关于宋朝数学
有刍童，谓如覆斗者，四面皆杀。其法倍上长加入下长，以上广乘之；倍下长加入上长，以下广乘之；并二位，以高乘之，六而一。
这是梦溪笔谈中记载的关于“刍童”的体积算法。刍童是甚么呢？沈括解释是像倒过来的斗，四面都是斜的。
这是梦溪笔谈中记载的关于“刍童”的体积算法。刍童是甚么呢？沈括解释是像倒过来的斗，四面都是斜的。
沈括说法来自于东汉就有的《九章算术》，是一个非常古老、传统的算法。当然，在此我先放一个结论：这个算法仅针对某种特定形状是准确的，该结论并不能推广到“如覆斗者，四面皆杀”的形状中。
经过了千年，这一体积算法，并未得到进步。
经过了千年，这一体积算法，并未得到进步。
所以来看下九章算术里是怎么解释的吧：
此术假令刍童上广一尺，袤二尺；下广三尺，袤四尺；高一尺。其用棋也，中央立方二，四面堑堵六，四角阳马四。
——————————
其先假设上宽1，长2，下宽3，长4，高1.（单位均为尺）
这一形状切开，中间以上顶面为底面的长方体体积为2，
四面的三角形为地位的柱体（此时是躺下来的），体积为0.5（2x1x2）+0.5（2x1x1）=3
（九章暂记作6个单位）
四个角的锥型体积为1/3x2x2=4/3（九章暂记作4个单位）
共计19/3。
——————————————————————————————
九章的公式法：
倍下袤为八，上袤从之，为十，以高、广乘之，得积三十尺。是为得中央立方各三，两端堑堵各四，两旁堑堵各六，四角阳马亦各六。
复倍上袤，下袤从之，为八，以高、广乘之，得积八尺。是为得中央立方亦各三，两端堑堵各二。
并两旁，三品棋皆一而为六。故六而一，即得。
为术又可令上下广袤差相乘，以高乘之，三而一，亦四阳马；上下广袤互相乘，并，而半之，以高乘之，即四面六堑堵与二立方；并之，为刍童积。
又可令上下广袤互相乘而半之，上下广袤又各自乘，并，以高乘之，三而一，即得也。
————————————
（2倍的下长+上长）x高x下宽
（2x4+2）x1x3=30
（2倍的上长+下长）x高x上宽
（2x2+4）x1x1=8
相加除以六得19/3，相合
此术假令刍童上广一尺，袤二尺；下广三尺，袤四尺；高一尺。其用棋也，中央立方二，四面堑堵六，四角阳马四。
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其先假设上宽1，长2，下宽3，长4，高1.（单位均为尺）
这一形状切开，中间以上顶面为底面的长方体体积为2，
四面的三角形为地位的柱体（此时是躺下来的），体积为0.5（2x1x2）+0.5（2x1x1）=3
（九章暂记作6个单位）
四个角的锥型体积为1/3x2x2=4/3（九章暂记作4个单位）
共计19/3。
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九章的公式法：
倍下袤为八，上袤从之，为十，以高、广乘之，得积三十尺。是为得中央立方各三，两端堑堵各四，两旁堑堵各六，四角阳马亦各六。
复倍上袤，下袤从之，为八，以高、广乘之，得积八尺。是为得中央立方亦各三，两端堑堵各二。
并两旁，三品棋皆一而为六。故六而一，即得。
为术又可令上下广袤差相乘，以高乘之，三而一，亦四阳马；上下广袤互相乘，并，而半之，以高乘之，即四面六堑堵与二立方；并之，为刍童积。
又可令上下广袤互相乘而半之，上下广袤又各自乘，并，以高乘之，三而一，即得也。
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（2倍的下长+上长）x高x下宽
（2x4+2）x1x3=30
（2倍的上长+下长）x高x上宽
（2x2+4）x1x1=8
相加除以六得19/3，相合
这一算法的原理是：
上长x上宽 为中心长方体底面积，
下长x下宽包含了一个这样的长方体，四个锥形底面积，一对短边上的三棱柱和一对长边上的三棱柱底面积，
下长x上宽x高包括了一个长方体，一对短边上的三棱柱
上长x下宽x高包括了一个长方体，一对长边上的三棱柱。
故整个计算里，长方体算了六次，锥形算了八次，长边上的三棱柱算了六次，短边上的三棱柱算了六次。
上长x上宽 为中心长方体底面积，
下长x下宽包含了一个这样的长方体，四个锥形底面积，一对短边上的三棱柱和一对长边上的三棱柱底面积，
下长x上宽x高包括了一个长方体，一对短边上的三棱柱
上长x下宽x高包括了一个长方体，一对长边上的三棱柱。
故整个计算里，长方体算了六次，锥形算了八次，长边上的三棱柱算了六次，短边上的三棱柱算了六次。
隙积者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及酒家积罂之类。虽似覆斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。
余思而得之，用刍童法为上位；下位别列：下广以上广减之，余者以高乘之，六而一，并入上位。
假令积罂：最上行纵横各二罂，最下行各十二罂，行行相次。先以上二行相次，率至十二，当十一行也。
以刍童法求之，倍上行长得四，并入下长得十六，以上广乘之，得之三十二；又倍下行长得二十四，并入上长，得二十六，以下广乘之，得三百一十二；并二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。重列下广十二，以上广减之，余十，以高乘之，得一百一十，并入上位，得三千八百九十四；六而一，得六百四十九，此为罂数也。
余思而得之，用刍童法为上位；下位别列：下广以上广减之，余者以高乘之，六而一，并入上位。
假令积罂：最上行纵横各二罂，最下行各十二罂，行行相次。先以上二行相次，率至十二，当十一行也。
以刍童法求之，倍上行长得四，并入下长得十六，以上广乘之，得之三十二；又倍下行长得二十四，并入上长，得二十六，以下广乘之，得三百一十二；并二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。重列下广十二，以上广减之，余十，以高乘之，得一百一十，并入上位，得三千八百九十四；六而一，得六百四十九，此为罂数也。
沈括指的形状可以看做若干个1x1的小方块叠加成的堆。
第一层2x2，底层12x12，每层差1，共11层，高为11
当成刍童，（上长x2+下长）x上宽=32，（下长x2+上长）x下宽=312
然后相加得344，乘高3784。
接下来，（下长-上长）x高=110，与前数相加再除以六，3894/6=649
————————
…他实际上算的是2^2+3^2+4^2+……11^2，一个求平方和的方法
第一层2x2，底层12x12，每层差1，共11层，高为11
当成刍童，（上长x2+下长）x上宽=32，（下长x2+上长）x下宽=312
然后相加得344，乘高3784。
接下来，（下长-上长）x高=110，与前数相加再除以六，3894/6=649
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…他实际上算的是2^2+3^2+4^2+……11^2，一个求平方和的方法
好了，本人大概清楚了：
沈括可能没意识到自己是平方和公式，但已有从1?开始的平方和算法
原因很简单：
1.他在计算从a?开始到n?的平方和，本可以用两个平方和相减：
∑b?—∑（a—1）?
