关于宋朝数学
n—1层立方体的三倍体积
3∑（n-1）²=（n-1）²n+n（n-1）/2，
黄色四棱锥体积的3倍为（n-1）n，
故单倍立方体减四棱锥为（n—1）n/6
对原图形来说，
n-1=下底-上底；
n=高
嘛，把这一部分补全，就得到了整体的公式：
1/6{[（上长x2+下长）x上宽+（下长x2+上长）x下宽x高+（下长-上长）x高]}
长宽相等，即边长
3∑（n-1）²=（n-1）²n+n（n-1）/2，
黄色四棱锥体积的3倍为（n-1）n，
故单倍立方体减四棱锥为（n—1）n/6
对原图形来说，
n-1=下底-上底；
n=高
嘛，把这一部分补全，就得到了整体的公式：
1/6{[（上长x2+下长）x上宽+（下长x2+上长）x下宽x高+（下长-上长）x高]}
长宽相等，即边长
看着很像原方法的步骤， 唯一问题是，原方法压根没提这个平方和公式怎么得到的，因此三个叠加只是一种猜测。
如果他有这个平方和公式，为什么就想不到两个平方和相减， 或许是因为没有代数思想，只局限于图形罢？
如果他有这个平方和公式，为什么就想不到两个平方和相减， 或许是因为没有代数思想，只局限于图形罢？
四棱台的体积公式
现代：abn+(A-a)bn+(B-b)an+4/3x(A-a)(B-b)n
古代：1/6{[（2a+A）a+（2A+a）A]xn}
————————————————
古代数学名词：
广：宽
袤：长
阳马：四棱锥（尤指直角）
堑堵：三棱柱（尤指直角）（在《梦溪笔谈》里是指梯形截面的柱体，此处不取）
刍童：四棱台（尤指上下底面中心连线垂直于两底面的）
——————————
刍童的计算，早在汉代《九章算术》就已经有了，但并未描述其形状。查《梦溪笔谈》可知：“有刍童，谓如覆斗者，四面皆杀。”就是说，像倒过来的斗，四面都是斜的。
两书的计算方式一致，分别为：
其法倍上长加入下长，以上广乘之；倍下长加入上长，以下广乘之；并二位，以高乘之，六而一。（《梦溪笔谈》）
倍上袤，下袤从之；亦倍下袤，上袤从之；各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一。（《九章算术》）
其公式均指向：1/6[（2x上长+下长）上宽+（2x下长+上长）下宽]x高
现代算法的基本思路是，可将四棱台切成1个长方体，四个三棱柱，四个四棱锥。计算步骤较多，但其实古代这一简洁的刍童算法公式，遵循了相同的的基本思路。
其做法原理是先观察底面积：
以上是将（2x上长+下长）上宽+（2x下长+上长）下宽以图形太来表示。设底面长A宽B，顶面长a宽b。
红色为长方体底面；蓝色和绿色为三棱柱的底面；黄色为四棱锥底面。
其中蓝绿黄同一颜色在下底面上的分布，是可以随着红色长方形位置变化而变化的，但同色面积总和不变。
axb 为中心长方体底面积，
AxB包含了一个这样的长方体，四个锥形底面积，一对短边上的三棱柱和一对长边上的三棱柱底面积，
Axb包括了一个长方体，一对短边上的三棱柱
axB包括了一个长方体，一对长边上的三棱柱。
故整个底面积计算里，长方体算了六次，长边上的三棱柱算了六次，短边上的三棱柱算了六次，锥形算了八次。
又，底面积乘高锥体的三倍，三棱柱的两倍。
1/6x6x三棱柱底面积x高即两个三棱柱体积；
1/6x8x四棱锥底面积x高即四个四棱锥体积。
将以上加起来除以六即 长方体体积+2短边三棱柱体积+2长编三棱柱体积+4锥形体积。
虽然是十分朴素的思想，但此算法经整合后的公式，却比现代数学口算更便捷。
《九章算术》原文例题：
此术假令刍童上广一尺，袤二尺；下广三尺，袤四尺；高一尺。其用棋也，中央立方二，四面堑堵六，四角阳马四。
倍下袤为八，上袤从之，为十，以高、广乘之，得积三十尺。是为得中央立方各三，两端堑堵各四，两旁堑堵各六，四角阳马亦各六。
复倍上袤，下袤从之，为八，以高、广乘之，得积八尺。是为得中央立方亦各三，两端堑堵各二。
