1971年法国物理学家鲁尔和塔肯斯首先引进了“奇怪吸引子”的概念。“奇怪吸引子”是相对于稳定的不动点、极限环和环面这种平庸吸引子而言的。当系统演化到足够复杂时，就能够进入一种特殊的稳定态——“奇异吸引子”。对于“奇异吸引子”，一切吸引子之外的运动都向它靠拢因而呈现一种稳定的整体序。但同时，一切到达吸引范围内的运动都是初值敏感的和相互排斥的，表现出高度的不稳定性，即系统进入奇异吸引子的部位稍有差异，其状态在相空间的位置和填充过程便截然不同而且永不相交或不可重复。

三、是混沌序：
自从熵的统计解释被引入生命与社会现象之后，有序与无序的讲法日渐频繁。有序被理解为有秩序、有组织，而无序则认为是有序的反面，成了混乱与无组织的代名词；于是有序与无序成了两个绝对排斥的概念。而非平衡非线性混沌既不是简单的无序，也不是通常意义下的有序，科学家建议将其称为“混沌序”。混沌运动是一种典型的非周期运动，即它是对周期运动的否定，是周期性运动的破缺。正如洛仑兹方程表明的，非线性系统在控制参数逐步增大的过程中，不同的有序运动相继破缺，达到一定的阈值，一切周期运动都破缺，系统转化为奇异吸引子上的混沌运动。对称性破缺即意味着有序性的提高，所以混沌运动是一种有序的运动，混沌现象也是一种有序。虽然，混沌现象表面是无序的；但是，混沌区的系统行为并非混乱不堪。例如，从简单的逻辑斯蒂映射可以看出；系统在混沌区的行为在表面无序之下，仍有严格的秩序，存在着精致的有序结构，如倒分叉、周期窗口、周期轨道排序、普适性等等。所以，混沌现象表面上是无序的，但这种无序不是绝对的无序，而是在无序中存在有序。混沌的有序性还体现在自相似结构上。混沌系统中的吸引子不是平庸吸引子，而是奇怪吸引子。奇怪吸引子是相空间的分形几何体，具有层次相似结构。它有些象中国古代的套箱或洋葱头的结构，而且它要求组成套箱或洋葱头的每一部分都具有类似的结构，这样一层层的套下去以致无穷。奇怪吸引子的这种层次自相似结构也是一种典型的有序性。而且，奇怪吸引子的出现，是随着周期性对称性破缺出现的；是一个问题的两面性。

第三部分：混沌的哲学启示！

混沌理论作为一种具有革命性的新的理论，无疑会对整个科学和世界产生深远的影响，并进而给予我们以丰富的启示，引发我们的哲学思考。
一直以来，我们的经典科学被机械唯物所裹挟，成了一个僵死的、被动的世界，其行动就像是一个自动机，一旦给它编好程序，它就按照程序中描述的规则不停地运行下去。完全决定论是这副世界图景的标题，它所使用的中心词语是：平衡、稳定、均匀、线性、周期、可积、可逆、规则、连续、光滑、对称等等。然而随着混沌学的产生和发展，以及自组织理论的产生和发展，整个世界的大图景得到了重新描绘。非平衡、非稳定、非均匀、非线性、非周期、不可积、不可逆、不规则、不连续、不光滑、不对称成了描绘新图景的中心词语。整个世界被描绘成一个确定性和随机性、必然性和偶然性、有序和无序辩证统一的充满活力的新的图景。

以牛顿力学为核心的经典理论，构成了确定论、完全决定论的描述框架，并通过蒸汽时代的发展和工业革命的运用；由此长期控制着人们的思想和行为。然而，混沌理论则犹如一场强烈的地震，极大地破坏了完全决定论的根基。混沌研究表明，一些完全确定性的系统，不外加任何随机因素；虽初始条件是确定的，但系统自身会内在地产生随机行为，而且即使是非常简单的确定性系统，同样具有内在随机性。例如，具有最简单的非线性关系的抛物线函数，可以导致内涵极其丰富的一维映射，可以成为自然界一大类演化现象的数学模型。在简单的确定性系统中，混沌运动不涉及大量微观粒子和无法了解的具有最简单的非线性关系的抛物线函数，可以导致内涵极其丰富的一维映射，可以成为自然界一大类演化现象的数学模型。在简单的确定性系统中，混沌运动不涉及大量微观粒子和无法了解的影响，内在随机性的根源出自于系统自身的非线性运动，即系统内无穷多样的伸缩与折叠变换。自然界和人类社会绝大部分的系统，都具有这样的非线性特性；所以说，随机性是客观世界的普遍属性。黑格尔曾说：“偶然的东西是必然的，必然性自己规定自己为偶然性。”所以说，混沌真正体现了随机性存在于确定性之中，确定性自己规定自己为随机性，确定性系统自己产生了随机行为。

