欧几里得
欧几里得51、围绕“什么是努力”搜集的大量资料
“‘如何识别努力？’，想弄清这个问题，需先弄清‘什么是努力’…”另一位现代学者说。
“前文中，我们围绕‘什么是努力’搜集了大量资料（见《欧几里得46、47》）…”现代学者说，“资料如下：…”
资料：努力是“把力量尽量使出来；花的精力多，下的工夫大”（汉语词典）；
努力是“用尽力气去做事情”（百度百科）；
努力是“坚持不懈地完成自己的目标”（网友1）；
努力是“自律且不断学习”（网友“假如我是两个人”）；
“努力不是一直重复的学习，而是超越自我，一次次都比过去的自己做的更好…”（网友“莫祁（qí）明夜 ”）；
努力是“尽自己最大的力量拼搏！只要自己认为自己尽力了就可以！不用太在意别人的看法！”（网友“day凤迷”）；
努力是“不弄明白不罢休，不学会不罢休”（网友“莉莉1951”）；
努力是“不跟别人比，跟昨天的自己比，每天进步一点点”（网友qq962334640）；
努力是“尽自己最大的力气去做，就算不成功，但是也不遗憾”（网友米志威心）；
“能把自己感动了就算努力了，哈哈哈…”（网友迈克尔强哥111）；
“就是用尽一切去追求什么吧…”（网友9）；
“尽力完成每一件事呗~”（网友10）；
努力是“严格自律，有恒心与毅力…”（网友魔笛民政局）；
“努力就是，明知道不可能的事情，硬是做成功了；努力就是，全心全意投入一件事，并且一直为这个事情保持热情；努力就是，你全部的坚持，全部的热情，全部的精力以及全部的全部；努力就是，即便不成功，以后想起来，也不后悔的纯粹…”（网友“哦安这 ”）；
“努力是一种积极的工作态度…花的精力多，下的功夫大…”（网友“从零开始1124”）；
努力是“为完成目标理想，竭尽全力做好每一件事…”（网友14）；
“努力就是尽可能的过上自己想要的生活…”（网友15）；
努力是“做什么事情都全力以赴了…”（网友“艾克电缆科技企”）；
努力是“全身心地投入”（网友“逗你玩的大姨子”）；
努力是“是能力有点不够但是继续坚持…”（网友“fjvfhe”）；
努力是“忍受经年累月的孤寂，连续几个甚至十几个小时集中注意力…面对层出不穷的难题仍要保持旺盛的斗志，尤其是在你完全无法预知成败的情况下…面对那些可能到来的嗤（chī）笑、流言和冷眼仍然能够坚持自己的选择…”（网友“不详德玛皇子 ”）；
“努力包括的范围很广…世间万物都因努力而存在…比如人学习、做事都是极积上进，争取更好…还有那些动物…
为了生活，动物们到处去寻找食物来挺饱肚子…
你看那些肉食动物为了得到猎物，你争我夺，互相互相厮杀，最终弱者被强者所吞食…人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波…这些都是努力的表现。”（网友21）
““了解事物的本质，可使人们脱离具体事物…进行创新…”现代百姓说。
“例如，我们知道了凳子的本质就是一个可以坐下来休息的东西，那么就可以脱离其木材料、传统结构样式，开创各种新型的凳子，如冰凳、水果凳、气球凳等等…”现代百姓接着说。
请看下集《欧几里得52、用“抽象”技术，抽离出“努力”的本质…》”
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“‘如何识别努力？’，想弄清这个问题，需先弄清‘什么是努力’…”另一位现代学者说。
“前文中，我们围绕‘什么是努力’搜集了大量资料（见《欧几里得46、47》）…”现代学者说，“资料如下：…”
资料：努力是“把力量尽量使出来；花的精力多，下的工夫大”（汉语词典）；
努力是“用尽力气去做事情”（百度百科）；
努力是“坚持不懈地完成自己的目标”（网友1）；
努力是“自律且不断学习”（网友“假如我是两个人”）；
“努力不是一直重复的学习，而是超越自我，一次次都比过去的自己做的更好…”（网友“莫祁（qí）明夜 ”）；
努力是“尽自己最大的力量拼搏！只要自己认为自己尽力了就可以！不用太在意别人的看法！”（网友“day凤迷”）；
努力是“不弄明白不罢休，不学会不罢休”（网友“莉莉1951”）；
努力是“不跟别人比，跟昨天的自己比，每天进步一点点”（网友qq962334640）；
努力是“尽自己最大的力气去做，就算不成功，但是也不遗憾”（网友米志威心）；
“能把自己感动了就算努力了，哈哈哈…”（网友迈克尔强哥111）；
“就是用尽一切去追求什么吧…”（网友9）；
“尽力完成每一件事呗~”（网友10）；
努力是“严格自律，有恒心与毅力…”（网友魔笛民政局）；
“努力就是，明知道不可能的事情，硬是做成功了；努力就是，全心全意投入一件事，并且一直为这个事情保持热情；努力就是，你全部的坚持，全部的热情，全部的精力以及全部的全部；努力就是，即便不成功，以后想起来，也不后悔的纯粹…”（网友“哦安这 ”）；
“努力是一种积极的工作态度…花的精力多，下的功夫大…”（网友“从零开始1124”）；
努力是“为完成目标理想，竭尽全力做好每一件事…”（网友14）；
“努力就是尽可能的过上自己想要的生活…”（网友15）；
努力是“做什么事情都全力以赴了…”（网友“艾克电缆科技企”）；
努力是“全身心地投入”（网友“逗你玩的大姨子”）；
努力是“是能力有点不够但是继续坚持…”（网友“fjvfhe”）；
努力是“忍受经年累月的孤寂，连续几个甚至十几个小时集中注意力…面对层出不穷的难题仍要保持旺盛的斗志，尤其是在你完全无法预知成败的情况下…面对那些可能到来的嗤（chī）笑、流言和冷眼仍然能够坚持自己的选择…”（网友“不详德玛皇子 ”）；
“努力包括的范围很广…世间万物都因努力而存在…比如人学习、做事都是极积上进，争取更好…还有那些动物…
为了生活，动物们到处去寻找食物来挺饱肚子…
你看那些肉食动物为了得到猎物，你争我夺，互相互相厮杀，最终弱者被强者所吞食…人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波…这些都是努力的表现。”（网友21）
““了解事物的本质，可使人们脱离具体事物…进行创新…”现代百姓说。
“例如，我们知道了凳子的本质就是一个可以坐下来休息的东西，那么就可以脱离其木材料、传统结构样式，开创各种新型的凳子，如冰凳、水果凳、气球凳等等…”现代百姓接着说。
请看下集《欧几里得52、用“抽象”技术，抽离出“努力”的本质…》”
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欧几里得52、用“抽象”技术，抽离出“努力”的本质…
“努力是和自己比较，一次比一次好…当量变形成质变，就说明你够努力了…”（网友“忆清梦兮”）；
“努力是心怀目标，并且通过各种途径朝着目标前进，遇到任何困难，都先去想更多的渠道和解决方法，不放弃…”（网友“成吗成啊 ”）；
…
“资料有了…现在我们用‘抽象’技术，抽离出‘努力’的本质…”现代学者接着说。
…抽：1.把夹在中间的东西取出。2.从中取出一部分…
…象：形状；样子——景～，天～，气～，印～，万～更新…
…抽象：从具体事物抽出、概括出它们共同的方面、本质属性与关系等，而将个别的、非本质的方面、属性与关系舍弃，这种思维过程，称为抽象…比如从“五个苹果、五个手指”等事物中抽象出“5”这个数字…
（“抽象就是总结规律…”现代百姓说。
“抽象是找相同点…”网友说。）
…本：1.草木的根——～草（泛指中药）。无～之木。2.事物的根源，与“末”相对…
“据甲骨文字形，‘本’是树的根，与‘末’相对…”语言学家说，“‘末’是树梢…‘末’组成的词语有——细枝末节…”
…质：1.事物的根本特性——本～。变～。2.哲学范畴。指一事物之所以是该事物并区别于他事物的规定性。3.质料，构成事物的材料——铁～。流～…
…本质：1.本身的形体；本来的形体。2.本来的样子。3.事物本身所固有的根本属性；事物区别于其它事物的根本特点…
“了解事物的本质，可使人们脱离具体事物…进行创新…”现代百姓说。
“例如，我们知道了凳子的本质就是一个可以坐下来休息的东西，那么就可以脱离其木材料、传统结构样式，开创各种新型的凳子，如冰凳、水果凳、气球凳等等…”现代百姓接着说。
…
“抽象，简单来说就是‘总结规律’，‘找相同点’…”现代学者继续说。
“人们描述的努力…相同点是什么？…我们现在来找一下相同点…”现代学者最后说。
…
“第1个相同点是‘竭尽全力’…”现代学者说，“‘竭尽全力’在人们对努力的描述中，出现的频率最高…’
人们对努力的描述：“把力量尽量使出来”，“用尽力气去做事情”，“尽自己最大的力量拼搏”，“尽自己最大的力气去做，就算不成功，但是也不遗憾”，“能把自己感动了就算努力了”，“就是用尽一切去追求什么吧”，“尽力完成每一件事呗~”，“全部的坚持，全部的热情，全部的精力以及全部的全部”，“为完成目标理想，竭尽全力做好每一件事”，“做什么事情都全力以赴了”，“全身心地投入”，“为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波”…见《欧几里得51》…
“第2个相同点是‘持续’…”现代学者接着说，“‘持续’在人们对努力的描述中，出现的频率第2高…”
““把人们对‘努力’的描述的相同点（竭尽全力、持续、做事）组合起来…便得到了努力的本质：努力是‘竭尽全力的、持续的做事’…”现代学者说。
请看下集《欧几里得53、用“抽象”技术，抽离出“努力”的本质（二）…》”
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“努力是和自己比较，一次比一次好…当量变形成质变，就说明你够努力了…”（网友“忆清梦兮”）；
“努力是心怀目标，并且通过各种途径朝着目标前进，遇到任何困难，都先去想更多的渠道和解决方法，不放弃…”（网友“成吗成啊 ”）；
…
“资料有了…现在我们用‘抽象’技术，抽离出‘努力’的本质…”现代学者接着说。
…抽：1.把夹在中间的东西取出。2.从中取出一部分…
…象：形状；样子——景～，天～，气～，印～，万～更新…
…抽象：从具体事物抽出、概括出它们共同的方面、本质属性与关系等，而将个别的、非本质的方面、属性与关系舍弃，这种思维过程，称为抽象…比如从“五个苹果、五个手指”等事物中抽象出“5”这个数字…
（“抽象就是总结规律…”现代百姓说。
“抽象是找相同点…”网友说。）
…本：1.草木的根——～草（泛指中药）。无～之木。2.事物的根源，与“末”相对…
“据甲骨文字形，‘本’是树的根，与‘末’相对…”语言学家说，“‘末’是树梢…‘末’组成的词语有——细枝末节…”
…质：1.事物的根本特性——本～。变～。2.哲学范畴。指一事物之所以是该事物并区别于他事物的规定性。3.质料，构成事物的材料——铁～。流～…
…本质：1.本身的形体；本来的形体。2.本来的样子。3.事物本身所固有的根本属性；事物区别于其它事物的根本特点…
“了解事物的本质，可使人们脱离具体事物…进行创新…”现代百姓说。
“例如，我们知道了凳子的本质就是一个可以坐下来休息的东西，那么就可以脱离其木材料、传统结构样式，开创各种新型的凳子，如冰凳、水果凳、气球凳等等…”现代百姓接着说。
…
“抽象，简单来说就是‘总结规律’，‘找相同点’…”现代学者继续说。
“人们描述的努力…相同点是什么？…我们现在来找一下相同点…”现代学者最后说。
…
“第1个相同点是‘竭尽全力’…”现代学者说，“‘竭尽全力’在人们对努力的描述中，出现的频率最高…’
人们对努力的描述：“把力量尽量使出来”，“用尽力气去做事情”，“尽自己最大的力量拼搏”，“尽自己最大的力气去做，就算不成功，但是也不遗憾”，“能把自己感动了就算努力了”，“就是用尽一切去追求什么吧”，“尽力完成每一件事呗~”，“全部的坚持，全部的热情，全部的精力以及全部的全部”，“为完成目标理想，竭尽全力做好每一件事”，“做什么事情都全力以赴了”，“全身心地投入”，“为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波”…见《欧几里得51》…
“第2个相同点是‘持续’…”现代学者接着说，“‘持续’在人们对努力的描述中，出现的频率第2高…”
““把人们对‘努力’的描述的相同点（竭尽全力、持续、做事）组合起来…便得到了努力的本质：努力是‘竭尽全力的、持续的做事’…”现代学者说。
请看下集《欧几里得53、用“抽象”技术，抽离出“努力”的本质（二）…》”
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欧几里得53、用“抽象”技术，抽离出“努力”的本质（二）…
“第2个相同点是‘持续’…”现代学者接着说，“‘持续’在人们对努力的描述中，出现的频率第2高…”
人们对努力的描述：“花的精力多，下的工夫大”，“坚持不懈地…”，“自律且不断学习”，“一次次都比过去的自己做的更好”，“不罢休”，“每天进步一点点”，“严格自律，有恒心与毅力”，“坚持”，“能力有点不够但是继续坚持”，“连续几个甚至十几个小时集中注意力”，“一次比一次好”…见《欧几里得51、52》…
“第3个相同点是‘做事’…”现代学者继续说，“‘做事’在人们对努力的描述中，出现的频率相当高…’
人们对努力的描述：“用尽力气去做事情”，“坚持不懈地完成自己的目标”，“自律且不断学习”，“尽力完成每一件事”，“努力就是，明知道不可能的事情，硬是做成功了；努力就是，全心全意投入一件事，并且一直为这个事情保持热情”，“一种积极的工作态度”，“为完成目标理想，竭尽全力做好每一件事”，“尽可能的过上自己想要的生活”，“做什么事情都全力以赴了”，“那些肉食动物为了得到猎物，你争我夺，互相厮杀，最终弱者被强者所吞食…人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波…这些都是努力的表现”，“心怀目标，并且通过各种途径朝着目标前进”…
“统计找到的资料，‘做事’出现的频率和‘持续’一样高…只是人们对‘持续’的描述更加醒目、更加引人注意…让人感觉‘持续’出现的频率比‘做事’高…”现代学者最后说。
…人们对“持续”的描述：坚持不懈；自律且不断；一次次；不罢休；每天进步一点点；恒心与毅力；继续坚持；连续几个甚至十几个小时…
“把人们对‘努力’的描述的相同点（竭尽全力、持续、做事）组合起来…便得到了努力的本质：努力是‘竭尽全力的、持续的做事’…”现代学者说。
…
“‘做事’…具体来说，做的是什么样的事…做的事有什么特征？”现代学者问。
“直接从努力的定义（竭尽全力的、持续的做事）来看…做的事要满足‘能持续做’这个条件…”现代学者说，“就是说…做的事是种‘竭尽全力，也不能一下做完的事’，‘需要持续做的事’…”
…定义：对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明…
“我们再来看一下资料…”现代学者接着说。
资料：“用尽力气去做事情”，“完成自己的目标”，“自律且不断学习”，“努力不是一直重复的学习，而是超越自我，一次次都比过去的自己做的更好”，“勤学苦练”，“用尽一切去追求什么吧”，“努力就是，全心全意投入一件事，并且一直为这个事情保持热情”…
““结合推导过程…‘一件事’其实是由一系列有联系的事组成的事件的总称…如写作、漫画、踢足球、学外语…”现代学者接着说。
请看下集《欧几里得54、努力的本质：竭尽全力的、持续的做一件事》”
5
“第2个相同点是‘持续’…”现代学者接着说，“‘持续’在人们对努力的描述中，出现的频率第2高…”
人们对努力的描述：“花的精力多，下的工夫大”，“坚持不懈地…”，“自律且不断学习”，“一次次都比过去的自己做的更好”，“不罢休”，“每天进步一点点”，“严格自律，有恒心与毅力”，“坚持”，“能力有点不够但是继续坚持”，“连续几个甚至十几个小时集中注意力”，“一次比一次好”…见《欧几里得51、52》…
“第3个相同点是‘做事’…”现代学者继续说，“‘做事’在人们对努力的描述中，出现的频率相当高…’