并两旁，三品棋皆一而为六。故六而一，即得
现代：abn+(A-a)bn+(B-b)an+4/3x(A-a)(B-b)n
古代：1/6{[（2a+A）a+（2A+a）A]xn}
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古代数学名词：
广：宽
袤：长
阳马：四棱锥（尤指直角）
堑堵：三棱柱（尤指直角）（在《梦溪笔谈》里是指梯形截面的柱体，此处不取）
刍童：四棱台（尤指上下底面中心连线垂直于两底面的）
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刍童的计算，早在汉代《九章算术》就已经有了，但并未描述其形状。查《梦溪笔谈》可知：“有刍童，谓如覆斗者，四面皆杀。”就是说，像倒过来的斗，四面都是斜的。
两书的计算方式一致，分别为：
其法倍上长加入下长，以上广乘之；倍下长加入上长，以下广乘之；并二位，以高乘之，六而一。（《梦溪笔谈》）
倍上袤，下袤从之；亦倍下袤，上袤从之；各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一。（《九章算术》）
其公式均指向：1/6[（2x上长+下长）上宽+（2x下长+上长）下宽]x高
现代算法的基本思路是，可将四棱台切成1个长方体，四个三棱柱，四个四棱锥。计算步骤较多，但其实古代这一简洁的刍童算法公式，遵循了相同的的基本思路。
其做法原理是先观察底面积：
以上是将（2x上长+下长）上宽+（2x下长+上长）下宽以图形太来表示。设底面长A宽B，顶面长a宽b。
红色为长方体底面；蓝色和绿色为三棱柱的底面；黄色为四棱锥底面。
其中蓝绿黄同一颜色在下底面上的分布，是可以随着红色长方形位置变化而变化的，但同色面积总和不变。
axb 为中心长方体底面积，
AxB包含了一个这样的长方体，四个锥形底面积，一对短边上的三棱柱和一对长边上的三棱柱底面积，
Axb包括了一个长方体，一对短边上的三棱柱
axB包括了一个长方体，一对长边上的三棱柱。
故整个底面积计算里，长方体算了六次，长边上的三棱柱算了六次，短边上的三棱柱算了六次，锥形算了八次。
又，底面积乘高锥体的三倍，三棱柱的两倍。
1/6x6x三棱柱底面积x高即两个三棱柱体积；
1/6x8x四棱锥底面积x高即四个四棱锥体积。
将以上加起来除以六即 长方体体积+2短边三棱柱体积+2长编三棱柱体积+4锥形体积。
虽然是十分朴素的思想，但此算法经整合后的公式，却比现代数学口算更便捷。
《九章算术》原文例题：
此术假令刍童上广一尺，袤二尺；下广三尺，袤四尺；高一尺。其用棋也，中央立方二，四面堑堵六，四角阳马四。
倍下袤为八，上袤从之，为十，以高、广乘之，得积三十尺。是为得中央立方各三，两端堑堵各四，两旁堑堵各六，四角阳马亦各六。
复倍上袤，下袤从之，为八，以高、广乘之，得积八尺。是为得中央立方亦各三，两端堑堵各二。
并两旁，三品棋皆一而为六。故六而一，即得
小立方体堆积（隙积），平方和公式
a²+……+A²的平方和公式
现代：1/3A（A+1）（A+1/2）-1/3a（a-1）（a/2）
古代：1/6{[（2a+A）a+（2A+a）A]xn+（A-a）xn}
这一现代公式并非高中所常见，对于高中生来说，可能会束手无策，若要求隙积图形体积，则可能用诸平方挨个累加。
————————————————
在上一篇中，我介绍了古代刍童的计算。这一算法从汉代开始，到宋代并未有所改进，但沈括却在此基础上发明了隙积算法。其本质是从某一正整数的平方开始开始的平方和公式。
沈括指出，前人已作出了多种形状的体积计算公式，但尚未有隙积之术。所谓隙积，就是由若干个小立方体加成的堆。每一层的长宽均一致，比上一层要增加一个单位。这一形状类似于四棱台，但若以四棱台求其体积，就会缺失一部分。
