Mathematical：英语，意思是“数学的；（具有）数学（头脑）的；运算能力强的”…
…Analysis：英语，意思是“分析”…
…Mathematical Analysis：英语，意思是“数学分析；数学解析”…
…解析：拆解分析…
“实数最重要的特征是连续性…有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分，积分…正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起了严密的数学分析理论体系（俗称‘微积分’）…”现代学者最后说。
…
“我觉得这部分内容（包括上确界，下确界这些东西），初中生是完全可以理解的…”网友汇知园说。
…上确界，下确界：见《欧几里得34~36》…
…网友汇知园：见《欧几里得34》…
“虽然放在大学讲…其实，这些内容非常容易理解…只是大学很多教材写的不是很清楚…”汇知园接着说。
“大学教材…基本都是用希腊字母做证明…没有图示…”汇知园继续说，“‘确界’，其实都是集合理论…而集合理论…小学生都能理解…”
“而且我的感觉是如果留到大学研究这些东西，可能会一知半解…因为时间不够（还要学习专业课）…”汇知园最后说。
“所以我打算今年暑假跟孩子一起学习数学分析…”汇知园说。
“争取初三之前，完成微积分的学习…”汇知园接着说。
“说实话，真的很容易！”汇知园继续说。
“学习就像一层窗户纸…捅破很难…一旦捅破…豁然开朗！”汇知园最后说。
“目前我遇到的窗户纸就是戴德金分割…我打算用一个月时间解决这个问题！”汇知园说。
…戴德金分割：见《欧几里得31~34》…
…
“普通人看不懂希腊字母…所以看不懂大学教材…”现代学者说，“换句话说，如果普通人理解希腊字母…他们就能读懂大学教材…哪怕他们只有小学文化水平…”
““人是种‘只要能偷懒就不会勤奋’的动物（其它生物也一样）…这是‘趋利避害’这种天性决定的…我们无法改变…”生物学家说。
请看下集《欧几里得39、人的懒惰天性与大学教育的真相》”
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“这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题…后来人们也将微积分学称为分析学（Analysis），或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处理计算问题的学问…”现代学者继续说。
…Analysis：英语，意思是“（对事物的）分析，分析结果；（对物质的）分析”…
“早期的微积分，已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题，但是…”现代学者最后说，“由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释…微积分在很长的一段时间内得不到发展…有很多数学家对这个理论持怀疑态度…”
“柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（weierstrass）完善了作为微积分理论基础的极限理论，摆脱了‘要多小有多小’‘无限趋向’等模糊性的描述…”现代学者说。
“柯西和魏尔斯特拉斯使用精确的数学语言描述极限的定义，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科…”现代学者接着说。
“微积分被称为‘Mathematical Analysis’…中文译作‘数学分析’…”现代学者继续说。
…Mathematics：英语，意思是“数学；运算；计算”…
…Mathematical：英语，意思是“数学的；（具有）数学（头脑）的；运算能力强的”…
…Analysis：英语，意思是“分析”…
…Mathematical Analysis：英语，意思是“数学分析；数学解析”…
…解析：拆解分析…
“实数最重要的特征是连续性…有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分，积分…正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起了严密的数学分析理论体系（俗称‘微积分’）…”现代学者最后说。
…
“我觉得这部分内容（包括上确界，下确界这些东西），初中生是完全可以理解的…”网友汇知园说。
…上确界，下确界：见《欧几里得34~36》…
…网友汇知园：见《欧几里得34》…
“虽然放在大学讲…其实，这些内容非常容易理解…只是大学很多教材写的不是很清楚…”汇知园接着说。
“大学教材…基本都是用希腊字母做证明…没有图示…”汇知园继续说，“‘确界’，其实都是集合理论…而集合理论…小学生都能理解…”
“而且我的感觉是如果留到大学研究这些东西，可能会一知半解…因为时间不够（还要学习专业课）…”汇知园最后说。
“所以我打算今年暑假跟孩子一起学习数学分析…”汇知园说。
“争取初三之前，完成微积分的学习…”汇知园接着说。
“说实话，真的很容易！”汇知园继续说。
“学习就像一层窗户纸…捅破很难…一旦捅破…豁然开朗！”汇知园最后说。
“目前我遇到的窗户纸就是戴德金分割…我打算用一个月时间解决这个问题！”汇知园说。
…戴德金分割：见《欧几里得31~34》…
…
“普通人看不懂希腊字母…所以看不懂大学教材…”现代学者说，“换句话说，如果普通人理解希腊字母…他们就能读懂大学教材…哪怕他们只有小学文化水平…”
““人是种‘只要能偷懒就不会勤奋’的动物（其它生物也一样）…这是‘趋利避害’这种天性决定的…我们无法改变…”生物学家说。
请看下集《欧几里得39、人的懒惰天性与大学教育的真相》”
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欧几里得39、人的懒惰天性与大学教育的真相
“普通人看不懂希腊字母…所以看不懂大学教材…”现代学者说，“换句话说，如果普通人理解希腊字母…他们就能读懂大学教材…哪怕他们只有小学文化水平…”
…
“即便我们有大学文化，但在日常生活中，我们更像小学生…”另一位现代学者说，“我们只做10以内的加减运算；我们只看一下就能看懂的电影；我们只说大白话…”
…大白话：通俗易懂的话；小学生都能理解的话…
“因为这样更轻松…”现代学者接着说。
（“对于‘一下看不懂’的电影，我们渐渐的决定：不看了…”现代学者说。
…
“10以上的加减运算…及其它更复杂的运算…我们会借助计算器解决…”现代学者说。）
“面对‘轻松’与‘困难’两种选择，人会选择‘轻松’…”生物学家说，“这是人的本性…”
“这种本性源于一个简单的生物规律：趋利避害…”生物学家接着说。
…趋利避害：生物会远离不利于自己的环境，生物学把这种规律叫趋利避害…
“‘趋利避害’是生物的本能…”生物学家继续说。
…本能：人类和动物不学就会的行为。如婴儿吮乳、蜜蜂酿蜜等…
“人是生物…人也有‘趋利避害’本能…”生物学家最后说。
…
“‘如果普通人理解希腊字母…他们就能读懂大学教材…哪怕他们只有小学文化水平’，这里面隐藏着一个生物规律…”生物学家说。
“隐藏的生物规律是：人只能循序渐进的理解事物…”生物学家接着说。
…
“大学教材把人当成‘能准确理解希腊字母的科学家’，‘一下就能看懂希腊字母的天才’，‘熟悉概念的人’，‘勤奋的人’…”生物学家继续说。
…勤奋的人：对老师讲的知识点…只要自己没弄懂（哪怕是一个词）…就去查资料…直到彻底弄懂为止…
“把人当成‘勤奋的人’，这不符合人的‘趋利避害’本性…”生物学家说。
“人是种‘只要能偷懒就不会勤奋’的动物（其它生物也一样）…这是‘趋利避害’这种天性决定的…我们无法改变…”生物学家接着说。
（“人是种‘只要能偷懒就不会勤奋’的动物…就是说：人绝不会主动查字典、查资料…”生物学家说。
“虽然有时人会查字典、查资料…但那是被动的【那是为了应付考试】…”生物学家接着说。）
“人是懒惰的…这意味着，老师的话、教材上的字、词、字母、公式…如果没‘一下听懂，一下看懂’…人就不会再去听、再去看了…”生物学家继续说。
“大学教材、大学老师…把人当成‘勤奋的人’…这意味着…95%以上的人不能‘一下看懂大学教材，一下听懂大学课程’…”生物学家最后说。
（“‘95%’，这个数字是我的估算…”生物学家说。）
“虽然有学生能看懂教材，听懂课程，但是…那是他们私下查字典、查资料的成果…”生物学家说，“这部分成绩优异的学生，也不能‘一下看懂大学教材，一下听懂大学课程’…”
““天才就是像我这样的人。”
——网友回答
请看下集《欧几里得40、天才是什么？》”
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“普通人看不懂希腊字母…所以看不懂大学教材…”现代学者说，“换句话说，如果普通人理解希腊字母…他们就能读懂大学教材…哪怕他们只有小学文化水平…”