人们对努力的描述：“用尽力气去做事情”，“坚持不懈地完成自己的目标”，“自律且不断学习”，“尽力完成每一件事”，“努力就是，明知道不可能的事情，硬是做成功了；努力就是，全心全意投入一件事，并且一直为这个事情保持热情”，“一种积极的工作态度”，“为完成目标理想，竭尽全力做好每一件事”，“尽可能的过上自己想要的生活”，“做什么事情都全力以赴了”，“那些肉食动物为了得到猎物，你争我夺，互相厮杀，最终弱者被强者所吞食…人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波…这些都是努力的表现”，“心怀目标，并且通过各种途径朝着目标前进”…
“统计找到的资料，‘做事’出现的频率和‘持续’一样高…只是人们对‘持续’的描述更加醒目、更加引人注意…让人感觉‘持续’出现的频率比‘做事’高…”现代学者最后说。
…人们对“持续”的描述：坚持不懈；自律且不断；一次次；不罢休；每天进步一点点；恒心与毅力；继续坚持；连续几个甚至十几个小时…
“把人们对‘努力’的描述的相同点（竭尽全力、持续、做事）组合起来…便得到了努力的本质：努力是‘竭尽全力的、持续的做事’…”现代学者说。
…
“‘做事’…具体来说，做的是什么样的事…做的事有什么特征？”现代学者问。
“直接从努力的定义（竭尽全力的、持续的做事）来看…做的事要满足‘能持续做’这个条件…”现代学者说，“就是说…做的事是种‘竭尽全力，也不能一下做完的事’，‘需要持续做的事’…”
…定义：对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明…
“我们再来看一下资料…”现代学者接着说。
资料：“用尽力气去做事情”，“完成自己的目标”，“自律且不断学习”，“努力不是一直重复的学习，而是超越自我，一次次都比过去的自己做的更好”，“勤学苦练”，“用尽一切去追求什么吧”，“努力就是，全心全意投入一件事，并且一直为这个事情保持热情”…
““结合推导过程…‘一件事’其实是由一系列有联系的事组成的事件的总称…如写作、漫画、踢足球、学外语…”现代学者接着说。
请看下集《欧几里得54、努力的本质：竭尽全力的、持续的做一件事》”
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欧几里得54、努力的本质：竭尽全力的、持续的做一件事
“‘做事’…具体来说，做的是什么样的事…做的事有什么特征？”现代学者问。
“直接从努力的定义（竭尽全力的、持续的做事）来看…做的事要满足‘能持续做’这个条件…”现代学者说，“就是说…做的事是种‘竭尽全力，也不能一下做完的事’，‘需要持续做的事’…”
“我们再来看一下资料…”现代学者接着说。
资料：“用尽力气去做事情”，“完成自己的目标”，“自律且不断学习”，“努力不是一直重复的学习，而是超越自我，一次次都比过去的自己做的更好”，“勤学苦练”，“用尽一切去追求什么吧”，“努力就是，全心全意投入一件事，并且一直为这个事情保持热情”，“为完成目标理想，竭尽全力做好每一件事”，“尽可能的过上自己想要的生活”，“那些肉食动物为了得到猎物，你争我夺，互相厮杀，最终弱者被强者所吞食…人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波…这些都是努力的表现”，“心怀目标，并且通过各种途径朝着目标前进”…
“资料中，人们做的事是：完成自己的目标；学习；比过去的自己做的更好；追求某种东西；一件事；为完成目标理想的每一件事；过上自己想要的生活；生存…”现代学者继续说。
“‘目标’，‘学习’，‘追求什么’，‘想要的生活’，‘生存’…这些都是‘竭尽全力，也不能一下做完的事’，‘需要持续做的事’…”现代学者最后说。
“‘目标’，‘学习’，‘想要的生活’…它们是由一系列有联系的事组成的事…”现代学者说，“人们聊天时…常把它们看成‘一件事’…”
“…把它们看成‘一件事’情况下…‘努力的本质’是这样叙述的：竭尽全力的、持续的做一件事…”现代学者接着说。
“‘竭尽全力的、持续的做一件事’，这就是我们推导出的…努力的定义…”现代学者最后说。
…定义：见《欧几里得53》…
…
“推导过程用了‘抽象’技术…”现代学者说。
…抽象：见《欧几里得52》…
…
“单看‘竭尽全力的、持续的做一件事’定义，会对‘一件事’产生误解…会认为一件事就是‘一件’事…”现代学者补充说。
“结合推导过程…‘一件事’其实是由一系列有联系的事组成的事件的总称…如写作、漫画、踢足球、学外语…”现代学者接着说。
“所以…要准确理解努力的定义…需结合它的推导过程——需要知道努力的定义是怎么来的…”现代学者最后说。
“古人对努力的描述，出现频率最高的是‘痛苦’…”现代学者说。
古人对努力的描述：凿壁偷光；头悬梁锥刺股；卧薪尝胆；苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为；经历九九八十一难…见《欧几里得48》…
“痛苦…其实也是‘努力’的相同点…”现代学者接着说。
“但它不是‘努力’的本质…”现代学者继续说。
…本质：见《欧几里得52》…
“人们无法用痛苦定义‘努力’…这点我们在《欧几里得49、50》已经证明…所以，我们总结努力的本质时，将‘痛苦’排除在外…”现代学者最后说。
“少年时的牛顿并不是神童…他成绩一般，但他喜欢读书，喜欢看一些介绍各种简单机械模型制作方法的读物，并从中受到启发，自己动手制作些奇奇怪怪的小玩意，如风车、木钟、折叠式提灯等等…
请看下集《欧几里得55、艾萨克·牛顿；沃尔夫冈·莫扎特；持续努力的人》”
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“‘做事’…具体来说，做的是什么样的事…做的事有什么特征？”现代学者问。
“直接从努力的定义（竭尽全力的、持续的做事）来看…做的事要满足‘能持续做’这个条件…”现代学者说，“就是说…做的事是种‘竭尽全力，也不能一下做完的事’，‘需要持续做的事’…”
“我们再来看一下资料…”现代学者接着说。
资料：“用尽力气去做事情”，“完成自己的目标”，“自律且不断学习”，“努力不是一直重复的学习，而是超越自我，一次次都比过去的自己做的更好”，“勤学苦练”，“用尽一切去追求什么吧”，“努力就是，全心全意投入一件事，并且一直为这个事情保持热情”，“为完成目标理想，竭尽全力做好每一件事”，“尽可能的过上自己想要的生活”，“那些肉食动物为了得到猎物，你争我夺，互相厮杀，最终弱者被强者所吞食…人们为了生存，没日没夜的工作，四处谋生，到处奔波…这些都是努力的表现”，“心怀目标，并且通过各种途径朝着目标前进”…
“资料中，人们做的事是：完成自己的目标；学习；比过去的自己做的更好；追求某种东西；一件事；为完成目标理想的每一件事；过上自己想要的生活；生存…”现代学者继续说。
“‘目标’，‘学习’，‘追求什么’，‘想要的生活’，‘生存’…这些都是‘竭尽全力，也不能一下做完的事’，‘需要持续做的事’…”现代学者最后说。
“‘目标’，‘学习’，‘想要的生活’…它们是由一系列有联系的事组成的事…”现代学者说，“人们聊天时…常把它们看成‘一件事’…”
“…把它们看成‘一件事’情况下…‘努力的本质’是这样叙述的：竭尽全力的、持续的做一件事…”现代学者接着说。
“‘竭尽全力的、持续的做一件事’，这就是我们推导出的…努力的定义…”现代学者最后说。
…定义：见《欧几里得53》…
…
“推导过程用了‘抽象’技术…”现代学者说。
…抽象：见《欧几里得52》…
…
“单看‘竭尽全力的、持续的做一件事’定义，会对‘一件事’产生误解…会认为一件事就是‘一件’事…”现代学者补充说。
“结合推导过程…‘一件事’其实是由一系列有联系的事组成的事件的总称…如写作、漫画、踢足球、学外语…”现代学者接着说。
“所以…要准确理解努力的定义…需结合它的推导过程——需要知道努力的定义是怎么来的…”现代学者最后说。
“古人对努力的描述，出现频率最高的是‘痛苦’…”现代学者说。
古人对努力的描述：凿壁偷光；头悬梁锥刺股；卧薪尝胆；苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为；经历九九八十一难…见《欧几里得48》…
“痛苦…其实也是‘努力’的相同点…”现代学者接着说。
“但它不是‘努力’的本质…”现代学者继续说。
…本质：见《欧几里得52》…
“人们无法用痛苦定义‘努力’…这点我们在《欧几里得49、50》已经证明…所以，我们总结努力的本质时，将‘痛苦’排除在外…”现代学者最后说。
“少年时的牛顿并不是神童…他成绩一般，但他喜欢读书，喜欢看一些介绍各种简单机械模型制作方法的读物，并从中受到启发，自己动手制作些奇奇怪怪的小玩意，如风车、木钟、折叠式提灯等等…
请看下集《欧几里得55、艾萨克·牛顿；沃尔夫冈·莫扎特；持续努力的人》”
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欧几里得55、艾萨克·牛顿；沃尔夫冈·莫扎特；持续努力的人
“人们对‘努力’的理解不同，所以…很多人认为牛顿、莫扎特…不需要特别努力，就能取得非凡成就…”现代学者说，“这是人们认为他们是天才的原因之一…”
“结合努力的定义（努力是‘竭尽全力的、持续的做一件事’…见《欧几里得54》）…用努力的定义进行判定…”现代学者接着说，“可以发现…牛顿也好，莫扎特也好…他们是非常努力的人…”
艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）：英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》…
1643年1月4日，艾萨克·牛顿出生于英格兰林肯郡乡下的一个小村落伍尔索普村的伍尔索普（Woolsthorpe）庄园…1648年，牛顿被送去读书…
少年时的牛顿并不是神童…他成绩一般，但他喜欢读书，喜欢看一些介绍各种简单机械模型制作方法的读物，并从中受到启发，自己动手制作些奇奇怪怪的小玩意，如风车、木钟、折叠式提灯等等…
1654年，牛顿进了离家有十几公里的金格斯皇家中学读书…
牛顿的母亲原希望他成为一个农民，但牛顿本人却无意于此，而酷爱读书…
随着年龄的增大，牛顿越发爱好读书、沉思、做科学小实验…
迫于生活困难，母亲让牛顿停学在家务农，赡（shàn）养家庭…牛顿一有机会便埋首书卷，以至经常忘了干活…每次，母亲叫牛顿同佣人一道上市场，熟悉做交易的生意经时，牛顿便恳（kěn）求佣人一个人上街，自己则躲在树丛后看书…有一次，牛顿的舅父起了疑心，就跟踪牛顿…牛顿舅父发现他的外甥伸着腿，躺在草地上，正在聚精会神地钻研一个数学问题…
…赡：供给人财物——～养亲属…
…恳：1.真诚；诚恳。 2.请求…
…恳求：恳切地请求——我～他不要这样做…
1661年6月3日，牛顿进入剑桥大学的三一学院…在那时，该学院的教学基于亚里士多德的学说…但牛顿更喜欢阅读一些笛卡尔等现代哲学家以及伽利略、哥白尼和开普勒等天文学家更先进的思想…
1665年，牛顿发现了广义二项式定理，并开始发展一套新的数学理论，也就是后来为世人所熟知的微积分学…在1665年，牛顿获得了学位，而大学为了预防伦敦大瘟疫而关闭了。在此后两年里，牛顿在家中继续研究微积分学、光学和万有引力定律…
…
沃尔夫冈·阿玛多伊斯·莫扎特（英语：Wolfgang Amadeus Mozart，1756年1月27日～1791年12月5日）：出生于神圣罗马帝国时期的萨尔兹堡，欧洲古典音乐作曲家…莫扎特乐于接受传统曲式，并对其作巧妙的运用…他在音乐史上的重要性在于重塑并定义了古典音乐… 不同于巴赫的均衡完美、贝多芬的桀骜不驯。莫扎特留下的重要作品总括当时所有的音乐类型…他谱出的协奏曲、交响曲、奏鸣曲、小夜曲、嬉游曲后来成为古典音乐的主要形式…
““你喜欢什么样的声音…用音符把它写出来…这样的话，别人也能听到…”莫扎特说。
请看下集《欧几里得56、沃尔夫冈·莫扎特；找不到工作的莫扎特…》”
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“人们对‘努力’的理解不同，所以…很多人认为牛顿、莫扎特…不需要特别努力，就能取得非凡成就…”现代学者说，“这是人们认为他们是天才的原因之一…”
“结合努力的定义（努力是‘竭尽全力的、持续的做一件事’…见《欧几里得54》）…用努力的定义进行判定…”现代学者接着说，“可以发现…牛顿也好，莫扎特也好…他们是非常努力的人…”
艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）：英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》…
1643年1月4日，艾萨克·牛顿出生于英格兰林肯郡乡下的一个小村落伍尔索普村的伍尔索普（Woolsthorpe）庄园…1648年，牛顿被送去读书…
少年时的牛顿并不是神童…他成绩一般，但他喜欢读书，喜欢看一些介绍各种简单机械模型制作方法的读物，并从中受到启发，自己动手制作些奇奇怪怪的小玩意，如风车、木钟、折叠式提灯等等…
1654年，牛顿进了离家有十几公里的金格斯皇家中学读书…
牛顿的母亲原希望他成为一个农民，但牛顿本人却无意于此，而酷爱读书…
随着年龄的增大，牛顿越发爱好读书、沉思、做科学小实验…
迫于生活困难，母亲让牛顿停学在家务农，赡（shàn）养家庭…牛顿一有机会便埋首书卷，以至经常忘了干活…每次，母亲叫牛顿同佣人一道上市场，熟悉做交易的生意经时，牛顿便恳（kěn）求佣人一个人上街，自己则躲在树丛后看书…有一次，牛顿的舅父起了疑心，就跟踪牛顿…牛顿舅父发现他的外甥伸着腿，躺在草地上，正在聚精会神地钻研一个数学问题…
…赡：供给人财物——～养亲属…
…恳：1.真诚；诚恳。 2.请求…
…恳求：恳切地请求——我～他不要这样做…
1661年6月3日，牛顿进入剑桥大学的三一学院…在那时，该学院的教学基于亚里士多德的学说…但牛顿更喜欢阅读一些笛卡尔等现代哲学家以及伽利略、哥白尼和开普勒等天文学家更先进的思想…
1665年，牛顿发现了广义二项式定理，并开始发展一套新的数学理论，也就是后来为世人所熟知的微积分学…在1665年，牛顿获得了学位，而大学为了预防伦敦大瘟疫而关闭了。在此后两年里，牛顿在家中继续研究微积分学、光学和万有引力定律…
…
沃尔夫冈·阿玛多伊斯·莫扎特（英语：Wolfgang Amadeus Mozart，1756年1月27日～1791年12月5日）：出生于神圣罗马帝国时期的萨尔兹堡，欧洲古典音乐作曲家…莫扎特乐于接受传统曲式，并对其作巧妙的运用…他在音乐史上的重要性在于重塑并定义了古典音乐… 不同于巴赫的均衡完美、贝多芬的桀骜不驯。莫扎特留下的重要作品总括当时所有的音乐类型…他谱出的协奏曲、交响曲、奏鸣曲、小夜曲、嬉游曲后来成为古典音乐的主要形式…
““你喜欢什么样的声音…用音符把它写出来…这样的话，别人也能听到…”莫扎特说。
请看下集《欧几里得56、沃尔夫冈·莫扎特；找不到工作的莫扎特…》”
5
欧几里得56、沃尔夫冈·莫扎特；找不到工作的莫扎特…
1756年1月27日，沃尔夫冈·阿玛多伊斯·莫扎特生于奥地利的萨尔茨（cí ）堡一位宫廷乐师的家庭…莫扎特的父亲列奥波尔得·莫扎特是那座城中宫廷天主教乐团的小提琴手，也是一位作曲家；母亲安娜·玛丽亚·莫扎特也热衷于音乐并会拉大提琴和小提琴…
1760年，4岁的莫扎特跟父亲列奥波尔得·莫扎特学习钢琴并开始作曲。
“你喜欢什么样的声音…用音符把它写出来…这样的话，别人也能听到…”莫扎特说。
1762年，6岁的莫扎特在父亲的带领下到慕尼黑、维也纳、普雷斯堡作了一次试验性的巡回演出。
…普莱斯堡（德语：Pressburg）：即“布拉迪斯拉发” （Bratislava），是斯洛伐克共和国的首都和最大城市，面积368平方公里，人口43万（截至2019年3月底）…