“隙积者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及酒家积罂之类。虽似覆斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。”
由于将每个立方体的长度作为一个单位，则体积的数字就是立方体的数目。立方体的数目即
a²+……+A²
其中a为上层的边长，A为底层的边长，层数n=（A-a+1）
他求这一形状的体积公式是：1/6{[（2a+A）a+（2A+a）A]xn+（A-a）xn}，不难发现就是在四棱台的公式上补了一项。
这也可以作为a²+……+A²的平方和公式。
现代数学的1²+……+n²平方和公式为：1/3n（n+1）（n+1/2），因为此时并没有公式作为倒推的猜想，不能使用数学归纳法，若想用代数推导出，如观察三次方相减、待定因式等证明方法，将十分复杂，因此沈括是几乎不可能通过代数方式求得该公式的。
但值得说明的是，由于沈括将他的推导过程写出，其做法只能通过一些痕迹去推断。由于他专注于图形，很可能并没意识到自己是平方和公式，且可能已掌握从1²开始的平方和算法。
这么说的原因有二：
在现代公式的基础上，若要求a²+……+A²，显然只需求两次累加并相减即可，∑A²—∑（a—1）²，并不需要另一个专门的公式，但是他却计不出此，将原图形转换成四棱台后补足缺失部分。
况且，即使这样转换，并不能规避求1²到（n—1）²数列的求和，因此我认为他手上已有1²开始的平方和算法。
但即使如此，他也确实掌握了平方和的算法————尽管他可能仍然只看到了图形，未归纳为平方和公式。
下面我试图顺着他的思路给大家解释下他可能的做法。
无论立方体如何摆布，数量一致时，体积就是一致的，因此可以将每一层的正方形的一角重合与其他层，如图所示：
a²+……+A²的平方和公式
现代：1/3A（A+1）（A+1/2）-1/3a（a-1）（a/2）
古代：1/6{[（2a+A）a+（2A+a）A]xn+（A-a）xn}
这一现代公式并非高中所常见，对于高中生来说，可能会束手无策，若要求隙积图形体积，则可能用诸平方挨个累加。
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在上一篇中，我介绍了古代刍童的计算。这一算法从汉代开始，到宋代并未有所改进，但沈括却在此基础上发明了隙积算法。其本质是从某一正整数的平方开始开始的平方和公式。
沈括指出，前人已作出了多种形状的体积计算公式，但尚未有隙积之术。所谓隙积，就是由若干个小立方体加成的堆。每一层的长宽均一致，比上一层要增加一个单位。这一形状类似于四棱台，但若以四棱台求其体积，就会缺失一部分。
“隙积者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及酒家积罂之类。虽似覆斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。”
由于将每个立方体的长度作为一个单位，则体积的数字就是立方体的数目。立方体的数目即
a²+……+A²
其中a为上层的边长，A为底层的边长，层数n=（A-a+1）
他求这一形状的体积公式是：1/6{[（2a+A）a+（2A+a）A]xn+（A-a）xn}，不难发现就是在四棱台的公式上补了一项。
这也可以作为a²+……+A²的平方和公式。
现代数学的1²+……+n²平方和公式为：1/3n（n+1）（n+1/2），因为此时并没有公式作为倒推的猜想，不能使用数学归纳法，若想用代数推导出，如观察三次方相减、待定因式等证明方法，将十分复杂，因此沈括是几乎不可能通过代数方式求得该公式的。
但值得说明的是，由于沈括将他的推导过程写出，其做法只能通过一些痕迹去推断。由于他专注于图形，很可能并没意识到自己是平方和公式，且可能已掌握从1²开始的平方和算法。
这么说的原因有二：
