简单探讨一下量子力学
一与量子相关的概念
现在大家生活水平都提高了.每天花的钱最少也得几元吧.如果有人说你<一毛不拔>,你一定不高兴.如果再说你<一分不拔>你能接受吗?
我现在写作业要用一张纸,到商店买,看到标价是一毛钱20张.请问:
谁能给我刚好买一张纸的钱?多给我不要!
没有人能给我刚好能买一张纸的钱,我能说别人
连<一分不拔>都不如吗!
现在大家生活水平都提高了.每天花的钱最少也得几元吧.如果有人说你<一毛不拔>,你一定不高兴.如果再说你<一分不拔>你能接受吗?
我现在写作业要用一张纸,到商店买,看到标价是一毛钱20张.请问:
谁能给我刚好买一张纸的钱?多给我不要!
没有人能给我刚好能买一张纸的钱,我能说别人
连<一分不拔>都不如吗!
我的要求不能满足,原因是:没有半分钱.一分是人民币的最小单位.在这个意义上我们可以说:一分钱是人民币的量子.人们要进行交换(等价或不等价都可以)必须是这个最小单位的整数倍.
物理上把能量动量的最小单位称为量子.黑体吸收频率为ν的光,必须是光能量最小单位hν的整数倍,hν就是光的能量子.
物理上把能量动量的最小单位称为量子.黑体吸收频率为ν的光,必须是光能量最小单位hν的整数倍,hν就是光的能量子.
二量子化条件
微观粒子具有波-粒二象性,不妨把做圆周运动的电子想象成一个波动.要这个波动稳定,就应该形成驻波.即
………………圆周长2πr=nλ...=1,2,3,……….(1)
其中λ是电子的德布罗依波波长.再考虑到波长与动量的关系
………………p=h/λ........................(2)
h是普朗克常数,
得到………L=rp=nh/2π…n=1,2,3,……..(3)
对于圆周运动,L=rp就是电子的角动量.
上面简单计算说明:如果考虑电子具有波-粒二象性,一个稳定的氢原子,它的一些力学量也应该是量子化的.(3)式就是角动量L满足的量子化条件.
微观粒子具有波-粒二象性,不妨把做圆周运动的电子想象成一个波动.要这个波动稳定,就应该形成驻波.即
………………圆周长2πr=nλ...=1,2,3,……….(1)
其中λ是电子的德布罗依波波长.再考虑到波长与动量的关系
………………p=h/λ........................(2)
h是普朗克常数,
得到………L=rp=nh/2π…n=1,2,3,……..(3)
对于圆周运动,L=rp就是电子的角动量.
上面简单计算说明:如果考虑电子具有波-粒二象性,一个稳定的氢原子,它的一些力学量也应该是量子化的.(3)式就是角动量L满足的量子化条件.
，前排申精。
(3)式就是1913年玻尔提出的三个假定之一,量子化条件.当时玻尔并不知道氢光谱的实验数据.另外,当时也没有波-粒二象性这个概念.在那种情况下能提出(3)式的量子化条件实在不简单.。
玻尔只考虑了圆周运动,索末菲把玻尔假设推广到椭圆轨道,并考虑的相对论修正,很好的解释了氢光谱及类氢离子光谱.
现在人们把玻尔-索末菲理论称为旧量子论.1926年波动力学问世后,旧量子论就被波动力学取代.
尔理论刚发表,有人就认真测量了氢光谱的四条(可见光部分)谱线,实验结果与玻尔理论有系统性偏离,表明玻尔理论存在缺陷.
玻尔重新调整了自己的模型.原来,问题出在氢原子核并非固定不动,电子与氢核都应该围绕其质心转动.解决办法也十分简单,只要用折合质量替代原来的电子质量,即能得到与实验符合的结果.
在此期间,出现了两个新理论,相对论及玻尔理论,这两个新理论都有下面特点:
1)与人们习惯有出入;
2)能解释部分实验.
1916年索末菲引进了椭圆轨道及相对论修正,很好的解释了氢光谱的精细结构及超精细结构.此后,人们普遍接受这两个理论.
目前,人们普遍的看法是:对宏观领域,应采用牛顿力学处理;对微观领域,要用量子力学处理;对宏观,微观之间的介观领域,例如微电子,表面物理,用玻尔理论处理是合适的.