1763年6月至1773年3月，莫扎特与父亲先后到德国、法国、英国、荷兰、意大利等国进行为期十年的旅行演出。这次演出让莫扎特对当时最先进的意大利歌剧、法国歌剧、德国器乐等体裁都有了认识。莫扎特还结识了J.C.巴赫、G.B.马蒂尼、G.B.萨马蒂尼等作曲家并学习到他们的作曲技术。
“莫扎特此时的作品，显示了他创作体裁的广泛性，和他对歌剧创作的兴趣…”音乐史学家说。
1773年底，莫扎特与父亲返回萨尔茨堡…此时的莫扎特对自己卑微的奴仆乐师地位感到不满…为了争取人身与创作的自由，他经过激烈的斗争，终于在1777年9月获得大主教的同意，又随母亲进行了两年的旅行演出…
为了另谋职位，以便永远离开萨尔茨堡，莫扎特先后在慕尼黑和曼海姆教学、演出…这些经历进一步加深了莫扎特对不平等制度的认识和体会。
…曼海姆（Mannheim）：德国巴登-符腾堡州继斯图加特与卡尔斯鲁厄之后的第三大城市，人口约30万，面积144.96 平方千米…
在曼海姆时，莫扎特得到一些市民音乐家的帮助与同情，并接触到当时欧洲重要的曼海姆乐派…莫扎特听到了第一流管弦乐队的演奏…
1778年5月，莫扎特抵达巴黎。
由于母亲病逝，加上未能谋到职位…莫扎特在1779年1月返回萨尔茨堡…
…
莫扎特在曼海姆创作了2首长笛协奏曲、1首双簧管协奏曲、7首钢琴小提琴奏鸣曲、3首钢琴奏鸣曲…这些作品反映了他受到曼海姆乐派的影响。
…
1780年，莫扎特完成歌剧《伊多梅纽》…莫扎特这一时期的作品，内容上反映了他当时受到狂飙（biāo）运动思潮的影响。
…飙：暴风…
…狂飙：急骤的暴风，比喻猛烈的潮流或力量…
…狂飙运动一般指狂飙突进运动…
…狂飙突进运动（德语：Sturm und Drang）：指1760年代晚期到1780年代早期德国新兴城市青年所发动的一次文学解放运动，也是德国启蒙运动的第一次高潮…名称来源于剧作家克林格的戏剧“狂飙突进”…
“1781年6月，莫扎特再也无法忍受大主教的凌辱，毅然向大主教提出辞职（莫扎特成为欧洲历史上第一位公开摆脱宫廷束缚的音乐家）…
请看下集《欧几里得57、莫扎特与大主教；普通人通过努力，成为人们眼中的天才…》”
5
1756年1月27日，沃尔夫冈·阿玛多伊斯·莫扎特生于奥地利的萨尔茨（cí ）堡一位宫廷乐师的家庭…莫扎特的父亲列奥波尔得·莫扎特是那座城中宫廷天主教乐团的小提琴手，也是一位作曲家；母亲安娜·玛丽亚·莫扎特也热衷于音乐并会拉大提琴和小提琴…
1760年，4岁的莫扎特跟父亲列奥波尔得·莫扎特学习钢琴并开始作曲。
“你喜欢什么样的声音…用音符把它写出来…这样的话，别人也能听到…”莫扎特说。
1762年，6岁的莫扎特在父亲的带领下到慕尼黑、维也纳、普雷斯堡作了一次试验性的巡回演出。
…普莱斯堡（德语：Pressburg）：即“布拉迪斯拉发” （Bratislava），是斯洛伐克共和国的首都和最大城市，面积368平方公里，人口43万（截至2019年3月底）…
1763年6月至1773年3月，莫扎特与父亲先后到德国、法国、英国、荷兰、意大利等国进行为期十年的旅行演出。这次演出让莫扎特对当时最先进的意大利歌剧、法国歌剧、德国器乐等体裁都有了认识。莫扎特还结识了J.C.巴赫、G.B.马蒂尼、G.B.萨马蒂尼等作曲家并学习到他们的作曲技术。
“莫扎特此时的作品，显示了他创作体裁的广泛性，和他对歌剧创作的兴趣…”音乐史学家说。
1773年底，莫扎特与父亲返回萨尔茨堡…此时的莫扎特对自己卑微的奴仆乐师地位感到不满…为了争取人身与创作的自由，他经过激烈的斗争，终于在1777年9月获得大主教的同意，又随母亲进行了两年的旅行演出…
为了另谋职位，以便永远离开萨尔茨堡，莫扎特先后在慕尼黑和曼海姆教学、演出…这些经历进一步加深了莫扎特对不平等制度的认识和体会。
…曼海姆（Mannheim）：德国巴登-符腾堡州继斯图加特与卡尔斯鲁厄之后的第三大城市，人口约30万，面积144.96 平方千米…
在曼海姆时，莫扎特得到一些市民音乐家的帮助与同情，并接触到当时欧洲重要的曼海姆乐派…莫扎特听到了第一流管弦乐队的演奏…
1778年5月，莫扎特抵达巴黎。
由于母亲病逝，加上未能谋到职位…莫扎特在1779年1月返回萨尔茨堡…
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莫扎特在曼海姆创作了2首长笛协奏曲、1首双簧管协奏曲、7首钢琴小提琴奏鸣曲、3首钢琴奏鸣曲…这些作品反映了他受到曼海姆乐派的影响。
…
1780年，莫扎特完成歌剧《伊多梅纽》…莫扎特这一时期的作品，内容上反映了他当时受到狂飙（biāo）运动思潮的影响。
…飙：暴风…
…狂飙：急骤的暴风，比喻猛烈的潮流或力量…
…狂飙运动一般指狂飙突进运动…
…狂飙突进运动（德语：Sturm und Drang）：指1760年代晚期到1780年代早期德国新兴城市青年所发动的一次文学解放运动，也是德国启蒙运动的第一次高潮…名称来源于剧作家克林格的戏剧“狂飙突进”…
“1781年6月，莫扎特再也无法忍受大主教的凌辱，毅然向大主教提出辞职（莫扎特成为欧洲历史上第一位公开摆脱宫廷束缚的音乐家）…
请看下集《欧几里得57、莫扎特与大主教；普通人通过努力，成为人们眼中的天才…》”
5
欧几里得58、博尔特的短跑才能；体格普遍不如白人、黑人的亚洲人；爱迪生…
“通过对‘努力’的探讨，我们得出了天才们拥有才能的原因：…”现代学者说。
天才们拥有才能的原因：终身努力；竭尽全力的、持续的做一件事…
…
“人们对天才的第二种解释是：拥有天然资质的人…”现代学者说。
…天然资质：体质；身高；嗓音；肤色…
“身高、嗓音、肤色…这些东西的确是由基因决定的…后天的努力虽然能改善它们，但不能使它们发生根本改变…”现代学者接着说。
“正是由于这些资质…普通人即便努力…也难以拥有部分天才拥有的才能：肯尼亚人的长跑才能；博尔特的短跑才能…”现代学者继续说。
…肯尼亚人的长跑才能：1968年，肯尼亚人基普·凯诺在墨西哥城奥运会上勇夺男子1500米赛跑的冠军，并且打破了这个项目的世界纪录。从那以后，基普·凯诺的同胞一直延续着他的辉煌。迄今（2019年12月7日），男子3000米场地赛跑和15公里、20公里、25公里公路赛跑的世界纪录，以及半程马拉松和全程马拉松等项目的世界纪录或世界最好成绩，都握在肯尼亚人的手中…
…尤塞恩·博尔特（Usain Bolt）：1986年8月21日生于牙买加特里洛尼，牙买加跑步运动员、足球运动员，2008、2012、2016年奥运会男子100米、200米冠军，男子100米、200米世界纪录保持者…
“体格普遍不如白人、黑人…这是黄种人在大球项目上落后于白人、黑人的一个很重要的原因…”现代学者最后说。
…大球：指足球、篮球、排球等球类项目（跟“小球”相对）…
…小球：指乒乓球、网球、羽毛球等球类项目（跟“大球”相对）…
“不过，人的资质差异众多…‘体质、身高、嗓音’只是其中很小的一部分…”现代学者说。
“根据‘世上没有完全相同的树叶’定理…世上没有资质完全相同的人…”现代学者接着说，“我们没有天才那样的资质…同样的，天才也没有我们的资质…”
“持续努力，不断尝试…我们便能找到自己的独特资质…”现代学者最后说。
…“世上没有完全相同的树叶”定理：见《自然科学价值观》…
“天才的第三种解释是：竭尽全力的、持续的做一件事的人…”现代学者说。
“由于努力的定义是‘竭尽全力的、持续的做一件事’…所以…第三种解释可以简单的说成‘天才就是努力的普通人’…”现代学者接着说。
…
“那么，天才们是如何看待‘什么是天才’这个问题的？…”现代学者问，“天才们认为自己是天才吗？…”
“以下是天才们的说法…”现代学者说。
以下：
天才是1%的灵感加99%的汗水。——爱迪生
天才就是这样，终身劳动，便成天才！——门捷列夫
天才就是最强有力的牛，他们一刻不停地一天工作十八小时。——勒南
…
“哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上。 ——鲁迅
请看下集《欧几里得59、天才：竭尽全力的、持续的做一件事的普通人》”
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“通过对‘努力’的探讨，我们得出了天才们拥有才能的原因：…”现代学者说。
天才们拥有才能的原因：终身努力；竭尽全力的、持续的做一件事…
…
“人们对天才的第二种解释是：拥有天然资质的人…”现代学者说。
…天然资质：体质；身高；嗓音；肤色…
“身高、嗓音、肤色…这些东西的确是由基因决定的…后天的努力虽然能改善它们，但不能使它们发生根本改变…”现代学者接着说。
“正是由于这些资质…普通人即便努力…也难以拥有部分天才拥有的才能：肯尼亚人的长跑才能；博尔特的短跑才能…”现代学者继续说。
…肯尼亚人的长跑才能：1968年，肯尼亚人基普·凯诺在墨西哥城奥运会上勇夺男子1500米赛跑的冠军，并且打破了这个项目的世界纪录。从那以后，基普·凯诺的同胞一直延续着他的辉煌。迄今（2019年12月7日），男子3000米场地赛跑和15公里、20公里、25公里公路赛跑的世界纪录，以及半程马拉松和全程马拉松等项目的世界纪录或世界最好成绩，都握在肯尼亚人的手中…
…尤塞恩·博尔特（Usain Bolt）：1986年8月21日生于牙买加特里洛尼，牙买加跑步运动员、足球运动员，2008、2012、2016年奥运会男子100米、200米冠军，男子100米、200米世界纪录保持者…
“体格普遍不如白人、黑人…这是黄种人在大球项目上落后于白人、黑人的一个很重要的原因…”现代学者最后说。
…大球：指足球、篮球、排球等球类项目（跟“小球”相对）…
…小球：指乒乓球、网球、羽毛球等球类项目（跟“大球”相对）…
“不过，人的资质差异众多…‘体质、身高、嗓音’只是其中很小的一部分…”现代学者说。
“根据‘世上没有完全相同的树叶’定理…世上没有资质完全相同的人…”现代学者接着说，“我们没有天才那样的资质…同样的，天才也没有我们的资质…”
“持续努力，不断尝试…我们便能找到自己的独特资质…”现代学者最后说。
…“世上没有完全相同的树叶”定理：见《自然科学价值观》…
“天才的第三种解释是：竭尽全力的、持续的做一件事的人…”现代学者说。
“由于努力的定义是‘竭尽全力的、持续的做一件事’…所以…第三种解释可以简单的说成‘天才就是努力的普通人’…”现代学者接着说。
…
“那么，天才们是如何看待‘什么是天才’这个问题的？…”现代学者问，“天才们认为自己是天才吗？…”
“以下是天才们的说法…”现代学者说。
以下：
天才是1%的灵感加99%的汗水。——爱迪生
天才就是这样，终身劳动，便成天才！——门捷列夫
天才就是最强有力的牛，他们一刻不停地一天工作十八小时。——勒南
…
“哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上。 ——鲁迅
请看下集《欧几里得59、天才：竭尽全力的、持续的做一件事的普通人》”
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欧几里得59、天才：竭尽全力的、持续的做一件事的普通人
天才就是最强有力的牛，他们一刻不停地一天工作十八小时。——勒南
…约瑟夫·欧纳斯特·勒南：法国人…法国宗教学家、作家、历史学家…勒南的主要成就是在历史上，著有“阿威罗伊和阿威罗伊学说”“耶稣生平”“以色列人的历史”等作品…
哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上。 ——鲁迅
我在科学方面所作出的任何成绩，都只是由于长期思索、忍耐和勤奋而获得的。——达尔文
在天才和勤奋两者之间，我毫不迟疑地选择勤奋，她是几乎世界上一切成就的催产婆。——爱因斯坦
天才不过是不断的思索，凡是有脑子的人，都有天才。——莫泊桑
划分天才和勤勉之别的界线迄今尚未能确定，以后也没法确定。——贝多芬
没有加倍的勤奋，就既没有才能，也没有天才。——门捷列夫
我是个拙笨的学艺者，没有充分的天才，全凭苦学。——梅兰芳
…
“天才们并不认为世上存在天才…天才们认为，是自己的勤奋，让自己成了世人眼中的天才…”现代学者说。
…
“‘天才’的三种解释：一、拥有天赋才能的人。二、拥有天然资质的人。三、竭尽全力的、持续的做一件事的人…”现代学者说。
“前文中，我们证实：人的才能不是上天赋予的，是人通过努力获得的…”现代学者接着说，“就是说…世上并没有拥有天赋才能的人…”
“‘拥有天然资质的人’…”现代学者继续说，“‘天然资质’指‘体质；嗓音；肤色；身高…’这些东西…”
“‘体质；嗓音；肤色；身高…’是人人都有的…”现代学者最后说，“根据‘世上没有完全相同的树叶’定理…世上没有天然资质完全相同的两个人…”
…“世上没有完全相同的树叶”定理：见《自然科学价值观》…
“我们通过努力…在某方面达到了自己的巅峰…但是…由于天然资质不如人，我们输给了别人…”现代学者说。
“这种时候，可以尝试能用得上我们过去的努力的其它方向，继续前进…”现代学者接着说，“不断尝试，我们便能找到自己强过别人的天然资质…”
…
“每个人都拥有天然资质…”现代学者最后说，“如果‘拥有天然资质的人’是天才的话，那么…每个人都是天才…”
“排除两种解释后…我们得到天才的最终解释：竭尽全力的、持续的做一件事的人…”现代学者说。
…
“把人分为天才和普通人——人们过去曾这样做…”现代学者说，“根据天才的定义…人并没有‘天才’‘普通人’的区分…”
“根据天才的定义…世上并没有天才，所有人都是普通人…”现代学者接着说，“过去被称为天才的人，只是‘竭尽全力的、持续的做一件事的普通人’…”
…
““不可否认的是…有些人…在假装天才…”现代学者继续说，“她们也无法一下看懂希腊字母…但是，她们预习了…”
“预习后…在课堂上…她们一下就看懂了希腊字母…就好像天才一样…”现代学者最后说，“这些人，其实是‘勤奋的人’…”
请看下集《欧几里得60、严峻大学教育：“越晦涩难懂越优秀”价值观…》”
5
天才就是最强有力的牛，他们一刻不停地一天工作十八小时。——勒南
…约瑟夫·欧纳斯特·勒南：法国人…法国宗教学家、作家、历史学家…勒南的主要成就是在历史上，著有“阿威罗伊和阿威罗伊学说”“耶稣生平”“以色列人的历史”等作品…
哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上。 ——鲁迅
我在科学方面所作出的任何成绩，都只是由于长期思索、忍耐和勤奋而获得的。——达尔文
在天才和勤奋两者之间，我毫不迟疑地选择勤奋，她是几乎世界上一切成就的催产婆。——爱因斯坦
天才不过是不断的思索，凡是有脑子的人，都有天才。——莫泊桑
划分天才和勤勉之别的界线迄今尚未能确定，以后也没法确定。——贝多芬
没有加倍的勤奋，就既没有才能，也没有天才。——门捷列夫
我是个拙笨的学艺者，没有充分的天才，全凭苦学。——梅兰芳
…
“天才们并不认为世上存在天才…天才们认为，是自己的勤奋，让自己成了世人眼中的天才…”现代学者说。
…
“‘天才’的三种解释：一、拥有天赋才能的人。二、拥有天然资质的人。三、竭尽全力的、持续的做一件事的人…”现代学者说。
“前文中，我们证实：人的才能不是上天赋予的，是人通过努力获得的…”现代学者接着说，“就是说…世上并没有拥有天赋才能的人…”
“‘拥有天然资质的人’…”现代学者继续说，“‘天然资质’指‘体质；嗓音；肤色；身高…’这些东西…”
“‘体质；嗓音；肤色；身高…’是人人都有的…”现代学者最后说，“根据‘世上没有完全相同的树叶’定理…世上没有天然资质完全相同的两个人…”
…“世上没有完全相同的树叶”定理：见《自然科学价值观》…
“我们通过努力…在某方面达到了自己的巅峰…但是…由于天然资质不如人，我们输给了别人…”现代学者说。