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“即便我们有大学文化，但在日常生活中，我们更像小学生…”另一位现代学者说，“我们只做10以内的加减运算；我们只看一下就能看懂的电影；我们只说大白话…”
…大白话：通俗易懂的话；小学生都能理解的话…
“因为这样更轻松…”现代学者接着说。
（“对于‘一下看不懂’的电影，我们渐渐的决定：不看了…”现代学者说。
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“10以上的加减运算…及其它更复杂的运算…我们会借助计算器解决…”现代学者说。）
“面对‘轻松’与‘困难’两种选择，人会选择‘轻松’…”生物学家说，“这是人的本性…”
“这种本性源于一个简单的生物规律：趋利避害…”生物学家接着说。
…趋利避害：生物会远离不利于自己的环境，生物学把这种规律叫趋利避害…
“‘趋利避害’是生物的本能…”生物学家继续说。
…本能：人类和动物不学就会的行为。如婴儿吮乳、蜜蜂酿蜜等…
“人是生物…人也有‘趋利避害’本能…”生物学家最后说。
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“‘如果普通人理解希腊字母…他们就能读懂大学教材…哪怕他们只有小学文化水平’，这里面隐藏着一个生物规律…”生物学家说。
“隐藏的生物规律是：人只能循序渐进的理解事物…”生物学家接着说。
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“大学教材把人当成‘能准确理解希腊字母的科学家’，‘一下就能看懂希腊字母的天才’，‘熟悉概念的人’，‘勤奋的人’…”生物学家继续说。
…勤奋的人：对老师讲的知识点…只要自己没弄懂（哪怕是一个词）…就去查资料…直到彻底弄懂为止…
“把人当成‘勤奋的人’，这不符合人的‘趋利避害’本性…”生物学家说。
“人是种‘只要能偷懒就不会勤奋’的动物（其它生物也一样）…这是‘趋利避害’这种天性决定的…我们无法改变…”生物学家接着说。
（“人是种‘只要能偷懒就不会勤奋’的动物…就是说：人绝不会主动查字典、查资料…”生物学家说。
“虽然有时人会查字典、查资料…但那是被动的【那是为了应付考试】…”生物学家接着说。）
“人是懒惰的…这意味着，老师的话、教材上的字、词、字母、公式…如果没‘一下听懂，一下看懂’…人就不会再去听、再去看了…”生物学家继续说。
“大学教材、大学老师…把人当成‘勤奋的人’…这意味着…95%以上的人不能‘一下看懂大学教材，一下听懂大学课程’…”生物学家最后说。
（“‘95%’，这个数字是我的估算…”生物学家说。）
“虽然有学生能看懂教材，听懂课程，但是…那是他们私下查字典、查资料的成果…”生物学家说，“这部分成绩优异的学生，也不能‘一下看懂大学教材，一下听懂大学课程’…”
““天才就是像我这样的人。”
——网友回答
请看下集《欧几里得40、天才是什么？》”
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欧几里得40、天才是什么？
“虽然有学生能看懂教材，听懂课程，但是…那是他们私下查字典、查资料的成果…”生物学家说，“这部分成绩优异的学生，也不能‘一下看懂大学教材，一下听懂大学课程’…”
…
“大学教材把人当成‘能准确理解希腊字母的科学家’，‘一下就能看懂希腊字母的天才’，‘熟悉概念的人’，‘勤奋的人’…”生物学家继续说。
…天才：天赋的才能；超出一般人的聪明智慧——艺术～。～的创作…
“天才是什么？”
——网友提问
“天才，是指人拥有一定的天赋（即天分：不是可以学到的东西），包括卓绝的创造力、想象力；拥有天然资质的人（如：体质；嗓音等）…”
——热心网友1回答
“天才就是像我这样的人。”
——热心网友2回答
“有异于常人的才能。”
——网友xwei821 回答
“有人这么说：天才是在别人都放弃的时候不放弃，认清自己的目标，然后按部就班地前进…”网友南邕（yōng） 说。
…邕：1.邕江，水名，在广西。2.广西南宁的别称…
（“‘邕’是会意字。从川，从邑。意思是‘水流【川】围困城邑【yì】’。本义为：四方被水环绕的都邑…”现代学者说。
…会：理解；懂得——体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思——来～…
…会意：用两个或两个以上的字，依据事理加以组合，表示出一个新的意义的造字法。如拼合日、月两字，成一“明”字，表明亮、光明之义…
【…理：物质组织的条纹；纹理——木～。肌～。条～…
…事理：事情的道理…】
“会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如‘信’字…”现代百姓说。
“‘人言为信’…”现代百姓接着说，“‘信’字由‘人’字和‘言’字合成，表示人说的话有信用…”
…会意字：用会意法造出来的字…
…邑：1.泛指城市。2.县…）
“天才的确是一个非常抽象的名词，很难说怎样的是天才，倒是能从许多事情上看出来…”南邕接着说。
…抽：1.把夹在中间的东西取出。2.从中取出一部分…
…象：形状；样子——景～，天～，气～，印～，万～更新…
…抽象：从具体事物抽出、概括出它们共同的方面、本质属性与关系等，而将个别的、非本质的方面、属性与关系舍弃，这种思维过程，称为抽象…比如从“五个苹果、五个手指”等事物中抽象出“5”这个数字…
“抽象就是总结规律…”现代百姓说。
“抽象是找相同点…”网友说。
…
“天才跟一般人有些不一样。举个例子，发现地心引力的牛顿是天才，可是当他坐在苹果树下，看到苹果落地，就想苹果为什么会往地上掉，却不往天上飞…在当时，他被认为愚笨…”南邕继续说，“于是我们发现，天才常常是钻牛角尖，怀疑别人不会怀疑的东西的人…”
““有‘天赋的才能’的人，从出生起就有…没有‘天赋的才能’的人…后天无论怎么努力，都不会有‘天赋的才能’…”现代学者继续说。
（“由于才能是上天给的，所以…没有就是没有…努力了，也不会有…”现代学者说。）
请看下集《欧几里得40、人类的想法不会轻易改变；天才是什么2…》”
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“虽然有学生能看懂教材，听懂课程，但是…那是他们私下查字典、查资料的成果…”生物学家说，“这部分成绩优异的学生，也不能‘一下看懂大学教材，一下听懂大学课程’…”
…
“大学教材把人当成‘能准确理解希腊字母的科学家’，‘一下就能看懂希腊字母的天才’，‘熟悉概念的人’，‘勤奋的人’…”生物学家继续说。
…天才：天赋的才能；超出一般人的聪明智慧——艺术～。～的创作…
“天才是什么？”
——网友提问
“天才，是指人拥有一定的天赋（即天分：不是可以学到的东西），包括卓绝的创造力、想象力；拥有天然资质的人（如：体质；嗓音等）…”
——热心网友1回答
“天才就是像我这样的人。”
——热心网友2回答
“有异于常人的才能。”
——网友xwei821 回答
“有人这么说：天才是在别人都放弃的时候不放弃，认清自己的目标，然后按部就班地前进…”网友南邕（yōng） 说。
…邕：1.邕江，水名，在广西。2.广西南宁的别称…
（“‘邕’是会意字。从川，从邑。意思是‘水流【川】围困城邑【yì】’。本义为：四方被水环绕的都邑…”现代学者说。
…会：理解；懂得——体～。误～。心领神～。只可意～，不可言传…
…意：意思——来～…
…会意：用两个或两个以上的字，依据事理加以组合，表示出一个新的意义的造字法。如拼合日、月两字，成一“明”字，表明亮、光明之义…
【…理：物质组织的条纹；纹理——木～。肌～。条～…
…事理：事情的道理…】
“会意是说字的整体的意义由部分的意义合成，如‘信’字…”现代百姓说。
“‘人言为信’…”现代百姓接着说，“‘信’字由‘人’字和‘言’字合成，表示人说的话有信用…”
…会意字：用会意法造出来的字…
…邑：1.泛指城市。2.县…）
“天才的确是一个非常抽象的名词，很难说怎样的是天才，倒是能从许多事情上看出来…”南邕接着说。
…抽：1.把夹在中间的东西取出。2.从中取出一部分…
…象：形状；样子——景～，天～，气～，印～，万～更新…
…抽象：从具体事物抽出、概括出它们共同的方面、本质属性与关系等，而将个别的、非本质的方面、属性与关系舍弃，这种思维过程，称为抽象…比如从“五个苹果、五个手指”等事物中抽象出“5”这个数字…
“抽象就是总结规律…”现代百姓说。
“抽象是找相同点…”网友说。
…
“天才跟一般人有些不一样。举个例子，发现地心引力的牛顿是天才，可是当他坐在苹果树下，看到苹果落地，就想苹果为什么会往地上掉，却不往天上飞…在当时，他被认为愚笨…”南邕继续说，“于是我们发现，天才常常是钻牛角尖，怀疑别人不会怀疑的东西的人…”
