一维势箱薛定谔方程及其解
先提两点要求1.本帖拒绝回答问题；2.我会给出专门的水层，非此楼层回复，我很可能删掉。
我明年就要毕业了，此时不开讲，以后难以有机会，思忖良久，还是装一下逼好了。
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薛定谔方程的由来：
微观粒子由于其波性，往往不可以线性轨迹的方程来描述其空间物理状态。所以物理学家想到了用波动方程来描述微观粒子的位置、动量、能量等状态。并且想把波动变化的状态转化为用平均值来描述的状态。这种波动方程在数学上叫做算符。由于粒子的能量是可以不变的，所以一般从能量入手，设能量算符乘以某个方程等于能量平均值(也就是能量的数值)乘以某个方程，而这里的“某个方程”，其实就是薛定谔方程。
微观粒子由于其波性，往往不可以线性轨迹的方程来描述其空间物理状态。所以物理学家想到了用波动方程来描述微观粒子的位置、动量、能量等状态。并且想把波动变化的状态转化为用平均值来描述的状态。这种波动方程在数学上叫做算符。由于粒子的能量是可以不变的，所以一般从能量入手，设能量算符乘以某个方程等于能量平均值(也就是能量的数值)乘以某个方程，而这里的“某个方程”，其实就是薛定谔方程。
能够满足上述需求的算符，需要满足两个条件：该算符是线性算符，该算符是自轭算符。概念不解释，我解释不清，你也很可能看不懂，自己去百度百科看相关概念。如果某个物理量能随位置而确定，则其算符就是它本身，不能则是以其线性共轭算符表示，来参与运算。
动量的算符表达形式如下，严格推导很复杂，略去，以此可以推导出能量算符：
动量的算符表达形式如下，严格推导很复杂，略去，以此可以推导出能量算符：
一维势箱粒子的概念：
一个微观粒子，在一个一维区域中，以量子状态运动，该粒子质量为m，位置处于0到l之间时，势能为零，其他地方势能无穷大，所以它的运动范围就在0到l之间。这个限制粒子运动的一维空间，就叫一维势箱
一个微观粒子，在一个一维区域中，以量子状态运动，该粒子质量为m，位置处于0到l之间时，势能为零，其他地方势能无穷大，所以它的运动范围就在0到l之间。这个限制粒子运动的一维空间，就叫一维势箱
箱子内部，V=0，所以能量完全由动能部分构成。推导得式①，这个二阶齐次方程的通解为②(高等数学问题)。我们知道，当x为0时，粒子出现概率为零，而薛定谔方程φ乘以它的线性共轭算符就是粒子出现的概率，所以此处φ=0，代入②，可以求得第一个常数C1=0，类似地，当x=l，则有方程③。要是C2也等于零，那φ就总是等于零了，所以就得到方程④
再把C1=0和④式带入②，得φ(x)=C2sin(nπx/l)，由于从零到l，粒子的总概率密度为一，用数学式表示为⑤，将其展开如⑥式，即C2=√(2/l)，所以一维势箱粒子的波函数为下图最后一个方程：
一维势箱问题，研究的其实就是微观粒子的定域运动。基态电子在原子核外的运动就是这样的运动。类似的波形图可以在s轨道电子的x-φ图中看到，n越大，也就是电子层数越大，波峰就越多，导致了一种叫做钻穿效应的现象越明显。
类似于一维势箱粒子运动的，还有夸克。夸克之间的强相互作用力就很类似于一维势箱：强相互作用是一种吸引力，作用于强子。夸克就是一类强子。一定范围内，强子间距离越大，强相互作用越强烈，接近这个范围内边界的时候，强力会剧增，而强子越接近，强力则会越弱。这很像一维势箱粒子的定域运动。