“这种时候，可以尝试能用得上我们过去的努力的其它方向，继续前进…”现代学者接着说，“不断尝试，我们便能找到自己强过别人的天然资质…”
…
“每个人都拥有天然资质…”现代学者最后说，“如果‘拥有天然资质的人’是天才的话，那么…每个人都是天才…”
“排除两种解释后…我们得到天才的最终解释：竭尽全力的、持续的做一件事的人…”现代学者说。
…
“把人分为天才和普通人——人们过去曾这样做…”现代学者说，“根据天才的定义…人并没有‘天才’‘普通人’的区分…”
“根据天才的定义…世上并没有天才，所有人都是普通人…”现代学者接着说，“过去被称为天才的人，只是‘竭尽全力的、持续的做一件事的普通人’…”
…
““不可否认的是…有些人…在假装天才…”现代学者继续说，“她们也无法一下看懂希腊字母…但是，她们预习了…”
“预习后…在课堂上…她们一下就看懂了希腊字母…就好像天才一样…”现代学者最后说，“这些人，其实是‘勤奋的人’…”
请看下集《欧几里得60、严峻大学教育：“越晦涩难懂越优秀”价值观…》”
5
欧几里得66、我们能取得爱因斯坦那样的成就吗？
“教育给学生打上‘笨蛋’标签后，整个社会都会把他们当成笨蛋…”现代学者说，“虽然，被称为‘笨蛋’的学生，他们最初通过染发、穿奇装异服、和老师对着干等方式（俗称‘叛逆’）反抗教育强加给自己的标签，但是…多数学生，最后屈服了…”
“他们开始觉得自己是笨蛋…”现代学者接着说，“他们开始觉得自己智商真的不如人…干不成任何事…”
“他们放弃了努力…他们最终放弃了自己的人生…”现代学者继续说。
（“个人的力量，是抗衡不了社会的…”一位被称为“笨蛋”的学生说。）
…
“淘汰差生，留下精英…中国上千万学生，淘汰到只剩一个人…中国上千万学生，只有一个人是聪明人，剩下的全是笨蛋…”现代学者说。
“我们的教育，是为了告诉‘我们是笨蛋’而存在的吗？”现代学者问。
…
“我们通过课程接受教育…”现代学者说。
“‘销量’是评判事物优劣的标准（见《欧几里得64》）…课程是‘事物’之一，所以‘销量’是评判课程优劣的标准…”现代学者接着说。
“多数学生能听懂的课、听的学生多的课、学生喜欢的课…销量高…是优秀课程…”现代学者接着说，“晦涩难懂的课、听的学生少的课、学生不喜欢的课…销量低…是劣质课程…”
“就是说，听不懂课的学生并不是笨蛋…”现代学者继续说，“学生听不懂课，是因为：课程太低劣了；教出这种课的教授的水平太低劣了…”
“学生听不懂课程，问题不在学生，而在课程…”现代学者最后说。
…
“我们小时候被晦涩难懂的教材否定，觉得自己是笨蛋，然后再也不敢涉足高数、量子物理、复杂函数…”现代学者说，“其实不是这样的…”
“我们觉得晦涩难懂的教材…科学家也觉得晦涩难懂…”现代学者接着说。
…
“如果我最初接触的是这样的教材…恐怕我不会取得今天的成就…”一位科学家说，“我很有可能和很多人一样，早早放弃学业…”
“因为微积分、相对论、傅里叶变换…从教材中看，这些东西太复杂了…”科学家接着说。
“晦涩难懂的教材让学生对微积分、相对论、傅里叶变换等学问产生恐惧…从此，他们不敢涉足数学、物理…”科学家继续说。
“麦克斯韦方程、微积分、广义相对论…这些学问其实非常浅显易懂…”科学家最后说，“普通人都可以轻松掌握…”
…
“人的资质并无太大差异…”现代学者继续说，“艾萨克·牛顿、高斯、阿尔伯特·爱因斯坦…他们能做到的…我们也能做到…”
“很多人说我们做不到…我们看不懂教材…因此，我们才认为自己做不到…”现代学者最后说，“我们放弃了努力…放弃了人生…于是我们真的做不到了。”
““学生不理解的话…大学教材说这类学生是‘差生’‘笨蛋’…”现代学者接着说。
“然而…学生是没有问题的…学生不能一下读懂教材…问题出在教材…”现代学者继续说。
请看下集《欧几里得67、不用事先预习，一下就能看懂教材的学生；天才人类…》”
5
“教育给学生打上‘笨蛋’标签后，整个社会都会把他们当成笨蛋…”现代学者说，“虽然，被称为‘笨蛋’的学生，他们最初通过染发、穿奇装异服、和老师对着干等方式（俗称‘叛逆’）反抗教育强加给自己的标签，但是…多数学生，最后屈服了…”
“他们开始觉得自己是笨蛋…”现代学者接着说，“他们开始觉得自己智商真的不如人…干不成任何事…”
“他们放弃了努力…他们最终放弃了自己的人生…”现代学者继续说。
（“个人的力量，是抗衡不了社会的…”一位被称为“笨蛋”的学生说。）
…
“淘汰差生，留下精英…中国上千万学生，淘汰到只剩一个人…中国上千万学生，只有一个人是聪明人，剩下的全是笨蛋…”现代学者说。
“我们的教育，是为了告诉‘我们是笨蛋’而存在的吗？”现代学者问。
…
“我们通过课程接受教育…”现代学者说。
“‘销量’是评判事物优劣的标准（见《欧几里得64》）…课程是‘事物’之一，所以‘销量’是评判课程优劣的标准…”现代学者接着说。
“多数学生能听懂的课、听的学生多的课、学生喜欢的课…销量高…是优秀课程…”现代学者接着说，“晦涩难懂的课、听的学生少的课、学生不喜欢的课…销量低…是劣质课程…”
“就是说，听不懂课的学生并不是笨蛋…”现代学者继续说，“学生听不懂课，是因为：课程太低劣了；教出这种课的教授的水平太低劣了…”
“学生听不懂课程，问题不在学生，而在课程…”现代学者最后说。
…
“我们小时候被晦涩难懂的教材否定，觉得自己是笨蛋，然后再也不敢涉足高数、量子物理、复杂函数…”现代学者说，“其实不是这样的…”
“我们觉得晦涩难懂的教材…科学家也觉得晦涩难懂…”现代学者接着说。
…
“如果我最初接触的是这样的教材…恐怕我不会取得今天的成就…”一位科学家说，“我很有可能和很多人一样，早早放弃学业…”
“因为微积分、相对论、傅里叶变换…从教材中看，这些东西太复杂了…”科学家接着说。
“晦涩难懂的教材让学生对微积分、相对论、傅里叶变换等学问产生恐惧…从此，他们不敢涉足数学、物理…”科学家继续说。
“麦克斯韦方程、微积分、广义相对论…这些学问其实非常浅显易懂…”科学家最后说，“普通人都可以轻松掌握…”
…
“人的资质并无太大差异…”现代学者继续说，“艾萨克·牛顿、高斯、阿尔伯特·爱因斯坦…他们能做到的…我们也能做到…”
“很多人说我们做不到…我们看不懂教材…因此，我们才认为自己做不到…”现代学者最后说，“我们放弃了努力…放弃了人生…于是我们真的做不到了。”
““学生不理解的话…大学教材说这类学生是‘差生’‘笨蛋’…”现代学者接着说。
“然而…学生是没有问题的…学生不能一下读懂教材…问题出在教材…”现代学者继续说。
请看下集《欧几里得67、不用事先预习，一下就能看懂教材的学生；天才人类…》”
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欧几里得67、不用事先预习，一下就能看懂教材的学生；天才人类…
“学生时代，老师将听不懂课的我们看成‘差生’‘笨蛋’…但请相信，我们不是笨蛋…”现代学者说，“听不懂课时，就不听…世界很广阔…我们可以通过网络选择自己喜欢的课，学习自己喜欢的知识…”
“听不懂课时，出问题的不是我们（我们不是笨蛋）…出问题的是课程…”现代学者接着说，“是课程太晦涩难懂了…”
…
“大学教材把人当成‘能准确理解希腊字母的科学家’，‘一下就能看懂希腊字母的天才’，‘熟悉概念的人’，‘勤奋的人’…”生物学家继续说。
…生物学家继续说：生物学家之前一直在说话（见《欧几里得39》），所以这里用“继续说”…
…希腊字母：这里泛指一切数理化生（数学、物理、化学、生物）字母…如sin、cos、Δx、dy、A（电流）、O2（氧气）…
“大学教材把人当成‘一下就能看懂希腊字母的天才’…不管学生理不理解，大学教材只管展示知识…”现代学者说。
“学生不理解的话…大学教材说这类学生是‘差生’‘笨蛋’…”现代学者接着说。
“然而…学生是没有问题的…学生不能一下读懂教材…问题出在教材…”现代学者继续说。
“‘销量’是评判事物优劣的标准…课程简洁易懂时，喜欢的学生就多…听课的学生就多…这样的课程是好课程…”现代学者最后说。
“根据‘销量’标准：学生一下读不懂的教材是劣质教材；学生一下能读懂，并且能学到知识的教材，是优秀教材…”现代学者说。
“…‘一下就能看懂希腊字母的天才’…通过《欧几里得60》的叙述，我们了解到：这种人大多是‘勤奋的人’；排除勤奋的人，仍有个别学生能‘一下看懂教材’…”现代学者接着说。
…勤奋的人：见《欧几里得39》…
“通常，我们把不用事先预习，一下就能看懂教材的学生称为天才…”现代学者继续说。
…天才：见《欧几里得40~58》…
“然而，‘一下就能看懂教材’始终是外人的感受——也就是我们的感受…那些被称为天才的学生，她们是怎么说的呢？…”现代学者最后说。
“…筛选出‘一下就能看懂教材’的学生很困难…在这部分学生中排除‘勤奋的人’…这更加困难…”现代学者说，“事实上，我们很难得到天才学生的说法…”
“虽然缺少天才学生的说法，但我们能找到天才人类的说法…”现代学者接着说，“那些被称为天才的人类，他们是这样说的：…”
天才人类的说法：
天才是1%的灵感加99%的汗水。——爱迪生
天才就是这样，终身劳动，便成天才！——门捷列夫
哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上。 ——鲁迅
我在科学方面所作出的任何成绩，都只是由于长期思索、忍耐和勤奋而获得的。——达尔文
在天才和勤奋两者之间，我毫不迟疑地选择勤奋，她是几乎世界上一切成就的催产婆。——爱因斯坦
天才不过是不断的思索，凡是有脑子的人，都有天才。——莫泊桑
划分天才和勤勉之别的界线迄今尚未能确定，以后也没法确定。——贝多芬
我是个拙笨的学艺者，没有充分的天才，全凭苦学。——梅兰芳
…
““用普通人彻底掌握的概念、字母组合出傅里叶变换、广义相对论等知识…普通人就能一下理解、掌握傅里叶变换、广义相对论…”现代学者继续说。
请看下集《欧几里得68、理论上讲，大学教材可以编得小学生都能看懂…》”
5
“学生时代，老师将听不懂课的我们看成‘差生’‘笨蛋’…但请相信，我们不是笨蛋…”现代学者说，“听不懂课时，就不听…世界很广阔…我们可以通过网络选择自己喜欢的课，学习自己喜欢的知识…”
“听不懂课时，出问题的不是我们（我们不是笨蛋）…出问题的是课程…”现代学者接着说，“是课程太晦涩难懂了…”
…
“大学教材把人当成‘能准确理解希腊字母的科学家’，‘一下就能看懂希腊字母的天才’，‘熟悉概念的人’，‘勤奋的人’…”生物学家继续说。
…生物学家继续说：生物学家之前一直在说话（见《欧几里得39》），所以这里用“继续说”…
…希腊字母：这里泛指一切数理化生（数学、物理、化学、生物）字母…如sin、cos、Δx、dy、A（电流）、O2（氧气）…
“大学教材把人当成‘一下就能看懂希腊字母的天才’…不管学生理不理解，大学教材只管展示知识…”现代学者说。
“学生不理解的话…大学教材说这类学生是‘差生’‘笨蛋’…”现代学者接着说。
“然而…学生是没有问题的…学生不能一下读懂教材…问题出在教材…”现代学者继续说。
“‘销量’是评判事物优劣的标准…课程简洁易懂时，喜欢的学生就多…听课的学生就多…这样的课程是好课程…”现代学者最后说。
“根据‘销量’标准：学生一下读不懂的教材是劣质教材；学生一下能读懂，并且能学到知识的教材，是优秀教材…”现代学者说。
“…‘一下就能看懂希腊字母的天才’…通过《欧几里得60》的叙述，我们了解到：这种人大多是‘勤奋的人’；排除勤奋的人，仍有个别学生能‘一下看懂教材’…”现代学者接着说。
…勤奋的人：见《欧几里得39》…
“通常，我们把不用事先预习，一下就能看懂教材的学生称为天才…”现代学者继续说。
…天才：见《欧几里得40~58》…
“然而，‘一下就能看懂教材’始终是外人的感受——也就是我们的感受…那些被称为天才的学生，她们是怎么说的呢？…”现代学者最后说。
“…筛选出‘一下就能看懂教材’的学生很困难…在这部分学生中排除‘勤奋的人’…这更加困难…”现代学者说，“事实上，我们很难得到天才学生的说法…”
“虽然缺少天才学生的说法，但我们能找到天才人类的说法…”现代学者接着说，“那些被称为天才的人类，他们是这样说的：…”
天才人类的说法：
天才是1%的灵感加99%的汗水。——爱迪生
天才就是这样，终身劳动，便成天才！——门捷列夫
哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上。 ——鲁迅
我在科学方面所作出的任何成绩，都只是由于长期思索、忍耐和勤奋而获得的。——达尔文
在天才和勤奋两者之间，我毫不迟疑地选择勤奋，她是几乎世界上一切成就的催产婆。——爱因斯坦
天才不过是不断的思索，凡是有脑子的人，都有天才。——莫泊桑
划分天才和勤勉之别的界线迄今尚未能确定，以后也没法确定。——贝多芬
我是个拙笨的学艺者，没有充分的天才，全凭苦学。——梅兰芳
…
““用普通人彻底掌握的概念、字母组合出傅里叶变换、广义相对论等知识…普通人就能一下理解、掌握傅里叶变换、广义相对论…”现代学者继续说。
请看下集《欧几里得68、理论上讲，大学教材可以编得小学生都能看懂…》”
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欧几里得68、理论上讲，大学教材可以编得小学生都能看懂…
划分天才和勤勉之别的界线迄今尚未能确定，以后也没法确定。——贝多芬
我是个拙笨的学艺者，没有充分的天才，全凭苦学。——梅兰芳
…
“就是说，天才虽然比我们理解的快，但那是她们经常学习、思考的结果…”现代学者说，“天才们也认为自己不能一下看懂教材…”
“…我们说‘一下就能看懂希腊字母的天才’这句话的时候…我们描述的，是天才们的感受…”现代学者接着说。
…希腊字母：这里泛指一切数理化生（数学、物理、化学、生物）字母，如sin、cos、Δx、dy、A（电流）、O2（氧气）…
“但我们不是天才…”现代学者继续说，“我们其实并不知道天才们的感受…‘一下就能看懂希腊字母的天才’只是猜测…”
“根据天才们自己的说法…她们也不能‘一下看懂希腊字母’…天才们自己的说法是准确说法…”现代学者最后说。
“普通人看不懂希腊字母…所以看不懂大学教材…”现代学者说，“也就是说，如果普通人看得懂希腊字母…她们就能读懂大学教材…哪怕她们只有小学文化水平…”
（“这是个很可怕的理论…因为它预言这样一个事实：如果大学教材把希腊字母讲得小学生都能理解…小学生就能读懂大学教材…”现代百姓说。）
“站在普通人角度编写教材…详细解释遇到的，普通人‘一下不能理解’的概念、字母…使普通人彻底掌握概念、字母…”现代学者接着说。
“用普通人彻底掌握的概念、字母组合出傅里叶变换、广义相对论等知识…普通人就能一下理解、掌握傅里叶变换、广义相对论…”现代学者继续说。
“…理论上讲，大学教材…可以编得小学生都能学会…”现代学者最后说。
…
“详细解释遇到的，普通人理解困难的每一个词、字母…这很耗费篇章…”现代学者说，“比如说，《欧几里得》这部教材（也就是本文）…迄今为止虽然只是讲推理方法（甚至还没有讲到几何问题），就已经达到68章…这些知识…在学校，至少要一学期才能学完…”
“但是…如果不把词、字母讲透彻…普通人便看不懂词、字母…”现代学者接着说，“词、字母组合出的算式、方程、复杂知识…普通人就更看不懂了…”
“…普通人大学毕业后…让她们回忆在学校学的东西…她们回想起来的知识很少，她们应用出来的知识更少…”现代学者继续说。
“不刨根问底的讲知识，把学生当成‘一下就能看懂希腊字母的天才’，快速讲解麦克斯韦方程、广义相对论…大学里，这种看似高效的讲解方法，其实并不高效…”现代学者最后说，“多数学生没学到知识…她们的时间也被浪费掉了…”
“普通人看不懂的词、字母…它们组合出的知识…普通人也看不懂…”现代学者说，“写再多的教材、说再多的话…也没用…”
““掌控版块后…人能用版块拼出数学、物理、化学、生物…医学、历史、哲学…法律、经济、信息科学…等所有学问…”现代学者最后说，“掌握版块后…单个人便能掌握人类文明…”
请看下集《欧几里得69、当今世界，一个人能掌握人类全部学问吗？》”