若干年前,有人提出:是否可以搞电子激光器?下面用玻尔理论做个初步估算.假设均匀磁场B与电子的运动平面垂直,由
............evB=mvv/r....得eB=mvr/r^2
利用玻尔量子化条件得到:
...........r^2=nh/(2πeB)......(1)
上式说明:轨道半径是量子化的.如果按(2)式计算电子的能量(动能)
...........E=L^2/(2mr^2).................(2)
(1)代入(2)还能得到能量也是量子化的.
(1)式(或(2)式)的特点是普朗克常数h在等式中起到举足轻重的地位!凡符合这条要求的物理现象,原则上都应该用量子理论处理.至于是用玻尔理论还是波动力学,可以根据问题的性质自行决定.
玻尔只考虑了圆周运动,索末菲把玻尔假设推广到椭圆轨道,并考虑的相对论修正,很好的解释了氢光谱及类氢离子光谱.
现在人们把玻尔-索末菲理论称为旧量子论.1926年波动力学问世后,旧量子论就被波动力学取代.
尔理论刚发表,有人就认真测量了氢光谱的四条(可见光部分)谱线,实验结果与玻尔理论有系统性偏离,表明玻尔理论存在缺陷.
玻尔重新调整了自己的模型.原来,问题出在氢原子核并非固定不动,电子与氢核都应该围绕其质心转动.解决办法也十分简单,只要用折合质量替代原来的电子质量,即能得到与实验符合的结果.
在此期间,出现了两个新理论,相对论及玻尔理论,这两个新理论都有下面特点:
1)与人们习惯有出入;
2)能解释部分实验.
1916年索末菲引进了椭圆轨道及相对论修正,很好的解释了氢光谱的精细结构及超精细结构.此后,人们普遍接受这两个理论.
目前,人们普遍的看法是:对宏观领域,应采用牛顿力学处理;对微观领域,要用量子力学处理;对宏观,微观之间的介观领域,例如微电子,表面物理,用玻尔理论处理是合适的.
若干年前,有人提出:是否可以搞电子激光器?下面用玻尔理论做个初步估算.假设均匀磁场B与电子的运动平面垂直,由
............evB=mvv/r....得eB=mvr/r^2
利用玻尔量子化条件得到:
...........r^2=nh/(2πeB)......(1)
上式说明:轨道半径是量子化的.如果按(2)式计算电子的能量(动能)
...........E=L^2/(2mr^2).................(2)
(1)代入(2)还能得到能量也是量子化的.
(1)式(或(2)式)的特点是普朗克常数h在等式中起到举足轻重的地位!凡符合这条要求的物理现象,原则上都应该用量子理论处理.至于是用玻尔理论还是波动力学,可以根据问题的性质自行决定.
尽管玻尔理论曾经取得了一些成果,使用起来方便.但是人们也认为:玻尔理论本身有不能自圆其说的地方:量子化条件是人为强加进去的!因此玻尔理论充其量也就是一个过度性的理论,早晚要被一个更为满意的理论替代。
三如何描述状态
经典力学用开始时刻的位置(x,y,z)及速度的三个分量共六个力学量来描述质量为m的经典粒子(其实应说成质点)的状态.这句话包含着两个意思.
1)给出任一时刻上述两个力学量的数值,可以按经典力学有关规律计算出该时刻任何一个力学量的数值.例如动能Ek=mv^2/2.
2)如果给出以后时间作用在质点上的力,还可以计算出以后任何一个时刻任何一个力学量的具体数值.
量子力学的研究对象是微观粒子,微观粒子具有波动-粒子二象性.因此
量子力学采用波函数ψ(x,y,z,t)描述t时刻体系的状态.
这句话的确切含义是什么?即这句话到底是什么意思?这句话包含了对波函数的什么要求?
例如不妨具体点:我们的研究对象是氢原子,已经知道在开始时刻体系处在氢原子基态.即给出了基态氢原子的波函数,你又能知道什么?这是每一个初学量子力学的同学必然遇到的问题,我的体会是:能回答好这个问题,你的量子力学(前半部分)应能及格!
三如何描述状态
经典力学用开始时刻的位置(x,y,z)及速度的三个分量共六个力学量来描述质量为m的经典粒子(其实应说成质点)的状态.这句话包含着两个意思.
