第一部分：什么是混沌？

混沌就是糊里糊涂吧？”
“混沌就是一片浓雾吧？”
什么是混沌？的确，混沌这个词的原来的意思就是一片模糊。例如可以形容一个人思想上的无知无识，说他混沌无知；也可以用来描述空间的一片模糊，例如我国古代关于开天辟地的神话，说原来天地一片混沌，像一只鸡蛋，盘古生在其中，他慢慢长大，把天与地分开，轻的往上浮，越来越高成为天，重的往下沉，越来越厚成为地。有意思的是，很多古书中，把我们中国人的祖先——黄帝——称为混沌。《庄子》中说：“南海之帝为倏，北海之帝为忽，中央之帝为混沌。”历来中国都认为自己是处在世界的中央，中央之帝就是我们炎黄子孙的祖先黄帝，黄帝的名字叫混沌。在外国，基督教《圣经》中有关天地的神话，也有类似的描写，说原来天地一片空虚混沌，至高无上的神让天上出现了日、月、星辰，地上出现了水、草、树木，然后才有了动物与人类。

现代科学意义上的混沌，与通常意义下的一片模糊有所不同，有一定的涵义。由于混沌是一门新兴的科学，要用一句简单的话来说出它的定义是不容易的。
通常我们把研究的对象称为系统，如果我们研究水龙头滴下的水滴，水滴就是系统；如果我们研究草原上某种昆虫生态，则一定范围内的昆虫集体就是研究的系统；如果研究的是气象，则一定范围内的气团就是研究的系统；如果研究的是股市的行情，则某种股票就是研究的系统。研究这些系统的运动（也就是变化）时，在数学上要给系统的运动列出运动方程式。要是这些运动方程式是线性的，这类系统就是线性系统，否则就是非线性系统。混沌其实是非线性系统运动的一种状态。这些非线性系统在一定的条件下，会表现出一些无规性，严格讲是貌似无规性；因为在这些貌似无规性中又会出现一定的规律性来，一般就称为系统出现了混沌状态，简单就说出现了混沌．因此要给混沌下一个定义的话，可以这样说：混沌就是系统的无规行为中的规律性。

“什么是无规行为？怎么知道系统出现了无规行为？”
在自然科学发展史上，意大利物理学家与天文学家伽利略被称为“近代科学之父”，他首先在科学实验的基础上融会贯通了数学、物理学和天文学三门知识，扩大、加深并改变了人们对物体运动和对宇宙的认识，开创了用实验来证实科学构想的方法。传说中伽利略在比萨斜塔上丢下了两个不同质量的球，两个球同时落地，证明了不同质量的物体，重力加速度是相同的。为了证实哥白尼的日心说，伽利略献出了毕生的精力，并因此在晚年受到教会的迫害，被终身监禁。在伽利略的天文学、力学的基础上，英国的伟大科学家牛顿完成了经典力学体系。1686年，凝结着牛顿半生心血的《自然哲学的数学原理》出版，书中的理论为以后300年的力学研究打下了基础。牛顿发现并总结了运动定律，创立了万有引力理论，这些定律既能用来计算行星的规律，预测彗星的行踪，计算宇宙飞船的发射，又能用于各种机械的运行，解决日常的各种力学问题。牛顿的成就也带给了科学界哲学思想上的确定论，也就是认为一个系统的行为都是有规的。一个系统，只要弄清楚它所处的环境，立出它的运动方程式，知道它的初始条件，则以后的运动状况都可以计算出来。这种系统就是决定性的系统，有规的系统；大量的科学实验证明了这一论断的正确性。它是如此深入人心，以致在遇到例外不能解决问题的情况时，人们总试图用其他的原因来解释这种例外：例如系统受到没有想到的外界的干扰，或者原来的运动方程式作了过分的近似等等，从不怀疑确定论的本身。法国的著名数学家拉普拉斯就曾经表示，如果能排出一个无所不包的宇宙方程式，他就能通晓宇宙的过去和未来。
“真能做到这样该多有意思！” 当开普勒、伽利略、牛顿建立经典力学体系，正确地解释了行星绕太阳作椭圆形轨道运动时，给人一种印象：既然两个物体运动的系统能很好地得到解决，三个物体组成的系统，甚至多个物体组成的系统，也应该得到完整解释，不过是在计算技巧方面作出较大的努力而已。但是，在用牛顿力学解三体问题时就碰到了困难。