其中a为顶面边长，b为底面边长，但是他却计不出此，将原图形转换成四棱台后补足缺失部分
2.即使这样转换，并不能规避求1?到（n—1）?数列的求和，因此认为他手上已有1?开始的平方和算法
——————
以上看法有些惊悚，本人也无从严格证实，下面本人试图顺着他的思路给大家解释下他可能的做法，那么为什么我以上这么认为，也就自然地展现给大家了。
沈括可能没意识到自己是平方和公式，但已有从1?开始的平方和算法
原因很简单：
1.他在计算从a?开始到n?的平方和，本可以用两个平方和相减：
∑b?—∑（a—1）?
其中a为顶面边长，b为底面边长，但是他却计不出此，将原图形转换成四棱台后补足缺失部分
2.即使这样转换，并不能规避求1?到（n—1）?数列的求和，因此认为他手上已有1?开始的平方和算法
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以上看法有些惊悚，本人也无从严格证实，下面本人试图顺着他的思路给大家解释下他可能的做法，那么为什么我以上这么认为，也就自然地展现给大家了。
首先，无论立方体如何摆布，数量一致时，体积就是一致的，因此可以将每一层的正方形的一角重合与其他层，如图所示：
之后这个图形可以分成三种四部分，以类比四棱台。
之后这个图形可以分成三种四部分，以类比四棱台。
台柱的顶面边长、底面边长、高均与原图形一致。注意这四部分，颜色的对应
显而易见两个红色长方体的体积都是a?·n，相等。
类比图形第二部分为三棱柱， 因为有n层，所以高为n，底边为n—1，
不难求出，两个三棱柱的底面积均为：0.5（n—1）n ；
而原图形的方块累积的截面，为阶梯形，高度是一个数列1，2，3，...，n，
每段宽度1，故截面积亦为0.5（n-1）n，
厚度与三棱柱相同均为顶面边长，因此这两部分的体积亦相等。
显而易见两个红色长方体的体积都是a?·n，相等。
类比图形第二部分为三棱柱， 因为有n层，所以高为n，底边为n—1，
不难求出，两个三棱柱的底面积均为：0.5（n—1）n ；
而原图形的方块累积的截面，为阶梯形，高度是一个数列1，2，3，...，n，
每段宽度1，故截面积亦为0.5（n-1）n，
厚度与三棱柱相同均为顶面边长，因此这两部分的体积亦相等。
原图形剩下的部分是一个小一项的平方和，
从1开始，项数少一项，1²+2²+……+（n—1）²，这就与原图形的四棱锥不一样了。沈括在四棱台公式上填补的一项，正是补足两者之差。
但这一过程中， 所以平方和的问题并没有被规避，亦没有求证过程。
也就是说，如果原本顶面是1x1，以上所有过程，都是白费劲。这些工作的实质，是以图形方式，在不用两个平方和相减的情况下，算首项不是1的平方数列和。
既然他能作出两者之差，很可能他已有从1²开始的平方算法， 但是想不到相减，于是搞出了这一套，并代入了公式。
从1开始，项数少一项，1²+2²+……+（n—1）²，这就与原图形的四棱锥不一样了。沈括在四棱台公式上填补的一项，正是补足两者之差。
但这一过程中， 所以平方和的问题并没有被规避，亦没有求证过程。
也就是说，如果原本顶面是1x1，以上所有过程，都是白费劲。这些工作的实质，是以图形方式，在不用两个平方和相减的情况下，算首项不是1的平方数列和。
既然他能作出两者之差，很可能他已有从1²开始的平方算法， 但是想不到相减，于是搞出了这一套，并代入了公式。
1?开始的平方和，用代数推导相当复杂。求证若不用数学归纳法（需已知结论），也很麻烦。
那么，有没有简单的、图形辅助方法呢？
既然沈括留意到这一图形和直角四棱锥相似，那么对他来说，是可能想到用三个从1x1开始的n层的堆积图形相合的。
拼出来的是n?（n+1）+（n+1）n/2，
减少一层：
3∑（n-1）?=（n-1）?n+n（n-1）/2
那么，有没有简单的、图形辅助方法呢？
既然沈括留意到这一图形和直角四棱锥相似，那么对他来说，是可能想到用三个从1x1开始的n层的堆积图形相合的。
拼出来的是n?（n+1）+（n+1）n/2，
减少一层：
3∑（n-1）?=（n-1）?n+n（n-1）/2