1)给出任一时刻上述两个力学量的数值,可以按经典力学有关规律计算出该时刻任何一个力学量的数值.例如动能Ek=mv^2/2.
2)如果给出以后时间作用在质点上的力,还可以计算出以后任何一个时刻任何一个力学量的具体数值.
量子力学的研究对象是微观粒子,微观粒子具有波动-粒子二象性.因此
量子力学采用波函数ψ(x,y,z,t)描述t时刻体系的状态.
这句话的确切含义是什么?即这句话到底是什么意思?这句话包含了对波函数的什么要求?
例如不妨具体点:我们的研究对象是氢原子,已经知道在开始时刻体系处在氢原子基态.即给出了基态氢原子的波函数,你又能知道什么?这是每一个初学量子力学的同学必然遇到的问题,我的体会是:能回答好这个问题,你的量子力学(前半部分)应能及格!
波函数ψ(x,y,z,t)最少应该满足下面两个条件:
1)由于ψ*ψdV表示dV体积内发现粒子的概率,而且在整个空间必然能找到粒子,因此ψ*ψ对整个空间的积分应该是1.这个条件通常称为归一化条件.在数学上相当于要求波函数绝对平方可积(分).后来Dirac引进了δ函数,归一化条件可以推广为:正交归一成δ函数.
2)由于ψ(x,y,z,t)描述t时刻的状态,因此波函数满足关于t的一阶偏微分方程.(如果是二阶微分方程,则应该是波函数及其导数才能描述状态,牛顿力学就是此种情况)在数学上关于t的一阶偏微分方程是扩散方程,不存在波动解答,除非系数中含有虚数i.也就是说:将来出现的波动方程应该是含有虚数i的(关于t)一阶偏微分方程.
1)由于ψ*ψdV表示dV体积内发现粒子的概率,而且在整个空间必然能找到粒子,因此ψ*ψ对整个空间的积分应该是1.这个条件通常称为归一化条件.在数学上相当于要求波函数绝对平方可积(分).后来Dirac引进了δ函数,归一化条件可以推广为:正交归一成δ函数.
2)由于ψ(x,y,z,t)描述t时刻的状态,因此波函数满足关于t的一阶偏微分方程.(如果是二阶微分方程,则应该是波函数及其导数才能描述状态,牛顿力学就是此种情况)在数学上关于t的一阶偏微分方程是扩散方程,不存在波动解答,除非系数中含有虚数i.也就是说:将来出现的波动方程应该是含有虚数i的(关于t)一阶偏微分方程.
如果已知t时刻的归一化波函数ψ(x,y,z,t),则一定能求出
1)能得到任意一个力学量L在该状态下的平均值;
2)在该状态下测量任意一个力学量L的可能值及相应的概率;
3)能求出以后任意时刻的状态函数.(波函数).
我们都学习过经典力学.在学习时,我们使用的参考书不见得相同.但是,无论你使用那一本参考书,都有一个共同点:牛顿三定律及万有引力公式是作为实验事实介绍的,或者说:这是基本假设.在这个意义上我们可以说:经典力学参考书大同小异,都把这四条作为基本假设!没有例外.
现在回到量子力学,我们发现上述特点没有了!以状态叠加原理为例,这应该是基本假设.Dirac书(有中译本)的叙述就是比国内大多数参考书内容多,也就是说:他的假设比国内参考书的假设多!有些同学特别是学习比较好的同学,注意到这个问题.小数同学还与教师进行了交流:
这是基本假设,我不能说老师讲的不对;但是我也不愿意认为Dirac说的有误!可以你们两家说的就是不一样,我听谁的!是否应该有个对错?难道基本假设还能不一样吗?
问题提得十分尖锐,无论你是教师还是同学,你又如何回答上面的问题!
1)能得到任意一个力学量L在该状态下的平均值;
2)在该状态下测量任意一个力学量L的可能值及相应的概率;
3)能求出以后任意时刻的状态函数.(波函数).
我们都学习过经典力学.在学习时,我们使用的参考书不见得相同.但是,无论你使用那一本参考书,都有一个共同点:牛顿三定律及万有引力公式是作为实验事实介绍的,或者说:这是基本假设.在这个意义上我们可以说:经典力学参考书大同小异,都把这四条作为基本假设!没有例外.