三体问题应该说是从确定性的方程出现混沌的最早的问题，关于这个问题，还有一个有趣的故事。
〖为了庆贺1889年瑞典和挪威国王奥斯卡二世的六十诞辰，在1885—1886年斯德哥尔摩出版的《数学学报》的第6卷上宣布了一项数学科学的悬赏，该项奖金将发给第一个得到n体问题一般求解途径的人。1888年5月，庞加莱提交了他关于三体问题运动稳定性的一般证明的论文，该论文经过大数学家维尔斯特拉斯和米他格-列夫勒的审查，1889年1月21日庞加莱获得了这项奖金，2500克朗。〗
“庞加莱那么了不起！是什么人哪？” 庞加莱是法国著名的数学力学家。他在1879年获得博士学位。后在巴黎大学教学，讲授数学分析、数学物理、概率论、天文学等课程。1887年他被选为法国科学院院士，1906年当选法国科学院院长。庞加莱的这篇得奖论文准备在《数学学报》上发表．在排印他的论文时，编辑发现有些段落不够清楚，米他格-列夫勒把这个问题告诉了庞加莱，并且希望他写一个注记附在论文的后面。庞加莱在写注记时，发现论文中包含了一个严重的错误。既然是得奖论文，必须改正错误。庞加莱经受着巨大的压力，要在尽可能短的时间内改正这篇论文。但是直至1890年1月，庞加莱才提交了他的改正论文，而这时登载有错误论文的《数学学报》业已印好。庞加莱原来的论文的长度是158页，而改正后的论文有270页之多。为了维护奥斯卡奖的威信以及该《数学学报》的信誉，杂志的主编米他格-列夫勒决定将已印好的学报收回销毁，重新印发改正后的论文，为此庞加莱不得不支付了3585克朗作为对该杂志的补偿，其数额大大超出了他所得到的奖金。
庞加莱发现，即使在简单的三体问题中，方程的解的状况也非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎是没有办法预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终命运。这种对于轨道的长时间行为时的不确定性，数学家和物理学家称之为“混沌”。庞加莱的发现可以说是“混沌理论”的最早起源了。

“不是说，混沌就是系统的无规行为中的规律性吗？怎么又成为轨道的长期行为的不确定性了？”
问得好。系统运动轨道的不确定性，是人们首先碰到的混沌现象。但科学工作者对这些不确定性不会就此罢休，面对混乱的状况，必须找出其规律来。因此混沌不是混乱，混沌是在混乱中出现的规律性。
“三体问题那么困难！‘嫦娥一号’的运动不就是三体问题吗？一个地球，一个月球，一个‘嫦娥一号’卫星！” 三体问题是科学发展史上第一个出现混沌的问题。但在实用上，三体问题还是有一定的近似解的。若三个天体中，一个天体的质量与另外两个天体相比可视为无穷小，它对另两个天体的引力作用可以忽略时，则该天体可称为无限小质量天体，另外两个天体则为有限质量天体。研究无限小质量天体在两个有限质量天体的引力作用下的动力学问题称为限制性三体问题，它是一般三体问题的一个特例。例如月球、地球和太阳组成的三体系统中，月球的质量远远小于地球和太阳的质量，在讨论月球运动时可采用限制性三体问题作为近似的力学模型。此外，在小行星运动理论、月球火箭运动理论和行星际飞行器运动理论中都采用限制性三体问题作为近似模型。在限制性三体问题中，由于两个有限质量体只受它们之间的万有引力作用，它们组成一个二体问题，每一个有限体都在以它们的质量中心为焦点的圆锥曲线轨道上运动。“嫦娥一号”运动的计算就是一个限制性的三体问题。