““有‘天赋的才能’的人，从出生起就有…没有‘天赋的才能’的人…后天无论怎么努力，都不会有‘天赋的才能’…”现代学者继续说。
（“由于才能是上天给的，所以…没有就是没有…努力了，也不会有…”现代学者说。）
请看下集《欧几里得40、人类的想法不会轻易改变；天才是什么2…》”
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欧几里得40、人类的想法不会轻易改变；天才是什么2…
“天才跟一般人有些不一样。举个例子，发现地心引力的牛顿是天才，可是当他坐在苹果树下，看到苹果落地，就想苹果为什么会往地上掉，却不往天上飞…在当时，他被认为愚笨…”南邕（yōng） 继续说，“于是我们发现，天才常常是钻牛角尖，怀疑别人不会怀疑的东西的人…”
…南邕：网友网名，见《欧几里得40》…
“他们对什么都好奇…不但希望知道‘是什么’，而且总希望了解‘为什么’…”南邕最后说。
…
“天才是什么？…一个人怎样才能被称之为天才？我们怎么能知道一个人的天才是遗传的还是环境塑造的？”
——网友提问
“有一句话说得好。天才就是99%的努力加1%的天分…”网友说。
“所谓的天才就是人们感觉这个人在某一方面才华特别突出，能力高出常人不是一两个等级…”网友接着说，“但这只是表面现象…”
“真正的天才在人们的背后付出了巨大的努力，只不过由于这些努力是他本身的爱好兴趣所在，所以这些努力显得不是那么痛苦，好像玩着玩着就成功了…”网友最后说。
…
“综合前面的叙述，‘天才’有几种解释…”现代学者说，“第一种解释：天赋的才能…”
“‘天赋的才能’（又叫‘天分’）即‘上天赋予的才能’…”现代学者接着说，“由于‘天赋的才能’是上天给的，所以有的人有，有的人没有…”
“有‘天赋的才能’的人，从出生起就有…没有‘天赋的才能’的人…后天无论怎么努力，都不会有‘天赋的才能’…”现代学者继续说。
（“由于才能是上天给的，所以…没有就是没有…努力了，也不会有…”现代学者说。）
…后天：人或动物离开母体后的生长时期…
“为啥会出现这种解释呢？…请听我慢慢道来…”现代学者最后说。
“最早的时候，人们看到牛顿、莫扎特这样有突出成就的人，觉得很不可思议…”现代学者说，“‘牛顿、莫扎特有突出成就，自己没有突出成就’，人们尝试解释这种现象…”
“人们对‘牛顿、莫扎特有突出成就，自己没有突出成就’的解释是：牛顿、莫扎特努力了，自己没有努力…”现代学者接着说。
“根据这种解释，人们认为：只要自己付出努力，就能和牛顿、莫扎特一样，取得非凡成就…”现代学者继续说。
“于是，人们付出了持续不断、积年累月的努力…”现代学者最后说。
“结果和人们预期的不一样…”现代学者说，“结果是：多数人…虽然他们很努力，但是…他们没能取得成就…”
…预期：对未来情况的估计…
“人类的想法不会轻易改变…”现代学者接着说，“即便多数人付出努力后，没能取得成就，人们还是执着的相信：只要努力，就能和牛顿、莫扎特一样，取得非凡成就…”
““从小学到大学，成绩一直很彪悍（总是年级第一）…从重点小学考入重点初中，又考入重点高中…最后以省状元身份考入清华北大…”现代学者说，“人们称这样的孩子为天才…”
请看下集《欧几里得41、人类为什么会努力解释事物；“天才”理论…》”
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“天才跟一般人有些不一样。举个例子，发现地心引力的牛顿是天才，可是当他坐在苹果树下，看到苹果落地，就想苹果为什么会往地上掉，却不往天上飞…在当时，他被认为愚笨…”南邕（yōng） 继续说，“于是我们发现，天才常常是钻牛角尖，怀疑别人不会怀疑的东西的人…”
…南邕：网友网名，见《欧几里得40》…
“他们对什么都好奇…不但希望知道‘是什么’，而且总希望了解‘为什么’…”南邕最后说。
…
“天才是什么？…一个人怎样才能被称之为天才？我们怎么能知道一个人的天才是遗传的还是环境塑造的？”
——网友提问
“有一句话说得好。天才就是99%的努力加1%的天分…”网友说。
“所谓的天才就是人们感觉这个人在某一方面才华特别突出，能力高出常人不是一两个等级…”网友接着说，“但这只是表面现象…”
“真正的天才在人们的背后付出了巨大的努力，只不过由于这些努力是他本身的爱好兴趣所在，所以这些努力显得不是那么痛苦，好像玩着玩着就成功了…”网友最后说。
…
“综合前面的叙述，‘天才’有几种解释…”现代学者说，“第一种解释：天赋的才能…”
“‘天赋的才能’（又叫‘天分’）即‘上天赋予的才能’…”现代学者接着说，“由于‘天赋的才能’是上天给的，所以有的人有，有的人没有…”
“有‘天赋的才能’的人，从出生起就有…没有‘天赋的才能’的人…后天无论怎么努力，都不会有‘天赋的才能’…”现代学者继续说。
（“由于才能是上天给的，所以…没有就是没有…努力了，也不会有…”现代学者说。）
…后天：人或动物离开母体后的生长时期…
“为啥会出现这种解释呢？…请听我慢慢道来…”现代学者最后说。
“最早的时候，人们看到牛顿、莫扎特这样有突出成就的人，觉得很不可思议…”现代学者说，“‘牛顿、莫扎特有突出成就，自己没有突出成就’，人们尝试解释这种现象…”
“人们对‘牛顿、莫扎特有突出成就，自己没有突出成就’的解释是：牛顿、莫扎特努力了，自己没有努力…”现代学者接着说。
“根据这种解释，人们认为：只要自己付出努力，就能和牛顿、莫扎特一样，取得非凡成就…”现代学者继续说。
“于是，人们付出了持续不断、积年累月的努力…”现代学者最后说。
“结果和人们预期的不一样…”现代学者说，“结果是：多数人…虽然他们很努力，但是…他们没能取得成就…”
…预期：对未来情况的估计…
“人类的想法不会轻易改变…”现代学者接着说，“即便多数人付出努力后，没能取得成就，人们还是执着的相信：只要努力，就能和牛顿、莫扎特一样，取得非凡成就…”
““从小学到大学，成绩一直很彪悍（总是年级第一）…从重点小学考入重点初中，又考入重点高中…最后以省状元身份考入清华北大…”现代学者说，“人们称这样的孩子为天才…”
请看下集《欧几里得41、人类为什么会努力解释事物；“天才”理论…》”
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欧几里得41、人类为什么会努力解释事物；“天才”理论…
“人们对‘多数人付出努力后，没能取得成就’的解释是：他们还不够努力…”现代学者继续说。
…
“只要努力，就能和牛顿、莫扎特一样，取得非凡成就…”近代百姓说，“你没取得非凡成就，是因为你不够努力…”
…
“由于相信‘只要付出努力，就能和牛顿、莫扎特一样，取得非凡成就’…几个世纪以来…数以亿计的人类进行了持续不断的努力…”现代学者最后说，“然而…情况和之前一样：多数人付出努力后…没有取得牛顿、莫扎特那样的成就……”
“‘多数人付出努力后…没有取得牛顿、莫扎特那样的成就’…这个事实和‘只要付出努力，就能和牛顿、莫扎特一样，取得非凡成就’理论不符…”现代学者说，“为解释它，人们发明出新的理论——‘天才’理论…”
…解释：在观察的基础上进行思考，合理地说出事物变化的原因，事物之间的联系，事物发展的规律…出自《后汉书·陈元传》…
“人类…为什么会…去解释事物？”好奇的网友问。
“因为人类害怕未知的东西…”现代学者答。
“未知的东西可能伤害自己…例如：吃了未知的蘑菇…可能中毒；被未知的蛇咬了…可能毒发身亡…”现代学者说。
“人类能解释某样事物，说明人类了解这种事物…”现代学者继续说。
“人类不会被自己了解的事物伤害…因此…自诞生以来（自人类诞生以来）…人类一直在努力解释事物…”现代学者最后说。
…
“根据‘天才’理论，牛顿、莫扎特这样的人是天才…”现代学者说。
“…天才的才能是天生的…旁人无论怎么努力，都不能拥有和他们比肩的才能…”现代学者继续说。
“‘天才’理论和事实吻合：多数人付出努力后…没有取得牛顿、莫扎特那样的成就…”现代学者最后说。
…
“‘天才’理论后来变得极为普遍…”现代学者说，“谁家孩子钢琴弹得好，其它孩子无论怎么努力都比不上她…人们会说那个孩子是天才；谁家孩子成绩好，回回考一百…人们会说那个孩子是天才…”
“从小学到大学，成绩一直很彪悍（总是年级第一）…从重点小学考入重点初中，又考入重点高中…最后以省状元身份考入清华北大…”现代学者接着说，“人们称这样的孩子为天才…”
“当然，那些16岁（及16岁以下）就通过高考考上大学的孩子…也都是天才…”现代学者继续说。
“天才理论很好的解释了这个世界：有的人聪明有的人傻；有的人成绩好有的人成绩一般；聪明的人一直很聪明，傻瓜无论怎么努力，都不能变聪明；成绩不好的学生，无论怎么努力，都不能提高学习成绩…”现代学者最后说。
“…基因：生物体携带和传递遗传信息的基本单位。主要存在于细胞核内的染色体上。多数生物的基因由脱氧核糖核酸构成，只有某些病毒基因由核糖核酸构成…
请看下集《欧几里得42、没有科学证据能够证明，人的才能是上天赋予的》”