现在回到量子力学,我们发现上述特点没有了!以状态叠加原理为例,这应该是基本假设.Dirac书(有中译本)的叙述就是比国内大多数参考书内容多,也就是说:他的假设比国内参考书的假设多!有些同学特别是学习比较好的同学,注意到这个问题.小数同学还与教师进行了交流:
这是基本假设,我不能说老师讲的不对;但是我也不愿意认为Dirac说的有误!可以你们两家说的就是不一样,我听谁的!是否应该有个对错?难道基本假设还能不一样吗?
问题提得十分尖锐,无论你是教师还是同学,你又如何回答上面的问题!
类似的典型问题还有:测不准关系(不确定关系)是原理还是推论!这类问题在学习经典力学时没有遇到过,但是在学习量子力学时遇到了,怎么办?
以平面波为例,为简单我们只讨论与x轴垂直的单色平面波函数ψ(x,t).
量子力学的基本原理当然应该包含得到ψ(x,t)的具体办法.
方案1:假设ψ(x,t)=A*EXP(kx-ωt),其中A是正交归一常数.
方案2:假设动量算符P=-ih(d/dx),(其中h表示h/2π),描述单色平面波的波函数是动量本征态为p的归一化的本征函数.
显然,这两个方案都可以解决德布罗依波的具体表示问题,但是两个方案所用的假设不一样.
方案1:没有引入动量算符的具体表示,也没有涉及本征值,本征函数等问题这些内容在别的假设引入.
方案2:引入的假设比方案1多,这些内容将来当然可以不再作为假设引入.
有人认为方案1好,当然也有人认为方案2合理.我个人认为:
1)两个方案都没有错.
2)谁更合理完全是看法问题,没有必要强求一致.
对初学者,不宜把过多精力放在这些问题上.要把对错放在首位,谁更好放在次要位置.
关于状态叠加原理也存在类似的问题.国内大多数教材是这样介绍状态叠加原理的:设ψ1是体系的一个可能状态,ψ2是体系的另一个可能状态,则
......................ψ=aψ1+bψ2........(1)
也是体系的一个可能状态.
由于量子力学早有约定:ψ与Aψ描述同一状态.这条与(1)式一起就是线性系统的定义!也就是说:(1)式事实上等价于假设了我们研究对象是一个线性系统,因此状态函数ψ满足的方程是线性方程就成了推论(不是假设),将来再引入力学量算符时就不用再作算符必须是线性的假设.
反过来,如果我计划在介绍算符时作算符必须满足线性,自厄的假定,叠加原理就不是假设,而是推论了!
如果既介绍叠加原理,又在算符部分强调线性,自厄(多数教材如此),并且把这些内容都认为是基本假设,是否存在假设过多的问题!
以平面波为例,为简单我们只讨论与x轴垂直的单色平面波函数ψ(x,t).
量子力学的基本原理当然应该包含得到ψ(x,t)的具体办法.
方案1:假设ψ(x,t)=A*EXP(kx-ωt),其中A是正交归一常数.
方案2:假设动量算符P=-ih(d/dx),(其中h表示h/2π),描述单色平面波的波函数是动量本征态为p的归一化的本征函数.
显然,这两个方案都可以解决德布罗依波的具体表示问题,但是两个方案所用的假设不一样.
方案1:没有引入动量算符的具体表示,也没有涉及本征值,本征函数等问题这些内容在别的假设引入.
方案2:引入的假设比方案1多,这些内容将来当然可以不再作为假设引入.
有人认为方案1好,当然也有人认为方案2合理.我个人认为:
1)两个方案都没有错.
2)谁更合理完全是看法问题,没有必要强求一致.
对初学者,不宜把过多精力放在这些问题上.要把对错放在首位,谁更好放在次要位置.
关于状态叠加原理也存在类似的问题.国内大多数教材是这样介绍状态叠加原理的:设ψ1是体系的一个可能状态,ψ2是体系的另一个可能状态,则
......................ψ=aψ1+bψ2........(1)
也是体系的一个可能状态.
由于量子力学早有约定:ψ与Aψ描述同一状态.这条与(1)式一起就是线性系统的定义!也就是说:(1)式事实上等价于假设了我们研究对象是一个线性系统,因此状态函数ψ满足的方程是线性方程就成了推论(不是假设),将来再引入力学量算符时就不用再作算符必须是线性的假设.