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划分天才和勤勉之别的界线迄今尚未能确定，以后也没法确定。——贝多芬
我是个拙笨的学艺者，没有充分的天才，全凭苦学。——梅兰芳
…
“就是说，天才虽然比我们理解的快，但那是她们经常学习、思考的结果…”现代学者说，“天才们也认为自己不能一下看懂教材…”
“…我们说‘一下就能看懂希腊字母的天才’这句话的时候…我们描述的，是天才们的感受…”现代学者接着说。
…希腊字母：这里泛指一切数理化生（数学、物理、化学、生物）字母，如sin、cos、Δx、dy、A（电流）、O2（氧气）…
“但我们不是天才…”现代学者继续说，“我们其实并不知道天才们的感受…‘一下就能看懂希腊字母的天才’只是猜测…”
“根据天才们自己的说法…她们也不能‘一下看懂希腊字母’…天才们自己的说法是准确说法…”现代学者最后说。
“普通人看不懂希腊字母…所以看不懂大学教材…”现代学者说，“也就是说，如果普通人看得懂希腊字母…她们就能读懂大学教材…哪怕她们只有小学文化水平…”
（“这是个很可怕的理论…因为它预言这样一个事实：如果大学教材把希腊字母讲得小学生都能理解…小学生就能读懂大学教材…”现代百姓说。）
“站在普通人角度编写教材…详细解释遇到的，普通人‘一下不能理解’的概念、字母…使普通人彻底掌握概念、字母…”现代学者接着说。
“用普通人彻底掌握的概念、字母组合出傅里叶变换、广义相对论等知识…普通人就能一下理解、掌握傅里叶变换、广义相对论…”现代学者继续说。
“…理论上讲，大学教材…可以编得小学生都能学会…”现代学者最后说。
…
“详细解释遇到的，普通人理解困难的每一个词、字母…这很耗费篇章…”现代学者说，“比如说，《欧几里得》这部教材（也就是本文）…迄今为止虽然只是讲推理方法（甚至还没有讲到几何问题），就已经达到68章…这些知识…在学校，至少要一学期才能学完…”
“但是…如果不把词、字母讲透彻…普通人便看不懂词、字母…”现代学者接着说，“词、字母组合出的算式、方程、复杂知识…普通人就更看不懂了…”
“…普通人大学毕业后…让她们回忆在学校学的东西…她们回想起来的知识很少，她们应用出来的知识更少…”现代学者继续说。
“不刨根问底的讲知识，把学生当成‘一下就能看懂希腊字母的天才’，快速讲解麦克斯韦方程、广义相对论…大学里，这种看似高效的讲解方法，其实并不高效…”现代学者最后说，“多数学生没学到知识…她们的时间也被浪费掉了…”
“普通人看不懂的词、字母…它们组合出的知识…普通人也看不懂…”现代学者说，“写再多的教材、说再多的话…也没用…”
““掌控版块后…人能用版块拼出数学、物理、化学、生物…医学、历史、哲学…法律、经济、信息科学…等所有学问…”现代学者最后说，“掌握版块后…单个人便能掌握人类文明…”
请看下集《欧几里得69、当今世界，一个人能掌握人类全部学问吗？》”
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欧几里得70、私塾、戒尺、手心；长条凳、藤条；被动学习…
“学生并不是‘能准确理解希腊字母的科学家’…就是说…如果教材没把希腊字母讲清楚，学生就真的不能理解它们…”现代学者说，“不言而喻…这种字母组合出的公式…学生也不能理解…”
…喻：明白；了解：家～户晓。不言而～…
…不言而喻：不用说就可以明白。形容道理很浅显…
“大学教材把人当成‘能准确理解希腊字母的科学家’，‘一下就能看懂希腊字母的天才’，‘熟悉概念的人’，‘勤奋的人’…”生物学家继续说。
…生物学家继续说：生物学家之前一直在说话（见《欧几里得39》），所以这里用“继续说”…
“‘一下就能看懂希腊字母的天才’…通过前文的叙述（《欧几里得67、68》），特别是天才们自己的说法（见《欧几里得68》），我们了解到：世上并不存在‘一下就能看懂希腊字母的天才’…”现代学者说。
…
“学生是还没学会知识的人，不是已经学会知识的人…”现代学者说，“她们不是‘熟悉概念的人’…”
…
“勤奋的人？…”现代学者说，“在《欧几里得39》，我们对‘勤奋的人’做过探讨…最后得出的结论是：人如果没‘一下听懂，一下看懂’，就不会再去听、再去看了…”
“为让人们去听、去看他们不能‘一下听懂，一下看懂’的东西，我们会采取一些措施…”现代学者接着说，
“过去（私塾时代）…为让学生诵读他们看不懂的文言文，老师会用戒尺打他们手心…”现代学者继续说，“家长见孩子贪玩…会让孩子趴在长条凳上，然后用藤条猛抽他的屁股…”
“现在…体罚没有了…人们采用另一种处罚方式…就是考试…”现代学者最后说，“对于在大学考试中没有取得合格成绩的学生…学校不让他们毕业…”
…在大学考试中没有取得合格成绩：俗称“挂科”…
“学校用考试、限制毕业等措施逼迫学生，学生才会翻资料…”现代学者说，“学生翻资料、努力学习他们不能‘一下看懂’的课本，不是因为勤奋，而是被逼的…”
“没有考试、毕业…学生几乎不会翻课本…”现代学者接着说。
（“我这样说…是有事实依据的…”现代学者说，“我依据的事实是：学生毕业后，没有考试压力；学生毕业后，几乎没翻过大学课本…”）
“即便有考试压力…很多学生还是懒得查资料…”现代学者继续说，“他们用小抄、讨好老师等手段通过考试…”
“对于自己看不懂的拉格朗日函数、广义相对论…他们不会再去看了…”现代学者最后说。
“就是说，课本不透彻讲解字母、词、概念…学生便不能理解字母、词、概念…”现代学者说。
“‘学生是勤奋的’，‘学生通过查资料，弄懂他们不懂的字母、词、概念…’…这些事只存在想象中…现实里并不存在…”现代学者接着说。
“语言、文章、小说…手机、电脑、电动车…房子、服装…演技、歌声…人做出的东西，不管是什么…只要销量高，做出这种东西人就是有才能…
请看下集《欧几里得71、评判人才能的方法是考试，还是销量？》”
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“学生并不是‘能准确理解希腊字母的科学家’…就是说…如果教材没把希腊字母讲清楚，学生就真的不能理解它们…”现代学者说，“不言而喻…这种字母组合出的公式…学生也不能理解…”
…喻：明白；了解：家～户晓。不言而～…
…不言而喻：不用说就可以明白。形容道理很浅显…
“大学教材把人当成‘能准确理解希腊字母的科学家’，‘一下就能看懂希腊字母的天才’，‘熟悉概念的人’，‘勤奋的人’…”生物学家继续说。
…生物学家继续说：生物学家之前一直在说话（见《欧几里得39》），所以这里用“继续说”…
“‘一下就能看懂希腊字母的天才’…通过前文的叙述（《欧几里得67、68》），特别是天才们自己的说法（见《欧几里得68》），我们了解到：世上并不存在‘一下就能看懂希腊字母的天才’…”现代学者说。
…
“学生是还没学会知识的人，不是已经学会知识的人…”现代学者说，“她们不是‘熟悉概念的人’…”
…
“勤奋的人？…”现代学者说，“在《欧几里得39》，我们对‘勤奋的人’做过探讨…最后得出的结论是：人如果没‘一下听懂，一下看懂’，就不会再去听、再去看了…”
“为让人们去听、去看他们不能‘一下听懂，一下看懂’的东西，我们会采取一些措施…”现代学者接着说，
“过去（私塾时代）…为让学生诵读他们看不懂的文言文，老师会用戒尺打他们手心…”现代学者继续说，“家长见孩子贪玩…会让孩子趴在长条凳上，然后用藤条猛抽他的屁股…”
“现在…体罚没有了…人们采用另一种处罚方式…就是考试…”现代学者最后说，“对于在大学考试中没有取得合格成绩的学生…学校不让他们毕业…”
…在大学考试中没有取得合格成绩：俗称“挂科”…
“学校用考试、限制毕业等措施逼迫学生，学生才会翻资料…”现代学者说，“学生翻资料、努力学习他们不能‘一下看懂’的课本，不是因为勤奋，而是被逼的…”
“没有考试、毕业…学生几乎不会翻课本…”现代学者接着说。
（“我这样说…是有事实依据的…”现代学者说，“我依据的事实是：学生毕业后，没有考试压力；学生毕业后，几乎没翻过大学课本…”）
“即便有考试压力…很多学生还是懒得查资料…”现代学者继续说，“他们用小抄、讨好老师等手段通过考试…”
“对于自己看不懂的拉格朗日函数、广义相对论…他们不会再去看了…”现代学者最后说。
“就是说，课本不透彻讲解字母、词、概念…学生便不能理解字母、词、概念…”现代学者说。
“‘学生是勤奋的’，‘学生通过查资料，弄懂他们不懂的字母、词、概念…’…这些事只存在想象中…现实里并不存在…”现代学者接着说。
“语言、文章、小说…手机、电脑、电动车…房子、服装…演技、歌声…人做出的东西，不管是什么…只要销量高，做出这种东西人就是有才能…
请看下集《欧几里得71、评判人才能的方法是考试，还是销量？》”
5
欧几里得71、评判人才能的方法是考试，还是销量？
“学生是这个样子，没有学业压力的普通人更是如此…”现代学者继续说，“社会上的人几乎不翻大学课本…”
（“考文凭的人例外…”现代百姓说。
…
“可悲的是，人们翻大学课本不是为了学问，而是为了考文凭…”现代百姓最后说。）
“人们通过其它途径学习知识…考文凭时，人们才用到大学课本…”现代学者说，“人们用课本上的、编教材的人给的答案去回答试卷上的、编教材的人出的问题…”
“个人喜好、看法…决定了他人的成绩、优差…”现代学者接着说。
“渐渐的…大学教材已不再是知识的载体…它沦为一个人评判另一个人的工具…”现代学者继续说。
“根据平等法理，人没有凌驾另一个人之上、评判他人的权力…”现代学者最后说，“‘考试’违反平等法理——‘考试’是非法的…”
“‘考试’真能测出人的才能吗？”现代学者问。
“‘成绩好的不一定有才能，成绩差的不一定没有才能’，人类历史不断验证这一点…”现代学者说。
“根据前文（《欧几里得64》）的叙述，我们了解到：‘销量’是评判才能的标准…”现代学者接着说，“语言、文章、小说…手机、电脑、电动车…房子、服装…演技、歌声…人做出的东西，不管是什么…只要销量高，做出这种东西人就是有才能…”
“销量低的话…做出这种东西的人…才能就少…”现代学者最后说。
…
“约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题——他采用了一个十分巧妙的关于‘两个量之比’的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比（见《欧几里得19~20》）…”荟（huì）文苑（yuàn）说。
…荟文苑：某老师在网上的名字，见《欧几里得13》…
“他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致…”荟文苑接着说。
…狄德金、狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释：见《欧几里得24~38》…
…
“欧多克斯的新比例论，以几何量（而非自然数）作为算术的基础，仅仅是暂时解决了第一次数学危机。而戴德金分割，则是从（由自然数构造出的）有理数，直接构造出无理数，从而彻底解决了危机…”网友“思考思考的动物”说。
…欧多克斯的新比例论：见《欧几里得19~22》…
…第一次数学危机：见《欧几里得10》…
…
“欧多克斯在几何学、天文学和医学等方面都有突出的贡献…他曾提出这样奇妙的构想：能不能把一条线段分为不相等的两部分，使较长部分为原线段和较短部分的比例中项？…”荟文苑接着说，“这个问题就是黄金分割问题…”
““由比例的基本性质…a:b=b:c成立情况下，a、b、c的关系是：b²=ac…”现代学者说。
请看下集《欧几里得72、外项，内项，中项；比例的基本性质；黄金分割…》”
5
“学生是这个样子，没有学业压力的普通人更是如此…”现代学者继续说，“社会上的人几乎不翻大学课本…”
（“考文凭的人例外…”现代百姓说。
…
“可悲的是，人们翻大学课本不是为了学问，而是为了考文凭…”现代百姓最后说。）
“人们通过其它途径学习知识…考文凭时，人们才用到大学课本…”现代学者说，“人们用课本上的、编教材的人给的答案去回答试卷上的、编教材的人出的问题…”
“个人喜好、看法…决定了他人的成绩、优差…”现代学者接着说。
“渐渐的…大学教材已不再是知识的载体…它沦为一个人评判另一个人的工具…”现代学者继续说。
“根据平等法理，人没有凌驾另一个人之上、评判他人的权力…”现代学者最后说，“‘考试’违反平等法理——‘考试’是非法的…”
“‘考试’真能测出人的才能吗？”现代学者问。
“‘成绩好的不一定有才能，成绩差的不一定没有才能’，人类历史不断验证这一点…”现代学者说。
“根据前文（《欧几里得64》）的叙述，我们了解到：‘销量’是评判才能的标准…”现代学者接着说，“语言、文章、小说…手机、电脑、电动车…房子、服装…演技、歌声…人做出的东西，不管是什么…只要销量高，做出这种东西人就是有才能…”
“销量低的话…做出这种东西的人…才能就少…”现代学者最后说。
…
“约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯（Eudoxus，约公元前408—前355）解决了关于无理数的问题——他采用了一个十分巧妙的关于‘两个量之比’的新说法，回避了无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比（见《欧几里得19~20》）…”荟（huì）文苑（yuàn）说。
…荟文苑：某老师在网上的名字，见《欧几里得13》…
“他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致…”荟文苑接着说。
…狄德金、狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释：见《欧几里得24~38》…
…
“欧多克斯的新比例论，以几何量（而非自然数）作为算术的基础，仅仅是暂时解决了第一次数学危机。而戴德金分割，则是从（由自然数构造出的）有理数，直接构造出无理数，从而彻底解决了危机…”网友“思考思考的动物”说。
…欧多克斯的新比例论：见《欧几里得19~22》…
…第一次数学危机：见《欧几里得10》…
…
“欧多克斯在几何学、天文学和医学等方面都有突出的贡献…他曾提出这样奇妙的构想：能不能把一条线段分为不相等的两部分，使较长部分为原线段和较短部分的比例中项？…”荟文苑接着说，“这个问题就是黄金分割问题…”
““由比例的基本性质…a:b=b:c成立情况下，a、b、c的关系是：b²=ac…”现代学者说。
请看下集《欧几里得72、外项，内项，中项；比例的基本性质；黄金分割…》”
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欧几里得72、外项，内项，中项；比例的基本性质；黄金分割…
“欧多克斯在几何学、天文学和医学等方面都有突出的贡献…他曾提出这样奇妙的构想：能不能把一条线段分为不相等的两部分，使较长部分为原线段和较短部分的比例中项？…”荟（huì）文苑（yuàn）接着说，“这个问题就是黄金分割问题…”
…荟文苑：某老师在网上的名字，见《欧几里得13》…
…比：两个同类量之间的倍数关系，叫做它们的比。其中一数是另一数的几倍或几分之几：这里的小麦年产量和水稻年产量约为一～四…
…例：用来说明情况的或可作依据的事物：举～。援～…
…比例：在数学中，表示两个或多个比相等的式子…在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质…
“什么是外项？”网友提问
“在比例外面的两个数就叫外项（也就是第一个比的前项和第二个比的后项），如——1：2=2：4，1和4就是外项…”网友“李佳宇大王”说。
“组成比例的4个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项…”网友“dabenweini111”说，“比如‘1：2=2：4’…两个2就是比例的内项，1和4是比例的外项…”