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“人们对‘多数人付出努力后，没能取得成就’的解释是：他们还不够努力…”现代学者继续说。
…
“只要努力，就能和牛顿、莫扎特一样，取得非凡成就…”近代百姓说，“你没取得非凡成就，是因为你不够努力…”
…
“由于相信‘只要付出努力，就能和牛顿、莫扎特一样，取得非凡成就’…几个世纪以来…数以亿计的人类进行了持续不断的努力…”现代学者最后说，“然而…情况和之前一样：多数人付出努力后…没有取得牛顿、莫扎特那样的成就……”
“‘多数人付出努力后…没有取得牛顿、莫扎特那样的成就’…这个事实和‘只要付出努力，就能和牛顿、莫扎特一样，取得非凡成就’理论不符…”现代学者说，“为解释它，人们发明出新的理论——‘天才’理论…”
…解释：在观察的基础上进行思考，合理地说出事物变化的原因，事物之间的联系，事物发展的规律…出自《后汉书·陈元传》…
“人类…为什么会…去解释事物？”好奇的网友问。
“因为人类害怕未知的东西…”现代学者答。
“未知的东西可能伤害自己…例如：吃了未知的蘑菇…可能中毒；被未知的蛇咬了…可能毒发身亡…”现代学者说。
“人类能解释某样事物，说明人类了解这种事物…”现代学者继续说。
“人类不会被自己了解的事物伤害…因此…自诞生以来（自人类诞生以来）…人类一直在努力解释事物…”现代学者最后说。
…
“根据‘天才’理论，牛顿、莫扎特这样的人是天才…”现代学者说。
“…天才的才能是天生的…旁人无论怎么努力，都不能拥有和他们比肩的才能…”现代学者继续说。
“‘天才’理论和事实吻合：多数人付出努力后…没有取得牛顿、莫扎特那样的成就…”现代学者最后说。
…
“‘天才’理论后来变得极为普遍…”现代学者说，“谁家孩子钢琴弹得好，其它孩子无论怎么努力都比不上她…人们会说那个孩子是天才；谁家孩子成绩好，回回考一百…人们会说那个孩子是天才…”
“从小学到大学，成绩一直很彪悍（总是年级第一）…从重点小学考入重点初中，又考入重点高中…最后以省状元身份考入清华北大…”现代学者接着说，“人们称这样的孩子为天才…”
“当然，那些16岁（及16岁以下）就通过高考考上大学的孩子…也都是天才…”现代学者继续说。
“天才理论很好的解释了这个世界：有的人聪明有的人傻；有的人成绩好有的人成绩一般；聪明的人一直很聪明，傻瓜无论怎么努力，都不能变聪明；成绩不好的学生，无论怎么努力，都不能提高学习成绩…”现代学者最后说。
“…基因：生物体携带和传递遗传信息的基本单位。主要存在于细胞核内的染色体上。多数生物的基因由脱氧核糖核酸构成，只有某些病毒基因由核糖核酸构成…
请看下集《欧几里得42、没有科学证据能够证明，人的才能是上天赋予的》”
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欧几里得42、没有科学证据能够证明，人的才能是上天赋予的
“‘天才’理论是完美的吗？…”现代学者问。
“…‘天才’理论作为一个理论…接近完美：它能完美的解释‘多数人付出努力后，没有取得牛顿、莫扎特那样的成就’，‘多数差生努力学习后，成绩还是很差’等现象…”现代学者说。
“但是…”现代学者接着说，“从内心上讲…人类不愿意接受‘天才’理论…”
“因为‘天才’理论否定了后天的努力…”现代百姓说。
“多数人…更愿意相信：努力可以改变命运；普通人只要持续努力，也可以拥有才能…”现代百姓接着说。
…
“天才的才能真是上天赋予的吗？…”现代学者问。
“虽然‘天才’理论极为普遍，但是…没有科学证据能够证明，人的才能是上天赋予的…”现代学者说。
…科学：1.关于自然界、社会、思维的规律体系。是人在实践基础上产生和发展的，是实践经验的总结。分自然科学和社会科学两大类…哲学是二者的概括和总结。2.合乎科学的——这种方法很～…
…证据：1.能证明某事物的真实性的事实或材料。2.能证明案件真实情况的一切事实…
“科学证据能够证明的，人出生之前就有的东西…是基因…”现代学者接着说。
…基因：生物体携带和传递遗传信息的基本单位。主要存在于细胞核内的染色体上。多数生物的基因由脱氧核糖核酸构成，只有某些病毒基因由核糖核酸构成…
（“基因【遗传因子】是产生一条多肽【tài】链或功能RNA所需的全部核苷【gān】酸序列…”生物学家说。
“基因支持着生命的基本构造和性能，储存着生命的种族、血型、孕育、生长、凋亡等过程的全部信息…”现代学者说。
“环境和遗传的共同作用，促成了生命的繁衍、细胞分裂、蛋白质合成等重要生理过程…”现代学者接着说。
“生物体的生、长、衰、病、老、死等一切生命现象都与基因有关…”现代学者继续说，“基因是决定生命健康的内在因素…”
“基因具有双重属性：物质性（存在方式）和信息性（根本属性）…”现代学者最后说。
…
“带有遗传讯息的DNA片段称为基因…其他的DNA序列，有些直接以自身构造发挥作用，有些则参与调控遗传讯息的表现…”现代学者说。
“组成简单生命最少要265到350个基因…”现代学者最后说。）
“基因是先天性的（基因是人生来就有的）…”现代学者继续说，“从出生起，人的基因便无法改变…”
…先天：人或动物在胚胎时期就形成或具有的。与“后天”相对——～不足…
“基因在一定程度上，决定了人的身高、肤色、发色、嗓音…”现代学者最后说。
“虽然基因决定的东西很多，但是…才能不是由基因决定的…”现代学者说。
…
“‘才能不是由基因决定的’，这句话说得有点武断…”另一位现代学者说。
““任何生物都有许许多多性状，有的是形态特征（如豌豆种子的颜色，形状），有的是生理特征（如人的ABO血型，植物的抗病性，耐寒性），等等…”生物学家说。
请看下集《欧几里得43、“才能不是由基因决定的”；基因、性状和遗传；概率…》”
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“‘天才’理论是完美的吗？…”现代学者问。
“…‘天才’理论作为一个理论…接近完美：它能完美的解释‘多数人付出努力后，没有取得牛顿、莫扎特那样的成就’，‘多数差生努力学习后，成绩还是很差’等现象…”现代学者说。
“但是…”现代学者接着说，“从内心上讲…人类不愿意接受‘天才’理论…”
“因为‘天才’理论否定了后天的努力…”现代百姓说。
“多数人…更愿意相信：努力可以改变命运；普通人只要持续努力，也可以拥有才能…”现代百姓接着说。
…
“天才的才能真是上天赋予的吗？…”现代学者问。
“虽然‘天才’理论极为普遍，但是…没有科学证据能够证明，人的才能是上天赋予的…”现代学者说。
…科学：1.关于自然界、社会、思维的规律体系。是人在实践基础上产生和发展的，是实践经验的总结。分自然科学和社会科学两大类…哲学是二者的概括和总结。2.合乎科学的——这种方法很～…
…证据：1.能证明某事物的真实性的事实或材料。2.能证明案件真实情况的一切事实…
“科学证据能够证明的，人出生之前就有的东西…是基因…”现代学者接着说。
…基因：生物体携带和传递遗传信息的基本单位。主要存在于细胞核内的染色体上。多数生物的基因由脱氧核糖核酸构成，只有某些病毒基因由核糖核酸构成…
（“基因【遗传因子】是产生一条多肽【tài】链或功能RNA所需的全部核苷【gān】酸序列…”生物学家说。
“基因支持着生命的基本构造和性能，储存着生命的种族、血型、孕育、生长、凋亡等过程的全部信息…”现代学者说。
“环境和遗传的共同作用，促成了生命的繁衍、细胞分裂、蛋白质合成等重要生理过程…”现代学者接着说。
“生物体的生、长、衰、病、老、死等一切生命现象都与基因有关…”现代学者继续说，“基因是决定生命健康的内在因素…”
“基因具有双重属性：物质性（存在方式）和信息性（根本属性）…”现代学者最后说。
…
“带有遗传讯息的DNA片段称为基因…其他的DNA序列，有些直接以自身构造发挥作用，有些则参与调控遗传讯息的表现…”现代学者说。
“组成简单生命最少要265到350个基因…”现代学者最后说。）
“基因是先天性的（基因是人生来就有的）…”现代学者继续说，“从出生起，人的基因便无法改变…”
…先天：人或动物在胚胎时期就形成或具有的。与“后天”相对——～不足…
“基因在一定程度上，决定了人的身高、肤色、发色、嗓音…”现代学者最后说。
“虽然基因决定的东西很多，但是…才能不是由基因决定的…”现代学者说。
…
“‘才能不是由基因决定的’，这句话说得有点武断…”另一位现代学者说。
““任何生物都有许许多多性状，有的是形态特征（如豌豆种子的颜色，形状），有的是生理特征（如人的ABO血型，植物的抗病性，耐寒性），等等…”生物学家说。
请看下集《欧几里得43、“才能不是由基因决定的”；基因、性状和遗传；概率…》”
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欧几里得43、“才能不是由基因决定的”；基因、性状和遗传；概率…