三体问题到现在还没有人能解出吗？” 自16世纪以来，科学家就试图寻找这一问题的简单特解，即特殊情况下的简单稳定运动轨道。瑞士数学家欧拉证明，三个质量相同的物体呈直线等距离排列，两端的物体绕中间的物体作圆周运动，是一个稳定轨道。法国数学家拉格朗日则于18世纪提出了一些特解的情形，例如三个等质量物体排列成等边三角形，绕三角形的中心作圆周运动。近年来，计算机运算表明，三个等质量的物体在一条“8”字形轨道上运动，可能也是一个特解。不过，虽然这种“8”字形运动轨道理论上是可以存在的，但它在实际中出现的可能性太小，到现在，整个宇宙中也没有找到过一个这样美妙的“8”字。
至今，我们不得不承认，对太阳系（即使仅限于引力作用）的长期行为的预测是不可能的。初始条件非常小的变化，会对以后的运动产生巨大的效应：实际上是出现了混沌。

另一个出现混沌的例子，就是气象预报中的著名的“蝴蝶效应”。1960年，美国科学家爱德华·洛伦茨利用计算机来作天气预报。 “怎样利用计算机来预报天气呢？” 经典力学在天体运动以及预报潮汐运动中的成功，使得20世纪50年代与60年代之间对气象的长期预报充满了盲目的乐观。人们想，既然能预报潮汐，为什么不能长期预报气象？都是流体嘛，不过方程式复杂一些而已。人类应该不但能预报天气，还应该能控制并改造天气，这是多么吸引人的理想。我国老一辈的气象学家赵九章先生有一次对年轻学生说：“气象学家应该像一个大乐队的指挥，指挥着一大批人作计算，来预报天气。”

为什么要一大批人？”50年代计算机远没有现在那么快速，而描述气团运动的方程式远比描写一颗卫星或彗星的方程式要复杂得多；初始条件也远不只是一个位置与速度而已，需要很多点的速度、温度、密度、湿度等等。这很多点就是很多气象台，很多气象台送来的气象数据作为初始条件，用这些初始条件来计算气团的运动，从而获得以后各地的气象情况，这就是天气预报。因需要计算的东西很多，所以需要像指挥一个乐队那样指挥。计算机的发展与气象学上的需要不无关系。洛伦茨用模型模拟了地球上的气团运动情况，他自己称之为在计算机上创造出一套游戏气象，每过一分钟，机器吐出一串数字，从这些数字可以看出地球上的天气变化。洛伦茨是个气象学家，从孩子时候起就是一个气象迷，他的老家在美国康涅迪格州的西哈特夫市，他最喜欢测量每天室外的最高与最低温度；但他从小也很喜欢数学，喜欢攒研数学游戏中的难题。1938年在达莫斯学校毕业时，他已经认定自己要一辈子去从事数学事业了，但第二次世界大战把他推向了空军，做了气象预报员。战后，他继续攻气象学，并且把数学与气象预报结合起来。他用经典力学来研究气象，他深信经典的牛顿力学，他的想法是：牛顿力学成功地计算了天体的运动。只要知道初始条件，也就是说，知道某一时刻一个物体在什么位置，具有什么速度，就能知道以后任何时刻它所在的地方以及它的速度。云雾的运动当然要比一个行星的运动复杂些，对于一颗行星，在只希望了解它的行踪时，是可以把它当作一个不用考虑大小的质点的。但只要把云团的初始条件写出来，运用流体力学的方程式，不管是多么复杂的方程式，总是应该知道云团的变化结果。
洛伦茨得出结果了吗？” 洛伦茨运用他当时先进的计算机，排出了云团运动方程式，计算机吐出的数字基本上与天气预报员的观测符合。计算机是很忠实的，用相同的初始条件总是一丝不苟地给你同样的结果。1961年的某一天，为了检验一个很长的计算过程，洛伦茨想走捷径，他没有从原来的初始条件出发，而是用机器输出的一中间结果作为初始条件输入。意外的情况出现了，气候的变化开始遵循了原来计算的结果，但时间一长，偏离出现了，而且越来越大。在计算机上运行几秒钟就代表了几天；在相应的几个月后，两次预报的气象几乎已经没有相似的地方。这到底是怎么回事呢？难道计算机出了故障？很快，他知道了原因，问题出在他第二次输入的数据上，计算机储存的中间结果是小数点后六位数字，例如0.506127，而屏幕上输出的结果，为了节省空间，只有三位数，即0.506；洛伦茨用作初始条件输入的是后者而不是前者，他原以为这千分之一的区别是无关紧要的。在气象上，一个小小的数据误差就好像是一股小小的风，这股小小的风在发展中总是可以消失或相互抵消吧！这是洛伦茨开始的想法；但他的计算机中的系统却表明，这股小小的、原先微不足道的风却成了巨大的气象灾难。这种对初始条件的敏感性被称为“蝴蝶效应”。