“比例的基本性质：两个外项的乘积等于两个内项的乘积…”dabenweini111接着说，“比如‘1：2=2：4’中，2×2=1×4…”
…比例中项：如果a、b、c三个量成比例（即a:b=b:c），b就叫做a和c的比例中项…
“内项要相等时才称为比例中项…”现代学者说。
“由比例的基本性质…a:b=b:c成立情况下，a、b、c的关系是：b²=ac…”现代学者接着说。
…把一条线段分为不相等的两部分，使较长部分为原线段和较短部分的比例中项：把一条线段分为不相等的两部分，使较长部分的长度为原线段长度和较短线段长度的比例中项…
黄金分割：指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。
“千百年来，黄金分割问题被广泛运用于几何学、建筑设计、绘画艺术、舞台艺术、音乐艺术等方面，甚至也存在于自然界中…”荟文苑继续说，“17世纪欧洲著名科学家开普勒说过：‘几何学有两个宝藏，一个是勾股定理，一个是黄金分割。’…”
欧多克斯（Eudoxus of Cnidus, 408 BC-355 BC）：约公元前400年生于奈得斯，希腊天文学家和数学家。
…BC：公元前（基督教会历法用）…
欧多克斯2：欧多克斯在柏拉图学园中学习时，处境十分困难。他很贫困，故住在雅典的港口比雷埃夫斯，因为这里可以找到较便宜的的住处。这样他每天往返学校不得不走十英里（16.09344公里）。毕业后他到了埃及，进行天文学的我们今天称作研究生的学业。
…比雷埃夫斯港：位于希腊东南部，为希腊最大港口，也是全球50大集装箱港及地中海东部地区最大的集装箱港口之一。2006年，比雷埃夫斯港排名欧洲十大集装箱码头之一…
“欧多克斯是证明一年不是整三百六十五天而是三百六十五天又六小时的第一个希腊人。
请看下集《欧几里得73、欧多克斯的生平；柏拉图；第一张世界地图…》”
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“欧多克斯在几何学、天文学和医学等方面都有突出的贡献…他曾提出这样奇妙的构想：能不能把一条线段分为不相等的两部分，使较长部分为原线段和较短部分的比例中项？…”荟（huì）文苑（yuàn）接着说，“这个问题就是黄金分割问题…”
…荟文苑：某老师在网上的名字，见《欧几里得13》…
…比：两个同类量之间的倍数关系，叫做它们的比。其中一数是另一数的几倍或几分之几：这里的小麦年产量和水稻年产量约为一～四…
…例：用来说明情况的或可作依据的事物：举～。援～…
…比例：在数学中，表示两个或多个比相等的式子…在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质…
“什么是外项？”网友提问
“在比例外面的两个数就叫外项（也就是第一个比的前项和第二个比的后项），如——1：2=2：4，1和4就是外项…”网友“李佳宇大王”说。
“组成比例的4个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项…”网友“dabenweini111”说，“比如‘1：2=2：4’…两个2就是比例的内项，1和4是比例的外项…”
“比例的基本性质：两个外项的乘积等于两个内项的乘积…”dabenweini111接着说，“比如‘1：2=2：4’中，2×2=1×4…”
…比例中项：如果a、b、c三个量成比例（即a:b=b:c），b就叫做a和c的比例中项…
“内项要相等时才称为比例中项…”现代学者说。
“由比例的基本性质…a:b=b:c成立情况下，a、b、c的关系是：b²=ac…”现代学者接着说。
…把一条线段分为不相等的两部分，使较长部分为原线段和较短部分的比例中项：把一条线段分为不相等的两部分，使较长部分的长度为原线段长度和较短线段长度的比例中项…
黄金分割：指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。
“千百年来，黄金分割问题被广泛运用于几何学、建筑设计、绘画艺术、舞台艺术、音乐艺术等方面，甚至也存在于自然界中…”荟文苑继续说，“17世纪欧洲著名科学家开普勒说过：‘几何学有两个宝藏，一个是勾股定理，一个是黄金分割。’…”
欧多克斯（Eudoxus of Cnidus, 408 BC-355 BC）：约公元前400年生于奈得斯，希腊天文学家和数学家。
…BC：公元前（基督教会历法用）…
欧多克斯2：欧多克斯在柏拉图学园中学习时，处境十分困难。他很贫困，故住在雅典的港口比雷埃夫斯，因为这里可以找到较便宜的的住处。这样他每天往返学校不得不走十英里（16.09344公里）。毕业后他到了埃及，进行天文学的我们今天称作研究生的学业。
…比雷埃夫斯港：位于希腊东南部，为希腊最大港口，也是全球50大集装箱港及地中海东部地区最大的集装箱港口之一。2006年，比雷埃夫斯港排名欧洲十大集装箱码头之一…
“欧多克斯是证明一年不是整三百六十五天而是三百六十五天又六小时的第一个希腊人。
请看下集《欧几里得73、欧多克斯的生平；柏拉图；第一张世界地图…》”
5
欧几里得73、欧多克斯的生平；柏拉图；第一张世界地图…
欧多克斯3：后来，在今天土耳其西北岸的锡塞克斯创办了他自己的学校，最后他（欧多克斯）把学校迁到雅典，在那里任教多年。那时他已成为公认的有成就的哲学家。他再次拜访了过去的老师柏拉图…柏拉图为他举行了宴会。
“当公元前367年柏拉图在西西里时，欧多克斯甚至可能还是柏拉图学园的负责人…”现代百姓说。
…西西里：西西里岛…
…西西里岛：位于意大利…是地中海最大的岛…
欧多克斯4：在这些年里，他提出了许多几何证法，后来被纳入欧几里得所总结的几何学。他还对不能直接确定其长度和面积的图形的近似值进行研究，这在一百年后由阿基米德作了进一步的发展…欧多克斯是证明一年不是整三百六十五天而是三百六十五天又六小时的第一个希腊人。
（“既然埃及人对此已有所了解，那么欧多克斯只不过是把这传到了希腊，而并不是他发现的…”现代百姓说。）
欧多克斯5：欧多克斯接受了柏拉图关于行星必须在正圆轨道上运行的观点。然而他在观察了行星运动之后不得不承认，行星的实际运动并不是正圆轨道上的匀速运动…为了当时所谓的给老师柏拉图“保全面子”，他是第一个试图修改柏拉图理论使之适合观察到的实际情况的人。
“欧多克斯认为：行星同其所绕转动的中心球体组成的系统，同时绕着第三球体转动…以此类推（如月绕地转动，地月系统绕日转动。不过当时认为日绕地，其他星体绕日。）；每个球体的转动是匀速的…”现代学者说。
…
“欧多克斯用球体多级依次公转，以完美的规则性得出观察到的不规则的不完美性…这就保全了他老师柏拉图的面子…”现代学者最后说。
欧多克斯6：欧多克斯还画了一幅新的胜过赫克特斯的地图…他是第一个试图画星图的希腊人…为此目的，他将天空按经度、纬度划分…后来这概念就转移到地球本身的表面上了。
…赫克特斯（Hecataeus）：希腊旅行家。公元前约550年生于迈利特；约卒于公元前476年…赫克特斯继承了泰勒斯的理性传统…赫克特斯将理性传统用于说明地球表面…赫克特斯在波斯王国（当时该国统治小亚细亚）作了广泛旅行，著有论述埃及和亚洲的书籍，然而该书未流传下来…赫克特斯写下希腊第一本记载人的事迹的书…赫克特斯绘制了世界地图…赫克特斯被称为“历史之父”…
…泰勒斯：见《欧几里得15》…
…小亚细亚：亚洲西南部的一个半岛（今土耳其所在地）…
欧多克斯7：几百年后，西塞罗认为欧多克斯是希腊最伟大的天文学家（尽管这说法可能对伊巴谷不够公平）。
“第一次数学危机表明：几何学的某些真理与算术无关；几何量不能完全由整数及其比来表示…反之，数却可以由几何量表示出来…
请看下集《欧几里得74、第一次数学危机的成果：直觉经验不一定可靠，推理证明可靠》”
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欧多克斯3：后来，在今天土耳其西北岸的锡塞克斯创办了他自己的学校，最后他（欧多克斯）把学校迁到雅典，在那里任教多年。那时他已成为公认的有成就的哲学家。他再次拜访了过去的老师柏拉图…柏拉图为他举行了宴会。
“当公元前367年柏拉图在西西里时，欧多克斯甚至可能还是柏拉图学园的负责人…”现代百姓说。
…西西里：西西里岛…
…西西里岛：位于意大利…是地中海最大的岛…
欧多克斯4：在这些年里，他提出了许多几何证法，后来被纳入欧几里得所总结的几何学。他还对不能直接确定其长度和面积的图形的近似值进行研究，这在一百年后由阿基米德作了进一步的发展…欧多克斯是证明一年不是整三百六十五天而是三百六十五天又六小时的第一个希腊人。
（“既然埃及人对此已有所了解，那么欧多克斯只不过是把这传到了希腊，而并不是他发现的…”现代百姓说。）
欧多克斯5：欧多克斯接受了柏拉图关于行星必须在正圆轨道上运行的观点。然而他在观察了行星运动之后不得不承认，行星的实际运动并不是正圆轨道上的匀速运动…为了当时所谓的给老师柏拉图“保全面子”，他是第一个试图修改柏拉图理论使之适合观察到的实际情况的人。
“欧多克斯认为：行星同其所绕转动的中心球体组成的系统，同时绕着第三球体转动…以此类推（如月绕地转动，地月系统绕日转动。不过当时认为日绕地，其他星体绕日。）；每个球体的转动是匀速的…”现代学者说。
…
“欧多克斯用球体多级依次公转，以完美的规则性得出观察到的不规则的不完美性…这就保全了他老师柏拉图的面子…”现代学者最后说。
欧多克斯6：欧多克斯还画了一幅新的胜过赫克特斯的地图…他是第一个试图画星图的希腊人…为此目的，他将天空按经度、纬度划分…后来这概念就转移到地球本身的表面上了。
…赫克特斯（Hecataeus）：希腊旅行家。公元前约550年生于迈利特；约卒于公元前476年…赫克特斯继承了泰勒斯的理性传统…赫克特斯将理性传统用于说明地球表面…赫克特斯在波斯王国（当时该国统治小亚细亚）作了广泛旅行，著有论述埃及和亚洲的书籍，然而该书未流传下来…赫克特斯写下希腊第一本记载人的事迹的书…赫克特斯绘制了世界地图…赫克特斯被称为“历史之父”…
…泰勒斯：见《欧几里得15》…
…小亚细亚：亚洲西南部的一个半岛（今土耳其所在地）…
欧多克斯7：几百年后，西塞罗认为欧多克斯是希腊最伟大的天文学家（尽管这说法可能对伊巴谷不够公平）。
“第一次数学危机表明：几何学的某些真理与算术无关；几何量不能完全由整数及其比来表示…反之，数却可以由几何量表示出来…
请看下集《欧几里得74、第一次数学危机的成果：直觉经验不一定可靠，推理证明可靠》”
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欧几里得74、第一次数学危机的成果：直觉经验不一定可靠，推理证明可靠
欧多克斯7：几百年后，西塞罗认为欧多克斯是希腊最伟大的天文学家（尽管这说法可能对伊巴谷不够公平）。
…马库斯·图留斯·西塞罗（Marcus Tullius Cicero，前106年1月3日－前43年12月7日）：古罗马国政家、演说家、雄辩家、法学家和哲学家。出身于古罗马的奴隶主骑士家庭，以善于雄辩而成为罗马国政舞台的显要人物。从事过律师工作，后进入政界。开始时期倾向平民派，以后成为贵族派。公元前63年当选为执政官…
…伊巴谷一般指喜帕恰斯…
喜帕恰斯（约公元前190年-公元前125年）：古希腊最伟大的天文学家、数学家。他编制出1022颗恒星的位置一览表，首次以“星等”来区分星星；提出了托勒密定理；发现了岁差现象…
…岁差：指一个天体的自转轴指向因为重力作用导致在空间中缓慢且连续的变化。例如，地球自转轴的方向逐渐漂移，追踪它摇摆的顶部，以大约26,000年的周期扫掠出一个圆锥（百度百科）；太阳和月亮的引力对地球赤道的作用，使地轴在黄道轴的周围作圆锥形的运动，缓慢西移，约25800年环绕一周…这种现象叫岁差（汉语词典）…
…
“ 第一次数学危机表明：几何学的某些真理与算术无关；几何量不能完全由整数及其比来表示…反之，数却可以由几何量表示出来…”荟（huì）文苑（yuàn）说，“整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击…于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位…”
…第一次数学危机：见《欧几里得10》…
…荟文苑：某老师在网上的名字，见《欧几里得13》…
“第一次数学危机同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的…从此希腊人开始从‘自明的’公理出发，经过演绎推理，建立几何学体系——这是数学思想上的一次革命；这是第一次数学危机的重大成果…”荟文苑接着说。
…自明的：不证自明的；人类认为正确的、不用证明的…
…演绎：从命题出发，运用证明方法（三段论；反证法…），推导出另一命题的过程；由一般命题推出特殊命题的过程（跟“归纳”相对）…
…命题：见《欧几里得2》…
…
…推理：从已有判断得出新判断的过程；从已有事实得出新事实的过程…
…演绎推理：由一般到特殊、由整体到局部的推理方法…如：由“天鹅都是白色的”这个一般命题（整体命题），推出“湖里的天鹅是白色的”这个特殊命题（局部命题），就是演绎推理…
“回顾在此以前的各种数学，无非都是算，也就是提供算法…即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。例如，泰勒斯预测日食、利用影子计算金字塔高、测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范畴（chóu）…”荟文苑继续说。
““至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机，也就继续走着以算为主，以用为主的道路…”荟文苑最后说，“而由于第一次数学危机的发生和解决，希腊数学则走上完全不同的发展道路，形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系…”
请看下集《欧几里得75、第一次数据危机后，古希腊数学突飞猛进，中国数学原地踏步…》”
11
欧多克斯7：几百年后，西塞罗认为欧多克斯是希腊最伟大的天文学家（尽管这说法可能对伊巴谷不够公平）。
…马库斯·图留斯·西塞罗（Marcus Tullius Cicero，前106年1月3日－前43年12月7日）：古罗马国政家、演说家、雄辩家、法学家和哲学家。出身于古罗马的奴隶主骑士家庭，以善于雄辩而成为罗马国政舞台的显要人物。从事过律师工作，后进入政界。开始时期倾向平民派，以后成为贵族派。公元前63年当选为执政官…
…伊巴谷一般指喜帕恰斯…
喜帕恰斯（约公元前190年-公元前125年）：古希腊最伟大的天文学家、数学家。他编制出1022颗恒星的位置一览表，首次以“星等”来区分星星；提出了托勒密定理；发现了岁差现象…
…岁差：指一个天体的自转轴指向因为重力作用导致在空间中缓慢且连续的变化。例如，地球自转轴的方向逐渐漂移，追踪它摇摆的顶部，以大约26,000年的周期扫掠出一个圆锥（百度百科）；太阳和月亮的引力对地球赤道的作用，使地轴在黄道轴的周围作圆锥形的运动，缓慢西移，约25800年环绕一周…这种现象叫岁差（汉语词典）…
…
“ 第一次数学危机表明：几何学的某些真理与算术无关；几何量不能完全由整数及其比来表示…反之，数却可以由几何量表示出来…”荟（huì）文苑（yuàn）说，“整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击…于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位…”
…第一次数学危机：见《欧几里得10》…
…荟文苑：某老师在网上的名字，见《欧几里得13》…