“‘才能不是由基因决定的’，这句话说得有点武断…”另一位现代学者说。
…武断：1.只凭主观作判断——我对此事知之不详，不敢～。2.形容言行主观片面——说话～。这样作决定，未免太～了…
“另一方面…现在的确没找到‘基因决定才能’的证据…”现代学者接着说。
“‘才能不是由基因决定的’反而有许多例证：父母有本事，儿女很平庸；儿女有本事，父母很平庸…”现代学者继续说。
…例：用来说明情况的或可作依据的事物——举～。援～…
…证：证明——～人。～实…
…例证：用来证明某一事实或理论的例子…
“另一方面，‘龙生龙凤生凤老鼠生来会打洞’的情况也有很多：父母有本事，子女也有本事；父母很平庸，子女也很平庸…”现代学者最后说。
“基因来自父母…”另一位现代学者说。
“父母通过遗传，将基因传递给子女…”现代学者接着说。
…遗传：父母性状通过繁殖传递给后代，从而使后代获得父母遗传信息的现象…
性状：指生物可遗传的、能观察到的特征。
“任何生物都有许许多多性状，有的是形态特征（如豌豆种子的颜色，形状），有的是生理特征（如人的ABO血型，植物的抗病性，耐寒性），等等…”生物学家说。
…
“请简述基因和性状的关系。”
——网友提问。
“基因决定性状。
生物体都由细胞组成…细胞的细胞核中有携带遗传物质的结构——染色体…染色体上的遗传物质是DNA…每个DNA上有多个基因…基因是控制性状（特征）的基本单位。
生物的性状是由基因决定的…基因决定性状的表达…一个基因对应一个性状…基因能通过生殖遗传下去，性状不能遗传（“例如两棵高豌豆杂交…后代可能出现矮豌豆…矮豌豆虽然没继承‘高’的性状，但它确实继承了高豌豆的基因…”生物学家说。）…性状的遗传实质上是亲代通过生殖细胞把基因传递给了子代…在有性生殖过程中，精子与卵细胞是基因在亲子代间传递的桥梁（只是把控制性状的基因遗传下去了）。”
——网友“森海和你”于2019年11月22日星期五回答
…
“根据数量众多的例证…人有没有才能，和父母没有关系（人有没有才能，和基因没有关系）…”现代学者最后说，“根据数量众多的例证…人有没有才能，是个概率事件：有可能有，有可能没有…”
…概率：？…
“在自然和社会现象中，有这样一类事件，它在相同条件下由于偶然因素的影响可能发生也可能不发生…这类事件叫做随机事件…”现代学者说。
“就随机事件的个别情况看，它是没有规律的，但通过大量实践后，就其整体来看却呈现出一种严格的非偶然的规律性…”现代学者接着说。
“…率（lǜ）：两个相关的数在一定条件下的比值。如出勤率是某一单位或个人在某一时期内实际出勤日数和规定应出勤日数的比…
请看下集《欧几里得44、概率、掷硬币和常数；牛顿、莫扎特被称为天才的原因…》”
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“‘才能不是由基因决定的’，这句话说得有点武断…”另一位现代学者说。
…武断：1.只凭主观作判断——我对此事知之不详，不敢～。2.形容言行主观片面——说话～。这样作决定，未免太～了…
“另一方面…现在的确没找到‘基因决定才能’的证据…”现代学者接着说。
“‘才能不是由基因决定的’反而有许多例证：父母有本事，儿女很平庸；儿女有本事，父母很平庸…”现代学者继续说。
…例：用来说明情况的或可作依据的事物——举～。援～…
…证：证明——～人。～实…
…例证：用来证明某一事实或理论的例子…
“另一方面，‘龙生龙凤生凤老鼠生来会打洞’的情况也有很多：父母有本事，子女也有本事；父母很平庸，子女也很平庸…”现代学者最后说。
“基因来自父母…”另一位现代学者说。
“父母通过遗传，将基因传递给子女…”现代学者接着说。
…遗传：父母性状通过繁殖传递给后代，从而使后代获得父母遗传信息的现象…
性状：指生物可遗传的、能观察到的特征。
“任何生物都有许许多多性状，有的是形态特征（如豌豆种子的颜色，形状），有的是生理特征（如人的ABO血型，植物的抗病性，耐寒性），等等…”生物学家说。
…
“请简述基因和性状的关系。”
——网友提问。
“基因决定性状。
生物体都由细胞组成…细胞的细胞核中有携带遗传物质的结构——染色体…染色体上的遗传物质是DNA…每个DNA上有多个基因…基因是控制性状（特征）的基本单位。
生物的性状是由基因决定的…基因决定性状的表达…一个基因对应一个性状…基因能通过生殖遗传下去，性状不能遗传（“例如两棵高豌豆杂交…后代可能出现矮豌豆…矮豌豆虽然没继承‘高’的性状，但它确实继承了高豌豆的基因…”生物学家说。）…性状的遗传实质上是亲代通过生殖细胞把基因传递给了子代…在有性生殖过程中，精子与卵细胞是基因在亲子代间传递的桥梁（只是把控制性状的基因遗传下去了）。”
——网友“森海和你”于2019年11月22日星期五回答
…
“根据数量众多的例证…人有没有才能，和父母没有关系（人有没有才能，和基因没有关系）…”现代学者最后说，“根据数量众多的例证…人有没有才能，是个概率事件：有可能有，有可能没有…”
…概率：？…
“在自然和社会现象中，有这样一类事件，它在相同条件下由于偶然因素的影响可能发生也可能不发生…这类事件叫做随机事件…”现代学者说。
“就随机事件的个别情况看，它是没有规律的，但通过大量实践后，就其整体来看却呈现出一种严格的非偶然的规律性…”现代学者接着说。
“…率（lǜ）：两个相关的数在一定条件下的比值。如出勤率是某一单位或个人在某一时期内实际出勤日数和规定应出勤日数的比…
请看下集《欧几里得44、概率、掷硬币和常数；牛顿、莫扎特被称为天才的原因…》”
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欧几里得45、概率、掷硬币和常数；牛顿、莫扎特被称为天才的原因…
“根据数量众多的例证…人有没有才能，和父母没有关系（人有没有才能，和基因没有关系）…”现代学者最后说，“根据数量众多的例证…人有没有才能，是个概率事件：有可能有，有可能没有…”
…概率：？…
“在自然和社会现象中，有这样一类事件，它在相同条件下由于偶然因素的影响可能发生也可能不发生…这类事件叫做随机事件…”现代学者说。
“就随机事件的个别情况看，它是没有规律的，但通过大量实践后，就其整体来看却呈现出一种严格的非偶然的规律性…”现代学者接着说。
“实际上对一个随机事件作大量试验时，就会发现随机事件发生的次数与试验次数的比总在一个常数附近摆动…这个常数叫做该随机事件发生的概率…”现代学者继续说。
“概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小…”现代学者最后说。
“用‘掷（zhì）硬币’这件事说明一下吧…”数学家说。
…掷：扔；投…
“掷出的硬币，落地后，‘正面朝上’这件事，可能发生也可能不发生…”数学家接着说。
“‘正面朝上’这件事的发生，是没有规律的——你无法按照某种规律，准确判断下次掷硬币的结果…”数学家继续说。
“但是…随着掷硬币次数越来越多，就会发现‘正面朝上’发生的次数，与掷硬币总次数的比，总在‘1/2’这个数字处摆动…”数学家最后说。
“‘随着掷硬币次数越来越多，正面朝上发生的次数，与掷硬币总次数的比，总在1/2这个数字处摆动’，这是个规律…”数学家说，“虽然…掷一次硬币时…出现的结果没有规律…但是…掷多次硬币时…出现的结果和掷硬币的总次数…呈现出一种规律…”
“‘1/2’是‘掷一次硬币时，硬币落地后，【正面朝上】发生的概率’…它是个常数…”数学家接着说。
…概：大略——～况 。大～…
…率（lǜ）：两个相关的数在一定条件下的比值。如出勤率是某一单位或个人在某一时期内实际出勤日数和规定应出勤日数的比…
…概率：大概的比值…
…常：不变的；固定的——～数。冬夏～青…
…常数：不变的、固定的数…
“概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小…”现代学者继续说。
“就‘掷一次硬币时，硬币落地后，【正面朝上】发生的概率——1/2’来说…它的含义是：掷一次硬币时，硬币落地后，【正面朝上】发生的可能性为1/2；掷一次硬币，硬币落地后，【正面朝上】出现的可能性为50%…”
…
“观察数量众多的例证…能得出一些结论：努力的人不一定有才能；不努力的人一定没有才能；有才能的人一定是努力的人…”现代学者说。
…
“人们对‘努力’的理解不同，所以…很多人认为牛顿、莫扎特…不需要特别努力，就能取得非凡成就…”另一位现代学者说，“这是人们认为他们是天才的原因之一…”
“‘努力是坚持不懈地完成自己的目标…’网友说。
请看下集《欧几里得46、努力是什么？》”
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“根据数量众多的例证…人有没有才能，和父母没有关系（人有没有才能，和基因没有关系）…”现代学者最后说，“根据数量众多的例证…人有没有才能，是个概率事件：有可能有，有可能没有…”
…概率：？…