为什么要叫蝴蝶效应？”
蝴蝶不是很小的昆虫吗，它的翅膀很小，翅膀扇动一下，当然也会引起气团这一点的速度以及密度的变化，但可以想象这是多么小的一点啊！这么小的一点初始条件的变动就能引起一个月后或几个月后、附近或千里以外气象上的风暴。“蝴蝶扇动一下翅膀真能引起一场风暴吗？那多可怕！”不是的，这只是说明洛伦茨的气象方程式对初始条件的敏感性。计算机上出现的风暴只是一个假象，说明了长期的气象预报是不可能的，因为实际上气象台测量的初始条件都不可能是没有一点点误差。想长期预报气象从而能控制并改造天气，想把这吸引人的理想付之实施的典型人物之一还有美国的科学家冯·诺依曼，他在制造他的第一台计算机时，目的之一就是控制天气。他的周围聚集了一批气象学家，在物理学界他高谈他的激动人心的计划。冯·诺依曼想象，有了不知疲倦的计算机，科学家们将计算出几天的流体运动方程的解，然后可以利用一些手段，将气象推向所要求的形式。80年代，在美国马里兰州的边缘，华盛顿的郊外，有一个庞大的机构用来完成冯·诺依曼的使命，聚集了美国最优秀的气象预报员们。计算机的模拟的确使气象工作成为一门科学，欧洲的气象中心估计，即使是一个不很准确的气象预报，也可使全世界每年节省下几十亿美元。然而，超过两到三天，最好的预报也变成了猜测性的了；超过七天，蝴蝶效应就变得很显著，一个预报可以被很小的一点气象变化破坏掉，误差与不确定性成倍地扩大：从一个小飞尘、和小旋风变成只有从人造卫星上才能看清的整个大陆上的旋涡，因而预报就毫无价值。

计算机能计算得更准确些吗？”现代的气象模型用的是间隔60英里（1英里＝1.609344千米）的格点，也就是说，每隔60英里测一点气象数据作为初始条件，然后来计算气象的变化。即使这样，由于在地面和从卫星不可能看到每个地方，有一些初始条件只好靠猜测。但即使地球上铺满了一尺一个的感应器，再一尺一层排满大气层，即使每个感应器都能十全十美地读出温度、气压、湿度等气象学家所需要的任何量，然后用一台无限大的计算机取得所有点的数据，计算以后的温度、气压、湿度等的变化，就算是这样，这台计算机仍然不能预报在一个月后的某一天的天气。

洛伦茨的发现是一次意外，但他准备更深入地探讨这一发现的后果，探讨蝴蝶效应对流体流动的意义。洛伦茨并没有停留在蝴蝶效应上，若停留在可预料性被单纯的随机性战胜这一图像上，那他不过是带来了一条非常坏的消息而已。洛伦茨看到的不仅仅是随机性潜伏在他的气象模型中，他还看到一种精致的几何结构，这是一种伪装成随机性的规律性。这就是“混沌”。
混沌是伪装成随机性的规律性。混沌就是系统的无规行为中的规律性。这种无规行为，或无秩序，是一种表面现象，好像是伪装的；只有仔细地分析，才能看到它的规律性。有意思的是，我们的先辈把黄帝取名为混沌，这混沌的含义倒是与现代对混沌的定义不谋而合。“怎么会不谋而合？把黄帝取名为混沌有什么意思？” 黄帝，不管是一个传说还是真有其人，反正是我们中华民族的最早统治者。按历史上的理解（例如庄子），被统治的人民好像是希望他表面上对一切都比较含糊，比较糊涂，貌似什么都不放在心上；而实际上却又有着一定的规律性，这就是政治上的混沌，正与现代的混沌定义相合。