反过来,如果我计划在介绍算符时作算符必须满足线性,自厄的假定,叠加原理就不是假设,而是推论了!
如果既介绍叠加原理,又在算符部分强调线性,自厄(多数教材如此),并且把这些内容都认为是基本假设,是否存在假设过多的问题!
尽管不同参考书在叙述上各有侧重,但是根据书上的基本假设都能作到
如果已知t时刻的归一化波函数ψ(x,y,z,t),则一定能求出
1)能得到任意一个力学量L在该状态下的平均值;
2)在该状态下测量任意一个力学量L的可能值及相应的概率;
3)能求出以后任意时刻的状态函数.(波函数).
这是共同点.对初学者掌握共同点应该是首要任务.也就是说:我们要学会用自己的语言表述:在已知t时刻的归一化波函数ψ(x,y,z,t)时,如何求出上面所列的三点.
有人认为:计算力学量L的平均值就是具体写出<L>的表达式,然后就是计算积分.问题在于列出的积分都是一些特殊函数,想记又记不住.不记吧,考试怎么办?左右为难!
解决办法是:能不算积分吗,用算符的对易关系是否可以把计算简化?
例题:在l=2,m=1状态,计算角动量x分量的平均值.
解答:Lx(平均值)=∫∫Y'(21)LxY(21)sinθdθdφ....(1)
其中Y'(21)表示l=2,m=1对应的本征函数的共厄.Lx表示该力学量算符.即使允许查书,直接计算这个积分也是相当麻烦的.就算你能计算出这个积分得到0的正确结果,我认为也是失败的.
能否不直接计算这个积分,又能得到正确的结果?这应该是优先考虑的,也是应该注意学习的.
给个提示:应对易关系能否把问题简化,甚至得到答案?
为了方便,本楼的h均表示h/2π,大写字母表示力学量算符,／>表示状态矢量.
设.........Lz／m>=mh／m>.......(1)
两边取厄米功厄,由于力学量算符Lz是自厄算符,得到
.............<m／Lz=<m／mh...........(2)
上式对计算平均值十分有用.它说明对力学量算符可以作用到左边的本征态上.利用这一类知识,常可以使平均值的计算十分简单.
<m／Lx／m>=<m／(LyLz-LzLy)／m>/ih=<m／(Lymh-mhLy)／m>/ih
=mh(<m／(Ly-Ly)／m>/ih=0
可以看出整个计算过程,并不需要真正计算什么积分.计算力学量的平均值或矩阵元,是量子力学的基本练习.在做这类练习时,要注意积累上面介绍的技巧.
如果已知t时刻的归一化波函数ψ(x,y,z,t),则一定能求出
1)能得到任意一个力学量L在该状态下的平均值;
2)在该状态下测量任意一个力学量L的可能值及相应的概率;
3)能求出以后任意时刻的状态函数.(波函数).
这是共同点.对初学者掌握共同点应该是首要任务.也就是说:我们要学会用自己的语言表述:在已知t时刻的归一化波函数ψ(x,y,z,t)时,如何求出上面所列的三点.
有人认为:计算力学量L的平均值就是具体写出<L>的表达式,然后就是计算积分.问题在于列出的积分都是一些特殊函数,想记又记不住.不记吧,考试怎么办?左右为难!
解决办法是:能不算积分吗,用算符的对易关系是否可以把计算简化?
例题:在l=2,m=1状态,计算角动量x分量的平均值.
解答:Lx(平均值)=∫∫Y'(21)LxY(21)sinθdθdφ....(1)
其中Y'(21)表示l=2,m=1对应的本征函数的共厄.Lx表示该力学量算符.即使允许查书,直接计算这个积分也是相当麻烦的.就算你能计算出这个积分得到0的正确结果,我认为也是失败的.
能否不直接计算这个积分,又能得到正确的结果?这应该是优先考虑的,也是应该注意学习的.
给个提示:应对易关系能否把问题简化,甚至得到答案?
为了方便,本楼的h均表示h/2π,大写字母表示力学量算符,／>表示状态矢量.