“在自然和社会现象中，有这样一类事件，它在相同条件下由于偶然因素的影响可能发生也可能不发生…这类事件叫做随机事件…”现代学者说。
“就随机事件的个别情况看，它是没有规律的，但通过大量实践后，就其整体来看却呈现出一种严格的非偶然的规律性…”现代学者接着说。
“实际上对一个随机事件作大量试验时，就会发现随机事件发生的次数与试验次数的比总在一个常数附近摆动…这个常数叫做该随机事件发生的概率…”现代学者继续说。
“概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小…”现代学者最后说。
“用‘掷（zhì）硬币’这件事说明一下吧…”数学家说。
…掷：扔；投…
“掷出的硬币，落地后，‘正面朝上’这件事，可能发生也可能不发生…”数学家接着说。
“‘正面朝上’这件事的发生，是没有规律的——你无法按照某种规律，准确判断下次掷硬币的结果…”数学家继续说。
“但是…随着掷硬币次数越来越多，就会发现‘正面朝上’发生的次数，与掷硬币总次数的比，总在‘1/2’这个数字处摆动…”数学家最后说。
“‘随着掷硬币次数越来越多，正面朝上发生的次数，与掷硬币总次数的比，总在1/2这个数字处摆动’，这是个规律…”数学家说，“虽然…掷一次硬币时…出现的结果没有规律…但是…掷多次硬币时…出现的结果和掷硬币的总次数…呈现出一种规律…”
“‘1/2’是‘掷一次硬币时，硬币落地后，【正面朝上】发生的概率’…它是个常数…”数学家接着说。
…概：大略——～况 。大～…
…率（lǜ）：两个相关的数在一定条件下的比值。如出勤率是某一单位或个人在某一时期内实际出勤日数和规定应出勤日数的比…
…概率：大概的比值…
…常：不变的；固定的——～数。冬夏～青…
…常数：不变的、固定的数…
“概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小…”现代学者继续说。
“就‘掷一次硬币时，硬币落地后，【正面朝上】发生的概率——1/2’来说…它的含义是：掷一次硬币时，硬币落地后，【正面朝上】发生的可能性为1/2；掷一次硬币，硬币落地后，【正面朝上】出现的可能性为50%…”
…
“观察数量众多的例证…能得出一些结论：努力的人不一定有才能；不努力的人一定没有才能；有才能的人一定是努力的人…”现代学者说。
…
“人们对‘努力’的理解不同，所以…很多人认为牛顿、莫扎特…不需要特别努力，就能取得非凡成就…”另一位现代学者说，“这是人们认为他们是天才的原因之一…”
“‘努力是坚持不懈地完成自己的目标…’网友说。
请看下集《欧几里得46、努力是什么？》”
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欧几里得46、努力是什么？
“人们对‘努力’的理解不同，所以…很多人认为牛顿、莫扎特…不需要特别努力，就能取得非凡成就…”另一位现代学者说，“这是人们认为他们是天才的原因之一…”
…天才：这里指“被上天赋予才能的人；普通人努力了，也比不上的人”…
…理：1.物质组织的条纹；纹理——木～。肌～。条～。2.道理；事理——合～。～屈。～当如此…
…解：1.把束缚着或系着的东西打开——～扣儿。～衣服。2.了解；明白——令人不～。通俗易～…
…理解：1.顺着脉理或条理进行剖析。2.从道理上了解…
“天才真的不需要特别努力吗？…”现代学者接着说，“想弄清这个问题…需先弄清‘努力’…”
…
“努力是什么？…”现代学者问。
“努力是什么？…”网友问。
…
汉语词典对努力的解释是：1.把力量尽量使出来——大家再努一把力。2.花的精力多，下的工夫大——～工作。学习很～
百度百科对努力的解释是：尽量的使出自己的力气来做事；最初指用尽力气去做事情，后来指一种做事情的积极态度。比如说努力工作，努力学习…
什么是努力？…对于这个问题，网友们各抒己见：
“努力是坚持不懈地完成自己的目标…”网友1回答。
“每天的自己都比昨天的自己优秀…自律且不断学习…”网友“假如我是两个人”回答。
“努力不是一直重复的学习，而是超越自我，一次次都比过去的自己做的更好。这就是努力了…”网友“莫祁（qí）明夜 ”说。
…祁：1.指安徽祁门——～红（祁门出的红茶）。2.指湖南祁阳——～剧…
“尽自己最大的力量拼搏！只要自己认为自己尽力了就可以！不用太在意别人的看法！”网友“day凤迷”说。
“也许我们脑子笨，也许我们的做法在别人看来像笨蛋一样…但是，请不要在意！…因为别人的聪明办法我们学不来！”day凤迷接着说。
“每个人都是不同的…每个人的努力方式也都是不同的…”day凤迷继续说，“只要尽了最大力量…就是努力！”
“即便结果不尽人意…即便被批评‘方法不对’…也不要贬低自己的努力…”day凤迷最后说，“要为自己竭尽全力的样子感到自豪…”
…
“不怕吃苦，不怕受累，肯钻研，勤学苦练，不弄明白不罢休，不学会不罢休…”网友莉莉1951说。
“不跟别人比，跟昨天的自己比，每天进步一点点…”网友qq962334640说。
“努力是尽自己最大的力气去做，就算不成功，但是也不遗憾…”网友米志威心说。
“能把自己感动了就算努力了，哈哈哈…”网友迈克尔强哥111 说。
“就是用尽一切去追求什么吧…”网友9说。
“尽力完成每一件事呗~”网友10说。
“个人认为有如下几点方可称得上努力：…严格自律，有恒心与毅力…”网友魔笛民政局说。
…
“努力就是，明知道不可能的事情，硬是做成功了；努力就是，全心全意投入一件事，并且一直为这个事情保持热情；努力就是，你全部的坚持，全部的热情，全部的精力以及全部的全部；努力就是，即便不成功，以后想起来，也不后悔的纯粹…
请看下集《欧几里得47、什么是努力？》”
5
“人们对‘努力’的理解不同，所以…很多人认为牛顿、莫扎特…不需要特别努力，就能取得非凡成就…”另一位现代学者说，“这是人们认为他们是天才的原因之一…”
…天才：这里指“被上天赋予才能的人；普通人努力了，也比不上的人”…
…理：1.物质组织的条纹；纹理——木～。肌～。条～。2.道理；事理——合～。～屈。～当如此…
…解：1.把束缚着或系着的东西打开——～扣儿。～衣服。2.了解；明白——令人不～。通俗易～…
…理解：1.顺着脉理或条理进行剖析。2.从道理上了解…
“天才真的不需要特别努力吗？…”现代学者接着说，“想弄清这个问题…需先弄清‘努力’…”
…
“努力是什么？…”现代学者问。
“努力是什么？…”网友问。
…
汉语词典对努力的解释是：1.把力量尽量使出来——大家再努一把力。2.花的精力多，下的工夫大——～工作。学习很～
百度百科对努力的解释是：尽量的使出自己的力气来做事；最初指用尽力气去做事情，后来指一种做事情的积极态度。比如说努力工作，努力学习…
什么是努力？…对于这个问题，网友们各抒己见：
“努力是坚持不懈地完成自己的目标…”网友1回答。
“每天的自己都比昨天的自己优秀…自律且不断学习…”网友“假如我是两个人”回答。
“努力不是一直重复的学习，而是超越自我，一次次都比过去的自己做的更好。这就是努力了…”网友“莫祁（qí）明夜 ”说。
…祁：1.指安徽祁门——～红（祁门出的红茶）。2.指湖南祁阳——～剧…
“尽自己最大的力量拼搏！只要自己认为自己尽力了就可以！不用太在意别人的看法！”网友“day凤迷”说。
“也许我们脑子笨，也许我们的做法在别人看来像笨蛋一样…但是，请不要在意！…因为别人的聪明办法我们学不来！”day凤迷接着说。
“每个人都是不同的…每个人的努力方式也都是不同的…”day凤迷继续说，“只要尽了最大力量…就是努力！”
“即便结果不尽人意…即便被批评‘方法不对’…也不要贬低自己的努力…”day凤迷最后说，“要为自己竭尽全力的样子感到自豪…”
…
“不怕吃苦，不怕受累，肯钻研，勤学苦练，不弄明白不罢休，不学会不罢休…”网友莉莉1951说。
“不跟别人比，跟昨天的自己比，每天进步一点点…”网友qq962334640说。
“努力是尽自己最大的力气去做，就算不成功，但是也不遗憾…”网友米志威心说。
“能把自己感动了就算努力了，哈哈哈…”网友迈克尔强哥111 说。
“就是用尽一切去追求什么吧…”网友9说。
“尽力完成每一件事呗~”网友10说。
“个人认为有如下几点方可称得上努力：…严格自律，有恒心与毅力…”网友魔笛民政局说。
…
“努力就是，明知道不可能的事情，硬是做成功了；努力就是，全心全意投入一件事，并且一直为这个事情保持热情；努力就是，你全部的坚持，全部的热情，全部的精力以及全部的全部；努力就是，即便不成功，以后想起来，也不后悔的纯粹…
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欧几里得48、努力一定伴随着痛苦吗？
“你看那些肉食动物为了得到猎物，你争我夺，互相互相厮杀，最终弱者被强者所吞食…”网友21接着说，“人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波…这些都是努力的表现。”