在现代公式的基础上，若要求a²+……+A²，显然只需求两次累加并相减即可，∑A²—∑（a—1）²，并不需要另一个专门的公式，但是他却计不出此，将原图形转换成四棱台后补足缺失部分。
况且，即使这样转换，并不能规避求1²到（n—1）²数列的求和，因此我认为他手上已有1²开始的平方和算法。
但即使如此，他也确实掌握了平方和的算法————尽管他可能仍然只看到了图形，未归纳为平方和公式。
下面我试图顺着他的思路给大家解释下他可能的做法。
无论立方体如何摆布，数量一致时，体积就是一致的，因此可以将每一层的正方形的一角重合与其他层，如图所示：
之后这个图形可以分成三种四部分，以类比四棱台。
台柱的顶面边长、底面边长、高均与原图形一致。注意这四部分，颜色的对应
显而易见两个红色长方体的体积都是a²·n，相等。
类比图形第二部分为三棱柱， 因为有n层，所以高为n，底边为n—1，
不难求出，两个三棱柱的底面积均为：0.5（n—1）n ；
而原图形的方块累积的截面，为阶梯形，高度是一个数列1，2，3，...，n，
每段宽度1，故截面积亦为0.5（n-1）n，
厚度与三棱柱相同均为顶面边长，因此这两部分的体积亦相等。
原图形剩下的部分是一个小一项的平方和，
从1开始，项数少一项，1²+2²+……+（n—1）²，这就与原图形的四棱锥不一样了。沈括在四棱台公式上填补的一项，正是补足两者之差。
但这一过程中， 平方和的问题并没有被规避，亦没有被求证。
也就是说，如果原本顶面是1x1，以上所有过程，都是白费劲。这些工作的实质，是以图形方式，在不用两个平方和相减的情况下，算首项不是1的平方数列和。
既然他能作出两者之差，很可能他已有从1²开始的平方算法， 但是想不到相减，于是搞出了这一套，并代入了公式。
前文说过，1²开始的平方和，用代数推导相当复杂。那么，有没有简单的、图形辅助方法呢？
既然沈括留意到这一图形和直角四棱锥相似，那么对他来说，是有可能想到用三个从1x1开始的n层的堆积图形相合的。
台柱的顶面边长、底面边长、高均与原图形一致。注意这四部分，颜色的对应
显而易见两个红色长方体的体积都是a²·n，相等。
类比图形第二部分为三棱柱， 因为有n层，所以高为n，底边为n—1，
不难求出，两个三棱柱的底面积均为：0.5（n—1）n ；
而原图形的方块累积的截面，为阶梯形，高度是一个数列1，2，3，...，n，
每段宽度1，故截面积亦为0.5（n-1）n，
厚度与三棱柱相同均为顶面边长，因此这两部分的体积亦相等。
原图形剩下的部分是一个小一项的平方和，
从1开始，项数少一项，1²+2²+……+（n—1）²，这就与原图形的四棱锥不一样了。沈括在四棱台公式上填补的一项，正是补足两者之差。
但这一过程中， 平方和的问题并没有被规避，亦没有被求证。
也就是说，如果原本顶面是1x1，以上所有过程，都是白费劲。这些工作的实质，是以图形方式，在不用两个平方和相减的情况下，算首项不是1的平方数列和。
既然他能作出两者之差，很可能他已有从1²开始的平方算法， 但是想不到相减，于是搞出了这一套，并代入了公式。
前文说过，1²开始的平方和，用代数推导相当复杂。那么，有没有简单的、图形辅助方法呢？
既然沈括留意到这一图形和直角四棱锥相似，那么对他来说，是有可能想到用三个从1x1开始的n层的堆积图形相合的。
拼出来的是n²（n+1）+（n+1）n/2，或可写成n（n+1）（n+1/2）
减少一层：
3∑（n-1）²=（n-1）?n+n（n-1）/2
n—1层立方体的三倍体积
3∑（n-1）²=（n-1）²n+n（n-1）/2，
黄色四棱锥体积的3倍为（n-1）n，
故单倍立方体减四棱锥为（n—1）n/6
对原图形来说，
n-1=A-a；
把这一部分补全，就得到了整体的公式：
1/6{[（2a+A）a+（2A+a）A]xn+（A-a）xn}
因为原方法压根没提从1²开始的平方和公式怎么得到的，因此三个叠加只是一种猜测。如果他有这个平方和公式，为什么就想不到两个平方和相减， 或许是因为过度局限于图形罢？