设.........Lz／m>=mh／m>.......(1)
两边取厄米功厄,由于力学量算符Lz是自厄算符,得到
.............<m／Lz=<m／mh...........(2)
上式对计算平均值十分有用.它说明对力学量算符可以作用到左边的本征态上.利用这一类知识,常可以使平均值的计算十分简单.
<m／Lx／m>=<m／(LyLz-LzLy)／m>/ih=<m／(Lymh-mhLy)／m>/ih
=mh(<m／(Ly-Ly)／m>/ih=0
可以看出整个计算过程,并不需要真正计算什么积分.计算力学量的平均值或矩阵元,是量子力学的基本练习.在做这类练习时,要注意积累上面介绍的技巧.
研究方法：
1)先确定研究对象,例如我的研究对象是电磁场.电磁场能量,动量当然可以变化,问题是这个变化能否任意小?
如果能,则称该电磁场是连续的.或可以连续变化.
如果不能,则该场能量,动量应该存在一个最小的变化单位,这个最小的变化单位就是该电磁场的量子.
2)实际问题中是否一定要考虑量子效应?
我认为是不一定,应该由问题的性质决定.例如我的研究对象是世界人口,在这个具体问题中,一个人就是人口这个研究对象的量子.根据你的研究,你可以说:现在世界人口是80亿.如果我说:不对!因为在我上网前后医院刚死了一个,正确的数目应该是(80亿-1)个!我的说法就是无理.
但是如果研究对象是我所在的教学班,80人就是80人,多一个少一个都不行,此时量子效应不考虑就是错误的.
3)量子效应通常与普朗克常数h有直接的关系.一个直观的判断就是:在实际问题中,如果让h→0,对问题没有实际影响,这个问题就可以按经典问题处理.或者说:这个问题可以按连续变化处理,反之如果让h→0,问题变得无意义,这说明:h在问题中起着举足轻重的地位,就要考虑量子效应.或者说:该物理量变化是量子化的.
1)例如自由电子的动量P
实验给出任意数值的动量;理论上,动量算符的本征值可以可以连续变化.
角动量平方:理论只能取分立数值,实验也不能连续取值.
(2)搞物理的人,有些语言如果要仔细追究,可能是最无理的!
例如宏观物理的研究对象是:
1)包含有大量的原子分子,否则就不能称为宏观.没有办法与宏观实验说话!
2)长度,时间,质量等物理量可以无限小,否则没有办法使用数学上的极限,导数,微分等概念.
两头都要!这就是搞物理的无理!所以物理系也称为无理系.
1)先确定研究对象,例如我的研究对象是电磁场.电磁场能量,动量当然可以变化,问题是这个变化能否任意小?
如果能,则称该电磁场是连续的.或可以连续变化.
如果不能,则该场能量,动量应该存在一个最小的变化单位,这个最小的变化单位就是该电磁场的量子.
2)实际问题中是否一定要考虑量子效应?
我认为是不一定,应该由问题的性质决定.例如我的研究对象是世界人口,在这个具体问题中,一个人就是人口这个研究对象的量子.根据你的研究,你可以说:现在世界人口是80亿.如果我说:不对!因为在我上网前后医院刚死了一个,正确的数目应该是(80亿-1)个!我的说法就是无理.
但是如果研究对象是我所在的教学班,80人就是80人,多一个少一个都不行,此时量子效应不考虑就是错误的.
3)量子效应通常与普朗克常数h有直接的关系.一个直观的判断就是:在实际问题中,如果让h→0,对问题没有实际影响,这个问题就可以按经典问题处理.或者说:这个问题可以按连续变化处理,反之如果让h→0,问题变得无意义,这说明:h在问题中起着举足轻重的地位,就要考虑量子效应.或者说:该物理量变化是量子化的.
1)例如自由电子的动量P
实验给出任意数值的动量;理论上,动量算符的本征值可以可以连续变化.
角动量平方:理论只能取分立数值,实验也不能连续取值.
(2)搞物理的人,有些语言如果要仔细追究,可能是最无理的!
例如宏观物理的研究对象是:
1)包含有大量的原子分子,否则就不能称为宏观.没有办法与宏观实验说话!
2)长度,时间,质量等物理量可以无限小,否则没有办法使用数学上的极限,导数,微分等概念.
两头都要!这就是搞物理的无理!所以物理系也称为无理系.