洛伦茨在长期天气预报上遇到的失败，使他的注意力越来越从气象学转移到数学上来，他要找到一种描述这样的系统的数学模型，这种系统永远找不到稳定态，它在运动过程中从来不会重复自己的状态。然而，气象正是这样一种从不会重复自己的非周期性的系统，如果天气能达到一个和以前达到过的完全一样的状态，每一股风、每一片云都是一样的，那它按理将永远重复自己，预报的问题将变得无聊。因为那样的话，只要计算一次就行了，预报一次就行了，既然大家都知道什么天气后必然是什么天气． 在普通流体力学中，通常都用一个经典方程，即纳维－斯托克斯方程。它简单明了地包括了流体的速度、压强、密度和黏度等物理量的变化规律。气象中的流体力学运动要复杂得多，用一个方程式是不够的。洛伦茨意识到，气象中的不可重复性和预报的不可能之间有着一种联系，但要找到描述这种非周期性运动的方程不是一件容易的事。经过摸索，他开始用12个方程来模拟，最后他简单地用三个方程组成的系统得到这种奇妙的结果；这三个方程是非线性的。洛伦茨用三个变量、三个方程描述了系统的运动，用三维空间来画出三变量系统的轨迹。点的轨迹永远不相交，它永远地在打圈子，表现出一种无穷尽的复杂性。图像一直保持在一定的范围内，既不重复自己，又不跑到纸外。轨迹形成了一个奇怪而明确的图案，像三维空间的一对旋涡，又像一对蝴蝶的翅膀。
“这又是一种蝴蝶效应吗？” 不是，这不叫蝴蝶效应．前面已经说过，蝴蝶效应是指对初始条件的敏感性。这种运动状态不断地向某种状态接近，在数学上称为吸引子。这具有两个吸引子的状态是从洛伦茨的方程式得出的，被称为洛伦茨吸引子。“两个吸引子表示什么呢？” 两个吸引子像两个旋涡，状态从一个旋涡到另一个旋涡，然后又回来，周而复始，但永不重复。洛伦茨称之为“决定性的无周期流动”。当混沌越来越得到人们重视的时候，洛伦茨的“决定性无周期流动”与“洛伦茨吸引子”是被人们引用得最多的概念。洛伦茨对混沌的研究作出了不可磨灭的贡献。

第二部分：混沌的特征！

前面我们用科学来注疏混沌，现在我们用哲学来释义混沌。
混沌的英文单词是chaos，根据大英百科全书，chaos一词来自希腊文aos，其原意是指先于一切事物而存在的广袤虚无的空间。世界各民族几乎都有过混沌创世、从有序到混沌的古老信念。按照哲学的观点，这种古老的混沌有以下几种含义：一是指一种自然状态。古人常用混沌去描述从周围环境中某些复杂系统到茫茫宇宙的一种自然状态，认为混沌是万物相混的一种整体，它既有混乱、无序的一面，又内在地蕴涵着规则、有序的因素。二是指一种演化状态。混沌孕育并生出宇宙，这是古代东西方人们都有的看法。此外，中国古代还认为，混沌也是一系列演化的结果。而西方则有人认为世界最终也将演化为一种混沌状态。三是指一种思维方式。混沌作为一种未经分化的浑然整体，自然不能通过分析、还原的方式来认识，而只能靠直觉与领悟做整体的把握。中国古代思想家用这种方式去理解混沌和事物，便是把混沌当作了一种认识和思维方式。另外，混沌也常被看作是人类及其个体的认识过程中的早期朦胧状态，是一种不开通 、 未开化的状态。显然，这里的“混沌”表述的更直接。

到了近代，人们对混沌的理解和态度发生了重大的变化。拉普拉斯决定论认为，世界是简单有序的，混沌与有序完全对立，古代辨证的混沌观被彻底否定，一切客观存在的混沌现象均被排斥在科学研究之外。近代科学中，笛卡儿和康德却是例外，尽管他们也只是把混沌看成浑然一体的东西，但是他们认为有序的宇宙正是从这样的混沌之中发展起来的。