“第一次数学危机同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的…从此希腊人开始从‘自明的’公理出发，经过演绎推理，建立几何学体系——这是数学思想上的一次革命；这是第一次数学危机的重大成果…”荟文苑接着说。
…自明的：不证自明的；人类认为正确的、不用证明的…
…演绎：从命题出发，运用证明方法（三段论；反证法…），推导出另一命题的过程；由一般命题推出特殊命题的过程（跟“归纳”相对）…
…命题：见《欧几里得2》…
…
…推理：从已有判断得出新判断的过程；从已有事实得出新事实的过程…
…演绎推理：由一般到特殊、由整体到局部的推理方法…如：由“天鹅都是白色的”这个一般命题（整体命题），推出“湖里的天鹅是白色的”这个特殊命题（局部命题），就是演绎推理…
“回顾在此以前的各种数学，无非都是算，也就是提供算法…即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。例如，泰勒斯预测日食、利用影子计算金字塔高、测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范畴（chóu）…”荟文苑继续说。
““至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机，也就继续走着以算为主，以用为主的道路…”荟文苑最后说，“而由于第一次数学危机的发生和解决，希腊数学则走上完全不同的发展道路，形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系…”
请看下集《欧几里得75、第一次数据危机后，古希腊数学突飞猛进，中国数学原地踏步…》”
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欧几里得75、第一次数据危机后，古希腊数学突飞猛进，中国数学原地踏步…
“回顾在此以前的各种数学，无非都是算，也就是提供算法…即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。例如，泰勒斯预测日食、利用影子计算金字塔高、测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范畴（chóu）…”荟（huì）文苑（yuàn）继续说。
…泰勒斯：见《欧几里得15》…
…畴：1.田地：田～。平～千里。2.种类；类别：范～…
…范畴：类型；范围…
…荟文苑：某老师在网上的名字，见《欧几里得13》…
“至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机，也就继续走着以算为主，以用为主的道路…”荟文苑最后说，“而由于第一次数学危机的发生和解决，希腊数学则走上完全不同的发展道路，形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，为世界数学作出了杰出贡献…”
…逻辑：规律…
“可以说，第一次数学危机是欧洲科学脱颖而出的契机…从这个时候起，欧洲科学开始领先世界…”人类学家说。
…
“但是，自此以后希腊人把几何看成了全部数学的基础，把数的研究隶属于形的研究，割裂了它们之间的密切关系…这样做的最大不幸是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，基本理论十分薄溺…这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年…”荟文苑最后说。
“…这次危机的影响是很大的：算术基础动摇了；几何的地位上升了…”荟文苑说，“一方面，根2（根号2；√2）的发现促进人们去认识和理解无理数，另一方面，导致了公理几何和古典逻辑的诞生，并最终导致了近代科学的诞生…”
…逻辑：规律…
“一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。但第一次数学危机的最后消除还要归功于19世纪戴德金实数理论的建立…”荟文苑接着说。
…第一次数学危机的最后消除：见《欧几里得30》…
…戴德金：见《欧几里得25》…
…实数：见《欧几里得21》…
“在实数理论中，无理数可以定义为有理数的极限，而且所有实数填满了直线，直线上再没有空隙…这又恢复了毕达哥拉斯学派的‘万物皆数’的思想…”荟文苑继续说。
…所有实数填满了直线：详见《欧几里得21》…
“…顺便说一下，有理数和无理数中的‘理’并不是指‘有道理’或‘讲道理’的意思…这两个词的出现是翻译的问题…在英文中有理数和无理数分别是rational bumble和irrational numble，而rational是一个多义词，含有‘有理的’、‘比的’两种意思…rational numble本意是指‘可比数’，即可以写成两个整数的比的数…”荟文苑最后说。
…rational：英语，意思是“合理的；理性的；明智的；理智的；清醒的”…
…numble：英语，意思是“数字”…
…irrational：英语，意思是“不合逻辑的；没有道理的”…
““每一次危机都是进步，数学如此，人类如此！”学霸数学说。
请看下集《欧几里得76、平凡之人；√２与第一次数学危机；希帕索斯的疑问》”
5
“回顾在此以前的各种数学，无非都是算，也就是提供算法…即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。例如，泰勒斯预测日食、利用影子计算金字塔高、测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范畴（chóu）…”荟（huì）文苑（yuàn）继续说。
…泰勒斯：见《欧几里得15》…
…畴：1.田地：田～。平～千里。2.种类；类别：范～…
…范畴：类型；范围…
…荟文苑：某老师在网上的名字，见《欧几里得13》…
“至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机，也就继续走着以算为主，以用为主的道路…”荟文苑最后说，“而由于第一次数学危机的发生和解决，希腊数学则走上完全不同的发展道路，形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，为世界数学作出了杰出贡献…”
…逻辑：规律…
“可以说，第一次数学危机是欧洲科学脱颖而出的契机…从这个时候起，欧洲科学开始领先世界…”人类学家说。
…
“但是，自此以后希腊人把几何看成了全部数学的基础，把数的研究隶属于形的研究，割裂了它们之间的密切关系…这样做的最大不幸是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，基本理论十分薄溺…这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年…”荟文苑最后说。
“…这次危机的影响是很大的：算术基础动摇了；几何的地位上升了…”荟文苑说，“一方面，根2（根号2；√2）的发现促进人们去认识和理解无理数，另一方面，导致了公理几何和古典逻辑的诞生，并最终导致了近代科学的诞生…”
…逻辑：规律…
“一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。但第一次数学危机的最后消除还要归功于19世纪戴德金实数理论的建立…”荟文苑接着说。
…第一次数学危机的最后消除：见《欧几里得30》…
…戴德金：见《欧几里得25》…
…实数：见《欧几里得21》…
“在实数理论中，无理数可以定义为有理数的极限，而且所有实数填满了直线，直线上再没有空隙…这又恢复了毕达哥拉斯学派的‘万物皆数’的思想…”荟文苑继续说。
…所有实数填满了直线：详见《欧几里得21》…
“…顺便说一下，有理数和无理数中的‘理’并不是指‘有道理’或‘讲道理’的意思…这两个词的出现是翻译的问题…在英文中有理数和无理数分别是rational bumble和irrational numble，而rational是一个多义词，含有‘有理的’、‘比的’两种意思…rational numble本意是指‘可比数’，即可以写成两个整数的比的数…”荟文苑最后说。
…rational：英语，意思是“合理的；理性的；明智的；理智的；清醒的”…
…numble：英语，意思是“数字”…
…irrational：英语，意思是“不合逻辑的；没有道理的”…
““每一次危机都是进步，数学如此，人类如此！”学霸数学说。
请看下集《欧几里得76、平凡之人；√２与第一次数学危机；希帕索斯的疑问》”
5
欧几里得76、平凡之人；√２与第一次数学危机；希帕索斯的疑问
“在东方，最早把rational numble翻译过来的是一个日本人。可能那个日本人的英语不好，数学又不精通，就把它翻译成‘有理数’。而中国当时是从日本那里接触西方文化的，日本字又与汉字形似，于是中国人把这三个字照搬过来…现在形成习惯，已经积重难返了…”荟（huì）文苑（yuàn）说。
…荟文苑：某老师在网上的名字，见《欧几里得13》…
“荟文苑老师的见解（见前文）…即便在中国学术界，也是出类拔萃的…”现代学者说。
“荟文苑老师的资料很少…她网上名片上只有一句话：平凡之人…”现代学者接着说。
…
网友“学霸数学”针对第一次数学危机，写了篇名为《√２与第一次数学危机》的文章…
“每一次危机都是进步，数学如此，人类如此！”学霸数学说。
“啥，数学发展史上还有危机？什么危机，难道是没有人学数学了？当然不是，而是数学发展在当时遇到了挑战，当时人们的认知水平没有达到…由此产生的冲击，”学霸数学接着说。
…认知：通过思维活动认识、了解…
…认知水平：人对外界事物认识、判断、评价的能力…认知水平的高低与实践经验、知识水平、思维能力、信息储量等因素有关，是影响人们思想形成的主观因素之一…
…主观：指属于人的意识、精神方面的东西。与“客观”相对…
“了解危机之前我们先了解一下当时的背景：公元前500年左右，兴旺于古希腊的毕达哥拉斯学派…”学霸数学继续说，“毕达哥拉斯学派认为：万物皆数（整数）；数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界；数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验；一切数均可表示成整数或整数之比…”
“这些是这一学派的数学信仰…”学霸数学最后说。
…信仰：1.对某人或某种主张、主义、宗教极度相信和尊敬，拿来作为自己行动的榜样或指南：宗教～（百度汉语）。2.人瞬间的想法叫思想，人坚持很长时间的想法叫信仰。一个人的想法叫思想，一群人的想法叫信仰（《自然科学价值观》）…
“然而有一天，本学派的希帕索斯产生一个疑问：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？…”学霸数学说，“他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示…”
…希帕索斯及其疑问：见《欧几里得12》…
“希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√２的诞生…小小的√２，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴：它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌…”学霸数学接着说。
“实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击…对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击…”学霸数学继续说，“这一结论的悖（bèi）论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数…”
““这在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称‘第一次数学危机’…” 学霸数学说，“希帕索斯正是因为这一数学发现，而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以‘淹死’的惩罚…”
请看下集《欧几里得77、√２的存在把人们以前所知道的事情的根本给推翻了》”
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“在东方，最早把rational numble翻译过来的是一个日本人。可能那个日本人的英语不好，数学又不精通，就把它翻译成‘有理数’。而中国当时是从日本那里接触西方文化的，日本字又与汉字形似，于是中国人把这三个字照搬过来…现在形成习惯，已经积重难返了…”荟（huì）文苑（yuàn）说。
…荟文苑：某老师在网上的名字，见《欧几里得13》…
“荟文苑老师的见解（见前文）…即便在中国学术界，也是出类拔萃的…”现代学者说。
“荟文苑老师的资料很少…她网上名片上只有一句话：平凡之人…”现代学者接着说。
…
网友“学霸数学”针对第一次数学危机，写了篇名为《√２与第一次数学危机》的文章…
“每一次危机都是进步，数学如此，人类如此！”学霸数学说。
“啥，数学发展史上还有危机？什么危机，难道是没有人学数学了？当然不是，而是数学发展在当时遇到了挑战，当时人们的认知水平没有达到…由此产生的冲击，”学霸数学接着说。
…认知：通过思维活动认识、了解…
…认知水平：人对外界事物认识、判断、评价的能力…认知水平的高低与实践经验、知识水平、思维能力、信息储量等因素有关，是影响人们思想形成的主观因素之一…
…主观：指属于人的意识、精神方面的东西。与“客观”相对…
“了解危机之前我们先了解一下当时的背景：公元前500年左右，兴旺于古希腊的毕达哥拉斯学派…”学霸数学继续说，“毕达哥拉斯学派认为：万物皆数（整数）；数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界；数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验；一切数均可表示成整数或整数之比…”
“这些是这一学派的数学信仰…”学霸数学最后说。
…信仰：1.对某人或某种主张、主义、宗教极度相信和尊敬，拿来作为自己行动的榜样或指南：宗教～（百度汉语）。2.人瞬间的想法叫思想，人坚持很长时间的想法叫信仰。一个人的想法叫思想，一群人的想法叫信仰（《自然科学价值观》）…
“然而有一天，本学派的希帕索斯产生一个疑问：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？…”学霸数学说，“他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示…”
…希帕索斯及其疑问：见《欧几里得12》…
“希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√２的诞生…小小的√２，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴：它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌…”学霸数学接着说。
“实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击…对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击…”学霸数学继续说，“这一结论的悖（bèi）论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数…”
