拓扑绝缘体自2007年被发现[1]以来，逐渐成为了凝聚态物理领域的一个的新热点，并被认为是继石墨烯（2010年诺贝尔物理学奖）之后的”Next Big Thing”。它对于基础物理的理解以及半导体器件的应用都有很大的价值，因此三位主要的贡献者C. Kane, L. Molenkamp和S.C. Zhang教授共同获得了2012年凝聚态物理领域的最高奖”Oliver Buckley”奖，并且成为2014年诺贝尔物理学奖的热门人选。本文就是对于拓扑绝缘体领域的小科普。在这个领域里，已经有很多很好的综述文章[2,3]和教材[4]，加上本人的理解很有限，所以拙文实在是一个班门弄斧的举动（所以很多年里我一直不好意思写），只能望各路大神海涵。尽管如此，大家不妨把本文当作一个粗浅的科普尝试，在这个尝试下，不需要什么数学的中学生也许也能读懂。那样，也就多少有些意义。

一、定义
广义来看，拓扑绝缘体的定义有很多种——把原有的定义经过修改，获得的物态或多或少具有拓扑绝缘体的性质。然而这样却使得很难下定义。比如（跳过这段不影响理解），
如果有人直观的把近代物理学的”自旋-轨道耦合”当定义的要素，就有人会说“能带反转”更加接近拓扑本质；
如果有人说”能带反转”是定义的要素，那么就有人说受“时间反演保护”也不可或缺；
如果有人把“受时间反演保护“作为定义的要素，就有人会说其他对称性也可能产生拓扑绝缘体；
如果有人只是考虑被对称性保护，那么量子霍尔效应也满足这个条件，只是不同的拓扑数罢了；
然而当对称破缺的时候，量子霍尔效应的很多性质，已经和拓扑绝缘体相隔甚远：拓扑绝缘体是helical state，对称破缺后下能回到普通绝缘体，而量子霍尔效应是chiral 态，即使没有长程纠缠也变不回变为直积态。


即使有人想回归材料的角度，比如Bi2Se3族的拓扑绝缘体说起，然而这只是实验上发现的一小类拓扑绝缘体，叫做”Z2三维强拓扑绝缘体”。。。

看吧！很难下定义吧。本文作为小科普，选用一个折中的定义。

简言之，拓扑绝缘体的内部是绝缘体，然而表面却有被拓扑保护的电子态。这个电子态的维度比内部要低1个维度（比如对一个3维绝缘体，表面电子态就是2维），而且有很多新奇的性质。也正是这些性质，使得它有可能被广泛的应用。下一节就逐条介绍表面电子态的性质。

二、性质


在目前已有大量实验研究的那一类拓扑绝缘体的新奇的表面电子态的性质通常如下：


1. 这个表面的电子态是导体。
导体和绝缘体的区别，参考我的另一篇科普《能带论——影响20世纪的重要理论》。简言之，原子的能级，在原子之间有相互作用的时候，形成能带。这里重新简述如下，如下图1：





导体能导电是由于存在自由电子。自由电子就是电子（哆啦蓝色的实心圆）不费力气被散射，到同一条能带上的空态上（哆啦蓝色的空心圆）落脚。






对于一个绝缘体，不能导电是由于没有自由电子。就是能量较低的价带（橙色曲线）填满电子，已经没有电子落脚点，所以电子想要被散射变成自由电子，就至少需要外界提供超过数值为Eg的能量（叫做能隙），才能落脚到导带（绿色曲线）上。


在这里，导体和绝缘体都有这样的能量E和动量k的关系，E=k^2/2m. m为有效质量，对于价带，可以认为 m<0.
这个性质是普通绝缘体表面所没有的。普通绝缘体表面，尽管能带可以弯曲，但还是属于绝缘体，能隙不会消失。能隙的消失，就属于一种量子相变。

2. 这个导体不是普通的导体，而是可以防止被乱七八糟的东西散射。
所谓电阻，就是电子的运动被神马玩意儿给碰撞阻碍了。如图1b，绝缘体电阻是由于能隙，然而金属的电阻里的“神马玩意儿”有几个常见的来源，一个是电子被声子碰撞，一个是电子被杂质碰撞。假设下图2里，哆啦A梦代表电子，胖虎是来撞他的杂质，那么拓扑绝缘体的表面电子防止被杂质散射的过程可以形象的的表示为电子是否能背向散射（弹回去）：






正是这个性质导致了低电阻，而内部是绝缘体又防止了漏电，从而制造的器件以低功耗运行，使得拓扑绝缘体在半导体器件应用领域有潜在的价值。

3. 不但防止背向散射，电子还像光一样自由
拓扑绝缘体的电子运动不符合通常金属电子色散关系E=k^2/2m，而是E=v*k，v就是电子运动的速率（已假定k0=0）。注意对光而言，有E=c*k成立，其中c为光速，所以我们说，电子的运动方式，不像非相对论的粒子，而像光，只是速率不同。画在能带图里，如下图3.