“和自己比较，一次比一次好…当量变形成质变，就说明你够努力了…”网友“忆清梦兮”说。
“努力是心怀目标，并且通过各种途径朝着目标前进，遇到任何困难，都先去想更多的渠道和解决方法，不放弃…”网友“成吗成啊 ”说。
…
对于“努力是什么”，古人也有很多见解…
“努力是凿壁偷光…”古人1说。
“努力是头悬梁锥刺股…”古人2说。
“我学习时就把头发绑到房梁上…”古人2小声说。
…
“努力是卧薪尝胆…”古人3说。
“努力是持之以恒…”古人4说。
“天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能…”孟子说，“筋骨被劳…经常饿肚子…我认为经历过这些事的人，是努力的人…”
“虽然我不清楚啥是努力，但我知道验证努力的方法…”佛祖说，“那就是…让她经历九九八十一难，去取真经…”
“如果她能取得真经，说明她是努力的人…如果她不能取得真经，说明她还不够努力…”佛祖接着说。
“需要注意的是…九九八十一难…一难不能多，一难不能少…”佛祖最后说。
“人们为什么认为‘天才不需要特别努力，就能取得非凡成就’？…”现代学者说，“说到底，是因为…人们认为努力是痛苦的…”
天才在人们的背后付出了巨大的努力，只不过由于这些努力是他本身的爱好兴趣所在，所以这些努力显得不是那么痛苦，好像玩着玩着就成功了。——网友
“人们用‘痛苦’识别努力：痛苦了…说明努力了；不痛苦…说明没有努力…”现代学者接着说，“由于天才‘玩着玩着就成功了’…没有经历痛苦…人们认为他们没有努力…”
…
“天才不需要努力，就能取得成就…因此，人们称他们为天才…”现代学者最后说。
“人们将‘痛苦’当成努力的标志，但是…努力一定伴随着痛苦吗？…”现代学者问。
…标：树木的末梢…
…志：记录…
…标志：树木末梢的记录；记号…
“标志是生活中人们用来表明某一事物特征的记号。它以单纯、显著、易识别的物象、图形或文字符号为直观语言，除表示什么、代替什么之外，还具有表达意义、情感和指令行动等作用…”现代百姓说。
…
“…前文中，我们围绕‘努力是什么’‘什么是努力’搜集了大量资料（见《欧几里得46、47》）…”现代学者说，“根据大部分人的叙述…她们默认‘努力是痛苦的’…”
…大部分人的叙述：花的精力多，下的工夫大；用尽力气去做事情；坚持不懈地完成目标；不怕吃苦，不怕受累，肯钻研，勤学苦练；严格自律，有恒心有毅力；刻苦…
“…反证法：证明定理的一种方法…先提出和定理中的结论相反的假设，然后从这个假设中得出和已知条件相矛盾的结果…这样就否定了原来的假设而肯定了定理…反证法也叫归谬（miù）法…
请看下集《欧几里得49、真理和公理；人文科学和反证法；洗脑…》”
5
“你看那些肉食动物为了得到猎物，你争我夺，互相互相厮杀，最终弱者被强者所吞食…”网友21接着说，“人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波…这些都是努力的表现。”
“和自己比较，一次比一次好…当量变形成质变，就说明你够努力了…”网友“忆清梦兮”说。
“努力是心怀目标，并且通过各种途径朝着目标前进，遇到任何困难，都先去想更多的渠道和解决方法，不放弃…”网友“成吗成啊 ”说。
…
对于“努力是什么”，古人也有很多见解…
“努力是凿壁偷光…”古人1说。
“努力是头悬梁锥刺股…”古人2说。
“我学习时就把头发绑到房梁上…”古人2小声说。
…
“努力是卧薪尝胆…”古人3说。
“努力是持之以恒…”古人4说。
“天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能…”孟子说，“筋骨被劳…经常饿肚子…我认为经历过这些事的人，是努力的人…”
“虽然我不清楚啥是努力，但我知道验证努力的方法…”佛祖说，“那就是…让她经历九九八十一难，去取真经…”
“如果她能取得真经，说明她是努力的人…如果她不能取得真经，说明她还不够努力…”佛祖接着说。
“需要注意的是…九九八十一难…一难不能多，一难不能少…”佛祖最后说。
“人们为什么认为‘天才不需要特别努力，就能取得非凡成就’？…”现代学者说，“说到底，是因为…人们认为努力是痛苦的…”
天才在人们的背后付出了巨大的努力，只不过由于这些努力是他本身的爱好兴趣所在，所以这些努力显得不是那么痛苦，好像玩着玩着就成功了。——网友
“人们用‘痛苦’识别努力：痛苦了…说明努力了；不痛苦…说明没有努力…”现代学者接着说，“由于天才‘玩着玩着就成功了’…没有经历痛苦…人们认为他们没有努力…”
…
“天才不需要努力，就能取得成就…因此，人们称他们为天才…”现代学者最后说。
“人们将‘痛苦’当成努力的标志，但是…努力一定伴随着痛苦吗？…”现代学者问。
…标：树木的末梢…
…志：记录…
…标志：树木末梢的记录；记号…
“标志是生活中人们用来表明某一事物特征的记号。它以单纯、显著、易识别的物象、图形或文字符号为直观语言，除表示什么、代替什么之外，还具有表达意义、情感和指令行动等作用…”现代百姓说。
…
“…前文中，我们围绕‘努力是什么’‘什么是努力’搜集了大量资料（见《欧几里得46、47》）…”现代学者说，“根据大部分人的叙述…她们默认‘努力是痛苦的’…”
…大部分人的叙述：花的精力多，下的工夫大；用尽力气去做事情；坚持不懈地完成目标；不怕吃苦，不怕受累，肯钻研，勤学苦练；严格自律，有恒心有毅力；刻苦…
“…反证法：证明定理的一种方法…先提出和定理中的结论相反的假设，然后从这个假设中得出和已知条件相矛盾的结果…这样就否定了原来的假设而肯定了定理…反证法也叫归谬（miù）法…
请看下集《欧几里得49、真理和公理；人文科学和反证法；洗脑…》”
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欧几里得49、真理和公理；人文科学和反证法；洗脑…
“根据古人的看法，‘努力是痛苦的’简直就是真理…”现代学者接着说。
…古人的看法：努力是凿壁偷光；努力是头悬梁锥刺股；努力是卧薪尝胆…（详见《欧几里得48》。）
…真理：人文科学把公理称为真理…
…人文科学：研究人类的信仰、情感、道德和美感等的各门科学的总称…
…公理：指人类认为的、不证自明的事实（如“两点之间直线【其实是‘线段’】最短”，牛顿三定律…）；经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的命题…
…
“根据众多人的感受…努力伴随着痛苦…”现代学者继续说，“即便没努过力的人（虽然很少，但是…这样的人还是有的）…他们看到努力的人的样子，也会认为‘努力是痛苦的’…”
…努力的人的样子：头悬梁锥刺股；早早起床工作；寒窗十年…
“努力伴随着痛苦…这点虽然没有被精准证明…但是…根据人们自古以来的感受…可以把它看成事实…”现代学者最后说。
…事：事情——国～。公～…
…实：真实；实在（跟“虚”相对）——～话。～心眼儿。～事求是…
…事实：事情的真实情况——～胜于雄辩。传闻与～不符…
“这里…我们将‘努力伴随着痛苦’看成事实…”现代学者说。
“现在，我们讨论另一个问题：‘努力’中是不是只有痛苦？…”现代学者接着说。
“这个问题的答案很好推理…”现代学者继续说。
“…推理方法众多…我们用反证法推导一下…”现代学者最后说。
…推理：从已有判断得出新判断的过程；从已有事实得出新事实的过程…
…反证法：证明定理的一种方法…先提出和定理中的结论相反的假设，然后从这个假设中得出和已知条件相矛盾的结果…这样就否定了原来的假设而肯定了定理…反证法也叫归谬（miù）法…
…谬：1.错误的；荒唐的。2.差错…
…
“假设‘努力中只有痛苦’…它就和另一个事实冲突：几千年来，人们对‘努力’趋之若鹜（wù）…”现代学者说。
…趋：1.快走。2.归向，情势向着某方面发展——～向。～势。3.追求，追逐——～时（追求时髦）。～利。～光性…
…趋之若鹜：像鸭子一样成群地跑过去。比喻争相追逐某样事物…
“根据趋利避害定律，人会远离对自己有害的事物…”现代学者接着说，“‘痛苦’对人有害，所以人会远离它…”
…趋利避害：生物会远离不利于自己的环境，生物学把这种规律叫趋利避害；趋利避害是生物与生俱来的本能——只要是生物，就有这种本能；人是生物，人也有趋利避害本能——人面临两个选择时，会选择对自己有利的一个…（详见《自然科学价值观》。）
…
“极少有人认为‘痛苦’对自己有利并亲近痛苦…”现代百姓说，“如果有的话…他可能被洗脑了…”
““区分是否洗脑的关键不是‘灌输’这个过程，而是看灌输的思想是否符合事实…”现代百姓接着说，“灌输的思想不符合事实，则为洗脑…”
“比如说，你听到‘吃得苦中苦方为人上人’‘先苦后甜’等话后…会心甘情愿地吃苦…”现代百姓继续说，“这说明你被洗脑了…”
请看下集《欧几里得50、洗脑；努力伴随着痛苦，人们为何还要努力？如何识别努力？》”
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“根据古人的看法，‘努力是痛苦的’简直就是真理…”现代学者接着说。