19世纪诞生的热力学也涉及到了混沌。热力学的平衡态，是系统内各处温度、浓度、压强、化学势均匀一致，熵取得极大值，达到了分子混乱度极大状态。因此，热力学平衡实际上就是一种传统意义上的混沌态。现代科学的产生使人们对混沌有了突破性的认识。20世纪下半叶以来，随着自组织理论的建立与发展，人们发现了一类新的混沌现象，即非平衡非线性混沌。非平衡混沌与平衡混沌有原则的区别，非平衡混沌可以看作是非平衡非线性系统的演化归宿。这使人们对混沌有了深刻的认识。这时期对混沌的定义需要辩证逻辑，这里有几位著名学者给出的混沌定义：
哈肯认为：“混沌性为来源于决定性方程的无规运动。”
福特认为：“混沌的最一般定义应该是，混沌意味着决定论的随机性。”
赫柏林认为：“混沌是确定论系统的随机性。”
斯特瓦尔特认为：“浑沌是完全由规律支配的无规行为。”
上述这些定义中都包含着两种矛盾的规定性，都是矛盾的复合体 。这种定义方式在以往的科学中是见不到的。但混沌需要如此定义，也不能不采用这种方法下定义。现代自然科学已告诉我们，这种矛盾的复合体是普遍存在的，因而也是无可回避的。纵观混沌含义从古代到近代再到现代的全部发展历程，我们可以发现人类对混沌的认识实际上经历了一个否定之否定的过程。古代人们关于混沌的辨证认识在近代遭到了彻底否定，但到了现代，人们又对近代片面的混沌观做了深刻的否定，完成了一个否定之否定的全过程，使人们对混沌的内涵有了更丰富、更精确的认识。

通过对混沌的研究，人们认识到混沌的奇特之处在于它把表现的无序与内在的决定论机制巧妙地溶为一体。具体来讲，混沌有以下三个基本特征：

一、是内在随机性：
非平衡非线性混沌系统产生的类似无规的非周期行为，常叫做内在随机性或称内禀随机性，意思是随机性完全是系统自身的属性，而与外在因素无关。正如洛仑兹动力学方程体现的那样，混沌是从完全确定论的方程中出现的。洛仑兹方程是确定论方程，其中不含任何随机项，方程的系数、初始条件等都是确定的，然而确定的原因却引出来随机的结果。混沌系统的这种所谓内在随机性，是相对于外在随机性而言的。外在随机性是指以前人们在概率论里熟悉的那种随机性，是量子涨落和统计涨落的结果。外在随机性有以下两个特点：第一，可能出现随机性的初值区域在相空间的测度（体积）为零，第二，为了计入随机性，必须在原有方程中外加随机项（随机的系数、初始条件或外源）。对于这种外在随机性，爱因斯坦坚信一个“不掷骰子的上帝”，坚定地认为那样的随机性只是表面的，在更深层次上隐藏着确定论。这也就是说，外在随机性的存在并未给决定论带来真正的困难和冲击。而混沌中发现的这种内在随机性，与外在随机性有本质的不同，它要求人们突破原来对随机性的认识。并且混沌以确凿无疑的科学事实表明，随机性是宇宙自身的普遍属性，完全决定论的根基被清除了。这在哲学上具有极为深远的影响。也就是说，我们必须从本体论上承认随机性与偶然性的存在，并把它作为认识世界的一个重要出发点。在对各类问题的提法、认识与处理中也必须考虑这一点。

二、是对初值的敏感性：
混沌系统的一个显著特征是系统的长期行为对初值具有敏感依赖性。从两个相近的初值状态出发，按传统的见解，系统的长期行为也将相差不大。事实上，可以严格证明：对于线性系统，情况的确如此；对于某些非线性系统，也可以对初值是不敏感的。但对于混沌系统，情况却完全不是这样，初值的很小的差异，经过充分时间以后，系统的后果却可能出现显著的差异。正是由于这种对初值的敏感性使得混沌系统中的行为变得不可预测了。前面我们具体谈到的“蝴蝶效应 ”也可以这样演绎：
〖缺掉一枚钉，坏了一支蹄铁；
缺少一支蹄铁，跌翻了一匹马；
翻了一匹马，死了一个骑马的武士；
死了这位骑码的武士，失去了这场战争的胜利；
失去了这个胜利，亡掉了一个帝国。〗
显然，在科学中也象在生活中一样。众所周知，一串事件可能有一个临界点，在这个点上，小的变化可以放大为大的变化。而混沌的意思就是这些点无处不在，无孔不入。象长时期天气的“蝴蝶效应”，对初值的敏感性乃是小尺度与大尺度相缠绕的不可避免的结果。因此，“失之毫厘，差之千里”乃是混沌系统长期行为的真实写照。