也正是这个性质，使得电子对于外界电场有很灵敏的响应，从而可以作为半导体器件（比如场效应管）的基础。

4. 拓扑绝缘体表面态的电子，还有自旋结构
关于自旋的基本概念，请参考我的另一篇科普《电子的自旋： 我们活在什么样的空间里》。 在拓扑绝缘体里，它的能带不单单是像3b或者4a那样的线性色散，而且还带有自旋结构。这个自旋结构，就是电子的动量和自旋，呈一个固定的角度（叫做自旋-动量锁定），简化为如图4b：对于k>0的电子，自旋为正，而对于k<0的电子，自旋为负。






正是自旋使得拓扑绝缘体表面态比通常的半导体微纳电子器件多了一个可调节的自由度，比如分开控制自旋向上和自旋向下的电子流，从而可以在自旋电子学(spintronics)领域有重要应用。

三、成因

我们已经了解了在拓扑绝缘体表面电子态的一系列新奇的性质。然而，这个表面电子态是怎么形成的呢？ 既然名字叫做“拓扑绝缘体”，我们就要从拓扑说起。
拓扑作为数学的一个分支，研究和物体形状有关的性质，比如在物体被连续形变的时候，还能够保持不变的不变量。比如下图的例子：一个水杯可以连续的变形之后，变成一个多纳圈。尽管水杯和多纳圈在几何的意义上不同（快餐店”Dunkin Donuts”卖的多纳圈是水杯状的话不知道还会不会有人买），但在拓扑的意义下却是等价的。然而，一个多纳圈却不能连续变换为一个球，因为必须要让那个“圈”闭合，如下示意图5：




作为和拓扑绝缘体更相关的拓扑的例子，考察下图6。这就是一张普通的A4纸（上面写了一个笑话），没有用粘连的等方式，仅仅通过简单的剪裁和拓扑的威力，就可以把纸变成这样。这张纸和普通的A4纸有什么本质的区别？答案就在拓扑上：这张“拓扑的纸”，是把普通的纸的一半拧了之后得到的（不妨把它作为谜题，找一张纸自己试试看），这个过程相当于给这张纸打了个结。它和图5的多纳圈一样，都带有一个的拓扑数。




如果觉得这样纸很神奇的话，那么也就不难想象拓扑绝缘体的表面电子态的神奇之处了：和这张纸类似，只要对内部的绝缘体的能带打个结，就必然会有一个特殊的电子态出现表面上。这个结是怎么打的呢？见下图7。






首先，把拓扑绝缘体的内部的价带和导带当成两条绳子，如图a)。如前述，拓扑绝缘体内部是绝缘体，所以有如图1b的能带结构。
其次，通过把两个绳子连续变形，把两根绳子放在一起（能带反转），如图b)，准备打结。图a)和图b)的区别好比水杯和多纳圈，只不过这里形变的是能带本身。在图b)形变之后，我们可以认为能隙Eg是负数。
再次，把已经打好结的两根绳子分离，如图c)。能让绳子分开的一种重要的机制正是自旋-轨道耦合。由于打结就是两根绳子混入彼此，所以原有的价带的一部分混入导带，原有的导带的一部分也混入价带。
最后，由于打好结的绳子和原来的绳子并没有剪断（因为是叫连续变形），所以好像“拉橡皮筋”一样存有一定的连结，如图d)。这个连结就是拓扑的神奇表面态，黄线所表示的表面态能带的正是图4b的黄线。就好象系死结，只要不强行把死结剪断（非连续形变），不管绳子怎么动，死结还在那里一样，从物理的角度，由对称性和相关的Kramers定理，这个结也一定存在，就是两根黄线的交点，叫做Dirac点。 这样，拓扑绝缘体就形成了。

然而，一个剩下的重要问题是：为什么非得是在表面？为什么这个奇异的态一定比内部的绝缘体少一个维度？比如3维的拓扑绝缘体的导电部分是表面的2维电子，与之类似的，在2维的量子霍尔效应里，有能隙的结构是2维，然而霍尔电导却在有能隙的情况下存在，正是由于在样品边缘处的1维的电子产生的。这个Bulk-Surface Correspondance的问题其实非常深刻，甚至能一路追溯到超弦理论/共形场论的对偶（AdS/CFT Duality)。一个简单的解释见图8：






由于普通绝缘体和拓扑绝缘体的区别在于不同的拓扑（打结与否），那么就可以用不同拓扑的物体来描述，比如多纳圈（图8a）和球（图8b）。然而有趣的是发生在拓扑绝缘体和普通绝缘体（比如真空，空气）的界面处： 这个界面就是材料表面，显然存在，然而一个多纳圈却不能连续的形变成一个球。为了从多纳圈变为球，就必须把那个洞给闭合上，即不连续变化，或说拓扑变化。同样，拓扑绝缘体的能带也没法通过连续变形，变成一般绝缘体的能带。这中间需要一个不连续变化，就是把能隙关闭的量子相变。能隙关闭就是图1a中提到的导体，也就是产生了那个新奇的拓扑态，如图9：






这样，拓扑绝缘体就形成了。




[1] Science 318(5851), 766-770 (2007).
[2] Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010).
[3] Rev. Mod. Phys. 83, 1057 (2011).
[4] Topological Insulators: Dirac Equation in Condensed Matters (Springer Series in Solid-State Sciences, Vol 174), Springer 2013.