…古人的看法：努力是凿壁偷光；努力是头悬梁锥刺股；努力是卧薪尝胆…（详见《欧几里得48》。）
…真理：人文科学把公理称为真理…
…人文科学：研究人类的信仰、情感、道德和美感等的各门科学的总称…
…公理：指人类认为的、不证自明的事实（如“两点之间直线【其实是‘线段’】最短”，牛顿三定律…）；经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的命题…
…
“根据众多人的感受…努力伴随着痛苦…”现代学者继续说，“即便没努过力的人（虽然很少，但是…这样的人还是有的）…他们看到努力的人的样子，也会认为‘努力是痛苦的’…”
…努力的人的样子：头悬梁锥刺股；早早起床工作；寒窗十年…
“努力伴随着痛苦…这点虽然没有被精准证明…但是…根据人们自古以来的感受…可以把它看成事实…”现代学者最后说。
…事：事情——国～。公～…
…实：真实；实在（跟“虚”相对）——～话。～心眼儿。～事求是…
…事实：事情的真实情况——～胜于雄辩。传闻与～不符…
“这里…我们将‘努力伴随着痛苦’看成事实…”现代学者说。
“现在，我们讨论另一个问题：‘努力’中是不是只有痛苦？…”现代学者接着说。
“这个问题的答案很好推理…”现代学者继续说。
“…推理方法众多…我们用反证法推导一下…”现代学者最后说。
…推理：从已有判断得出新判断的过程；从已有事实得出新事实的过程…
…反证法：证明定理的一种方法…先提出和定理中的结论相反的假设，然后从这个假设中得出和已知条件相矛盾的结果…这样就否定了原来的假设而肯定了定理…反证法也叫归谬（miù）法…
…谬：1.错误的；荒唐的。2.差错…
…
“假设‘努力中只有痛苦’…它就和另一个事实冲突：几千年来，人们对‘努力’趋之若鹜（wù）…”现代学者说。
…趋：1.快走。2.归向，情势向着某方面发展——～向。～势。3.追求，追逐——～时（追求时髦）。～利。～光性…
…趋之若鹜：像鸭子一样成群地跑过去。比喻争相追逐某样事物…
“根据趋利避害定律，人会远离对自己有害的事物…”现代学者接着说，“‘痛苦’对人有害，所以人会远离它…”
…趋利避害：生物会远离不利于自己的环境，生物学把这种规律叫趋利避害；趋利避害是生物与生俱来的本能——只要是生物，就有这种本能；人是生物，人也有趋利避害本能——人面临两个选择时，会选择对自己有利的一个…（详见《自然科学价值观》。）
…
“极少有人认为‘痛苦’对自己有利并亲近痛苦…”现代百姓说，“如果有的话…他可能被洗脑了…”
““区分是否洗脑的关键不是‘灌输’这个过程，而是看灌输的思想是否符合事实…”现代百姓接着说，“灌输的思想不符合事实，则为洗脑…”
“比如说，你听到‘吃得苦中苦方为人上人’‘先苦后甜’等话后…会心甘情愿地吃苦…”现代百姓继续说，“这说明你被洗脑了…”
请看下集《欧几里得50、洗脑；努力伴随着痛苦，人们为何还要努力？如何识别努力？》”
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欧几里得50、洗脑；努力伴随着痛苦，人们为何还要努力？如何识别努力？
“极少有人认为痛苦对自己有利并亲近痛苦…”现代百姓说，“如果有的话…他可能被洗脑了…”
…洗脑：将不符合事实的思想灌输给他人…
“区分是否洗脑的关键不是‘灌输’这个过程，而是看灌输的思想是否符合事实…”现代百姓接着说，“灌输的思想不符合事实，则为洗脑…”
“比如说，你听到‘吃得苦中苦方为人上人’‘先苦后甜’等话后…会心甘情愿地吃苦…”现代百姓继续说，“这说明你被洗脑了…”
“洗脑…其实是件非常简单的事…”现代百姓最后说。
…
“人没有远离‘努力’，反而对‘努力’趋之若鹜（wù）…这说明‘努力’中除了痛苦，还有别的东西…”现代学者接着说。
“人们判断这种东西对自己有利…且大于‘努力’带来的痛苦…因此，人们选择了‘努力’…”现代学者最后说。
“人感受到‘痛苦’，会表现出‘痛苦的样子’…”另一位现代学者说，“人感受到‘快乐’，也会表现出‘快乐的样子’…”
…痛苦的样子：头悬梁锥刺股；早早起床工作；寒窗十年…
…快乐的样子：小学生打游戏时happy的样子…等等…
（…happy：英语，意思是“感到（或显得）快乐的; 高兴的”…）
有一句话说得好。天才就是99%的努力加1%的天分…所谓的天才就是人们感觉这个人在某一方面才华特别突出，能力高出常人不是一两个等级。但这只是表面现象…真正的天才在人们的背后付出了巨大的努力，只不过由于这些努力是他本身的爱好兴趣所在，所以这些努力显得不是那么痛苦，好像玩着玩着就成功了。
——网友
“由于是本身的爱好兴趣…天才努力的时候显得不那么痛苦…”现代学者接着说，“由于是本身的爱好兴趣…天才努力的时候显得很快乐…”
“人努力时，感受到的快乐大于痛苦…这种情况下，人会表现出‘快乐的样子’…”现代学者继续说。
“就是说，努力也可以是快乐的…”现代学者最后说。
“以前，人们用‘痛苦’识别努力：痛苦了…说明努力了；不痛苦…说明没有努力…”现代学者说，“经过我们的证明…我们认识到：努力也可以是快乐的…”
“那些看起来没经历痛苦、快快乐乐就成功的人（虽然很少，但是…这样的人还是有的）…也可能是‘努力的人’…”现代学者接着说。
…
“既然‘痛苦’没法准确识别努力，那么…如何识别努力？”现代学者问。
“‘如何识别努力？’，想弄清这个问题，需先弄清‘什么是努力’…”另一位现代学者说。
“前文中，我们围绕‘什么是努力’搜集了大量资料（见《欧几里得46、47》）…”现代学者说，“根据大部分人的叙述…努力是‘竭尽全力、坚持不懈的完成自己的目标’…”
“努力是“把力量尽量使出来；花的精力多，下的工夫大”（汉语词典）；
努力是“用尽力气去做事情”（百度百科）；
…
请看下集《欧几里得51、围绕“什么是努力”搜集的大量资料》”
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“极少有人认为痛苦对自己有利并亲近痛苦…”现代百姓说，“如果有的话…他可能被洗脑了…”
…洗脑：将不符合事实的思想灌输给他人…
“区分是否洗脑的关键不是‘灌输’这个过程，而是看灌输的思想是否符合事实…”现代百姓接着说，“灌输的思想不符合事实，则为洗脑…”
“比如说，你听到‘吃得苦中苦方为人上人’‘先苦后甜’等话后…会心甘情愿地吃苦…”现代百姓继续说，“这说明你被洗脑了…”
“洗脑…其实是件非常简单的事…”现代百姓最后说。
…
“人没有远离‘努力’，反而对‘努力’趋之若鹜（wù）…这说明‘努力’中除了痛苦，还有别的东西…”现代学者接着说。
“人们判断这种东西对自己有利…且大于‘努力’带来的痛苦…因此，人们选择了‘努力’…”现代学者最后说。
“人感受到‘痛苦’，会表现出‘痛苦的样子’…”另一位现代学者说，“人感受到‘快乐’，也会表现出‘快乐的样子’…”
…痛苦的样子：头悬梁锥刺股；早早起床工作；寒窗十年…
…快乐的样子：小学生打游戏时happy的样子…等等…
（…happy：英语，意思是“感到（或显得）快乐的; 高兴的”…）
有一句话说得好。天才就是99%的努力加1%的天分…所谓的天才就是人们感觉这个人在某一方面才华特别突出，能力高出常人不是一两个等级。但这只是表面现象…真正的天才在人们的背后付出了巨大的努力，只不过由于这些努力是他本身的爱好兴趣所在，所以这些努力显得不是那么痛苦，好像玩着玩着就成功了。
——网友
“由于是本身的爱好兴趣…天才努力的时候显得不那么痛苦…”现代学者接着说，“由于是本身的爱好兴趣…天才努力的时候显得很快乐…”
“人努力时，感受到的快乐大于痛苦…这种情况下，人会表现出‘快乐的样子’…”现代学者继续说。
“就是说，努力也可以是快乐的…”现代学者最后说。
“以前，人们用‘痛苦’识别努力：痛苦了…说明努力了；不痛苦…说明没有努力…”现代学者说，“经过我们的证明…我们认识到：努力也可以是快乐的…”
“那些看起来没经历痛苦、快快乐乐就成功的人（虽然很少，但是…这样的人还是有的）…也可能是‘努力的人’…”现代学者接着说。
…
“既然‘痛苦’没法准确识别努力，那么…如何识别努力？”现代学者问。
“‘如何识别努力？’，想弄清这个问题，需先弄清‘什么是努力’…”另一位现代学者说。
“前文中，我们围绕‘什么是努力’搜集了大量资料（见《欧几里得46、47》）…”现代学者说，“根据大部分人的叙述…努力是‘竭尽全力、坚持不懈的完成自己的目标’…”
“努力是“把力量尽量使出来；花的精力多，下的工夫大”（汉语词典）；
努力是“用尽力气去做事情”（百度百科）；
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请看下集《欧几里得51、围绕“什么是努力”搜集的大量资料》”
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