从牛顿到爱因斯坦他们都认为世界在本质上是有序的，有序等于有规律，无序等于无规律；系统的有序有律和无序无律是截然对立的。这个单纯由有序构成的世界图象，有序排斥无序的观点，几个世纪来一直为人们所赞同。但是混沌和分形的发现，向这个单一图象提出了挑战，经典（科学）理论所描述的纯粹有序实际上只是一个数学的抽象，现实世界中被认为有序的事物都包含着无序的因素。混沌研究表明：自然界虽然存在一类确定性动力系统，它们只有周期运动；但它们只是测度为零的罕见情形，绝大多数非线性动力学系统，既有周期运动又有混沌运动。虽然并非所有的非线性系统都有混沌运动，但是事实表明，在混沌运动中有序和无序总是难分难解地联系在一起；有序和无序是统一的，是一种“混沌序”。这正像一枚有正反面的硬币，一面是有序，其中冒出随机性来，仅仅一步之差，另一面即是随机，其中又隐藏着有序。

回顾科学史，量子力学创立之前，人们长期认为，波动性和粒子性是两个截然对立的物质属性。后来爱因斯坦等人提出了著名的微观粒子波粒二象性的观点，认为波动性和粒子性是微观粒子统一的基本属性，从而极大地推动了科学的发展。与此惊人地相似，混沌理论正在缩小确定性和随机性这两个体系之间的鸿沟，世界既不能分成两半，也不是非此即彼。
显然，混沌理论能够揭示：
世界是确定的、必然的、有序的，但同时又是随机的、偶然的、无序的，有序的运动会产生无序，无序的运动又包含着更高层次的有序。因此，混沌所描绘的是一个确定性和随机性、必然性和偶然性、有序和无序辨证统一的世界图景。

此外，混沌不仅为我们重新描绘了一幅辩证统一的世界图景，而且还为我们重新描绘了世界演化的一般模式。过去我们一贯的基本观点是：任何系统都有生有灭，有自己演化的起点和终点，并且系统演化的一般模式表现为从无序到有序、最后又回到无序之中。并且，由于以前对序的实质尚未很好地认识，人们一般都把无序仅仅看作是对应于热平衡的状态。然而混沌告诉我们，系统演化的起点和终点不可能是绝对的无序态，而只能是相对的。混沌运动中包含了产生新的有序结构的必要条件和基础，系统的演化起源于混沌、同时也终结于混沌。混沌运动还为我们重新描绘了系统、世界演化的一般模式。
〖混沌态(1)→有序态(1)↔混沌态(2)←有序态(2)〗
从混沌到有序，从有序到混沌，宇宙中无数系统空间上形形色色的并列存在，以宇宙中无数系统时间上生生不息的循环演化为前提。反过来也一样，宇宙中无数系统时间上生生不息的循环演化，也以宇宙中无数系统空间上形形色色的并列存在为补充。这是物质世界的永恒的循环与发展。而混沌则揭示并证明了世界演化发展的一般模式，描绘了世界演化的新图景。

“存在一个对素数分布规律有着决定性影响的黎曼ζ函数①非平凡零点②。”
关于这些点，容易证明它们都分布在一个带状区域上，黎曼认为它们的分布要比这个容易证明的结果齐整得多，他猜测它们全都位于该带状区域正中央的一条直线上。而这条被猜测为包含黎曼ζ函数所有非平凡零点的直线则被称为临界线。简单说，“过直线外的任一点，一条平行线也作不出来。”

近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰与黎曼几何的观念是相似的。此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，亦是分形学原理和混沌理论计算来源。

黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点（交点）。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。