““这在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称‘第一次数学危机’…” 学霸数学说，“希帕索斯正是因为这一数学发现，而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以‘淹死’的惩罚…”
请看下集《欧几里得77、√２的存在把人们以前所知道的事情的根本给推翻了》”
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欧几里得77、√２的存在把人们以前所知道的事情的根本给推翻了
“实际上，这一伟大发现（边长为1的正方形其对角线长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示）不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击…对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击…”学霸数学继续说，“这一结论的悖（bèi）论性表现在它与常识的冲突上…”
…常识：即普通知识。一个生活在社会中的心智健全的成年人所应该具备的基本知识，包括生存技能（生活自理能力）、基本劳作技能、基础的自然科学以及人文社会科学知识等…这里指古希腊人的常识…
…古希腊人的常识…之一：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数…
…学霸数学：网友网名，见《欧几里得76》…
…悖：1.相反；违反：并行不～。2.违背道理；错误：～谬…
…悖论：逻辑学指可以同时推导或证明两个互相矛盾的命题的命题或理论体系…
“‘任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数’，这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！”学霸数学最后说。
…信仰：见《欧几里得76》…
“可是，为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断，居然因小小的√２的存在而被推翻了！”学霸数学说，“这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！…它简直把人们以前所知道的事情的根本给推翻了…更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法…”
“这在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称‘第一次数学危机’…” 学霸数学接着说，“希帕索斯正是因为这一数学发现，而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以‘淹死’的惩罚…”
“约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯解决了关于无理数的问题（见《欧几里得19》）…他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，微妙地处理了可公度和不可公度…”学霸数学继续说，“他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释（见《欧几里得24~38》）基本一致…”
…公度和公约：对于两条线段a，b，总能找到第三条线段c，使得这两条线段都可以分成c的整数倍，这时我们就说，c是a、b的度量单位，并说a、b是可公约的或可公度的…
“21世纪后的中国中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微炒之处…”学霸数学最后说。
…相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形…
…通约：通分，约分，简称“通约”…
…不可通约量：不能通分或约分的量（即不能化为分数的数）…
““毕达哥拉斯学派倡导的是一种被称为‘唯数论’的观点…他们认为宇宙的本质是数的和谐…”大颖子接着说，“他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数——两个整数的比）， 除此之外不再有别的数…即是说世界上只有整数或分数。”
请看下集《欧几里得78、通分，约分，分数的基本性质；东西方研究无理数的差异…》”
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“实际上，这一伟大发现（边长为1的正方形其对角线长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示）不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击…对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击…”学霸数学继续说，“这一结论的悖（bèi）论性表现在它与常识的冲突上…”
…常识：即普通知识。一个生活在社会中的心智健全的成年人所应该具备的基本知识，包括生存技能（生活自理能力）、基本劳作技能、基础的自然科学以及人文社会科学知识等…这里指古希腊人的常识…
…古希腊人的常识…之一：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数…
…学霸数学：网友网名，见《欧几里得76》…
…悖：1.相反；违反：并行不～。2.违背道理；错误：～谬…
…悖论：逻辑学指可以同时推导或证明两个互相矛盾的命题的命题或理论体系…
“‘任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数’，这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！”学霸数学最后说。
…信仰：见《欧几里得76》…
“可是，为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断，居然因小小的√２的存在而被推翻了！”学霸数学说，“这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！…它简直把人们以前所知道的事情的根本给推翻了…更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法…”
“这在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称‘第一次数学危机’…” 学霸数学接着说，“希帕索斯正是因为这一数学发现，而被毕达哥拉斯学派的人投进了大海，处以‘淹死’的惩罚…”
“约在公元前370年，柏拉图的学生欧多克斯解决了关于无理数的问题（见《欧几里得19》）…他纯粹用公理化方法创立了新的比例理论，微妙地处理了可公度和不可公度…”学霸数学继续说，“他处理不可公度的办法，被欧几里得《几何原本》第二卷（比例论）收录。并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释（见《欧几里得24~38》）基本一致…”
…公度和公约：对于两条线段a，b，总能找到第三条线段c，使得这两条线段都可以分成c的整数倍，这时我们就说，c是a、b的度量单位，并说a、b是可公约的或可公度的…
“21世纪后的中国中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微炒之处…”学霸数学最后说。
…相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形…
…通约：通分，约分，简称“通约”…
…不可通约量：不能通分或约分的量（即不能化为分数的数）…
““毕达哥拉斯学派倡导的是一种被称为‘唯数论’的观点…他们认为宇宙的本质是数的和谐…”大颖子接着说，“他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数——两个整数的比）， 除此之外不再有别的数…即是说世界上只有整数或分数。”
请看下集《欧几里得78、通分，约分，分数的基本性质；东西方研究无理数的差异…》”
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欧几里得78、通分，约分，分数的基本性质；东西方研究无理数的差异…
…通分：根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母分数的过程，叫做通分（百度百科）；把几个分母不同的分数化成分母相同而数值不变的分数。通分后的相同分母叫做公分母，通常用各分数分母的最小公倍数作为公分母。如1/2和1/3通分后得3/6和2/6（百度汉语）…
…约分：把分数化成最简分数的过程叫约分（百度百科）；用分子和分母的公约数同时除分子和分母，使分子、分母都比原来小而分数值不变。如16/64约分成1/4（百度汉语）…
“约分是把一个分数的分子、分母同时除以公约数，分数的值不变…约分的依据是分数的基本性质…”现代百姓说。
…分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变…
“约分时，如果能很快看出分子和分母的最大公约数…直接用它们的最大公约数去除比较简便…”现代百姓接着说。
…
第一次数学危机：是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊。自根号2的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志…这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。
“据史籍记载，古代的希腊和中国，很早就发现了无理数。然而东西方却通过不同的途径来认识和发展无理数的理论…”现代学者说，“希腊人着眼于几何量的长度关系，从线段不可公度的几何角度入手，用逻辑方法进行探讨；中国人着重满足实际应用的数的运算，从开方不尽的计算过程入手，通过计算方式来认识并建立其法则…”
…
“公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理…”网友“大颖（yǐng）子”说。
…颖：1.稻、麦等禾谷子实带芒的外壳。2.锥子杆儿前端固定针的金属环。也指某些小而细长东西的尖端：脱～而出。3.聪明：～悟…
“毕达哥拉斯学派倡导的是一种被称为‘唯数论’的观点…他们认为宇宙的本质是数的和谐…”大颖子接着说，“他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数——两个整数的比）， 除此之外不再有别的数…即是说世界上只有整数或分数。”
…数的和谐：见《欧几里得16》…
…即：就着（当前环境）：～景…
…即是：就是…
…即是说：就是说…
“毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理，也就是我们所说的勾股定理…”大颖子继续说，“勾股定理指出，直角三角形三边应有如下关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方…”
“然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯（通常译为希帕索斯）发现了这个论断的问题…”大颖子最后说。
“历史上，人们对“证明根号2是无理数”很感兴趣（就像人们对证明勾股定理很感兴趣一样）…“根号2是无理数”的证明方法层不出穷…以下是常见的几种：
请看下集《欧几里得79、普通人也会的高等数学：用奇数偶数，推出毕达哥拉斯悖论》”
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…通分：根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母分数的过程，叫做通分（百度百科）；把几个分母不同的分数化成分母相同而数值不变的分数。通分后的相同分母叫做公分母，通常用各分数分母的最小公倍数作为公分母。如1/2和1/3通分后得3/6和2/6（百度汉语）…
…约分：把分数化成最简分数的过程叫约分（百度百科）；用分子和分母的公约数同时除分子和分母，使分子、分母都比原来小而分数值不变。如16/64约分成1/4（百度汉语）…
“约分是把一个分数的分子、分母同时除以公约数，分数的值不变…约分的依据是分数的基本性质…”现代百姓说。
…分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变…
“约分时，如果能很快看出分子和分母的最大公约数…直接用它们的最大公约数去除比较简便…”现代百姓接着说。
…
第一次数学危机：是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊。自根号2的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志…这次危机的出现冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。
“据史籍记载，古代的希腊和中国，很早就发现了无理数。然而东西方却通过不同的途径来认识和发展无理数的理论…”现代学者说，“希腊人着眼于几何量的长度关系，从线段不可公度的几何角度入手，用逻辑方法进行探讨；中国人着重满足实际应用的数的运算，从开方不尽的计算过程入手，通过计算方式来认识并建立其法则…”
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“公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理…”网友“大颖（yǐng）子”说。
…颖：1.稻、麦等禾谷子实带芒的外壳。2.锥子杆儿前端固定针的金属环。也指某些小而细长东西的尖端：脱～而出。3.聪明：～悟…
“毕达哥拉斯学派倡导的是一种被称为‘唯数论’的观点…他们认为宇宙的本质是数的和谐…”大颖子接着说，“他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数——两个整数的比）， 除此之外不再有别的数…即是说世界上只有整数或分数。”
…数的和谐：见《欧几里得16》…
…即：就着（当前环境）：～景…
…即是：就是…
…即是说：就是说…
“毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理，也就是我们所说的勾股定理…”大颖子继续说，“勾股定理指出，直角三角形三边应有如下关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方…”
“然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯（通常译为希帕索斯）发现了这个论断的问题…”大颖子最后说。
“历史上，人们对“证明根号2是无理数”很感兴趣（就像人们对证明勾股定理很感兴趣一样）…“根号2是无理数”的证明方法层不出穷…以下是常见的几种：
请看下集《欧几里得79、普通人也会的高等数学：用奇数偶数，推出毕达哥拉斯悖论》”
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