【科普】纯几何解释双生子佯谬问题！
昨天在吧里询问程心飞船的问题，扯了半天都没讨论清楚，今天查询了一下，总算能对双生子佯谬问题有个解释，分享如下：
佯谬：顾名思义，看起来是谬论，其实不然。弟弟留在地球，哥哥从地球出发，近光速飞行一圈后回来，发现比弟弟年轻了。根据狭义相对论，哥哥的时间变慢了， 但运动是相对的，弟弟的时间也应该变慢，那最后到底是哥哥年轻还是弟弟年轻？
由于哥哥坐标系有加速和减速情况，因此用坐标时来比较相当复杂，所以应该用固有时比较。固有时之差就是哥哥年轻多少的时间。
我们知道，固有时间可以用各自在闵氏空间中运动轨迹的四维长度除以光速得到，这个四维长度是不依赖于参照系的。
假定哥哥出行到达的最远点为L，出行去程速度和回程速度都是v;。则弟弟的世界线是沿ADEC的一条直线，哥哥的世界线是折线ABC。为了绘图方便，图中L取成1，v=0.5 c。
令β=v/c，则B点坐标为：x =L，ct=L/β；
C点坐标为： x =0，ct=2*L/β
红色的双曲线的曲线方程为：x^2-(ct)^2=L^2*(1-1/β^2)
蓝色双曲线方程为：x^2-(2L/β-ct)^2= L^2*(1-1/β^2)
由于闵可夫斯基时空的特点，四维线长可以用公式来计算：
△s=((c*△t)^2-(△x)^2)^(1/2)
因此连接A点到红色的双曲线上的任何一点的直线段的四维线长，都是相等的（对比欧氏空间，欧氏空间中和一点距离相当的点，是在一个圆周上。而闵氏时空则是在两条双曲线上）。也就是从A点开始沿直线段走到红色双曲线上任意一点所花费的固有时，也就是线长除以光速都相等。同样的道理，蓝色双曲线上的点，沿直线段走到C点所花费的固有时也都相等。因此有AB的固有时等于AD的固有时，BC的固有时等于EC的固有时，而线段AC比AD加上EC还要长出DE一段，所以可以知道ADEC这条路径比ABC这条路径耗费的固有时要长。这样留在地球上的弟弟要比出行的哥哥度过了更长的时间，也就是说，见面时哥哥比弟弟年轻。
选用不同的参考系作为基准坐标系，A、B、C、D、E点，会沿双曲线移动，因此固有时不变，也就是说在任何参照系看，结果都是一样的。
佯谬：顾名思义，看起来是谬论，其实不然。弟弟留在地球，哥哥从地球出发，近光速飞行一圈后回来，发现比弟弟年轻了。根据狭义相对论，哥哥的时间变慢了， 但运动是相对的，弟弟的时间也应该变慢，那最后到底是哥哥年轻还是弟弟年轻？
由于哥哥坐标系有加速和减速情况，因此用坐标时来比较相当复杂，所以应该用固有时比较。固有时之差就是哥哥年轻多少的时间。
我们知道，固有时间可以用各自在闵氏空间中运动轨迹的四维长度除以光速得到，这个四维长度是不依赖于参照系的。
假定哥哥出行到达的最远点为L，出行去程速度和回程速度都是v;。则弟弟的世界线是沿ADEC的一条直线，哥哥的世界线是折线ABC。为了绘图方便，图中L取成1，v=0.5 c。
令β=v/c，则B点坐标为：x =L，ct=L/β；
C点坐标为： x =0，ct=2*L/β
红色的双曲线的曲线方程为：x^2-(ct)^2=L^2*(1-1/β^2)
蓝色双曲线方程为：x^2-(2L/β-ct)^2= L^2*(1-1/β^2)
由于闵可夫斯基时空的特点，四维线长可以用公式来计算：
△s=((c*△t)^2-(△x)^2)^(1/2)
因此连接A点到红色的双曲线上的任何一点的直线段的四维线长，都是相等的（对比欧氏空间，欧氏空间中和一点距离相当的点，是在一个圆周上。而闵氏时空则是在两条双曲线上）。也就是从A点开始沿直线段走到红色双曲线上任意一点所花费的固有时，也就是线长除以光速都相等。同样的道理，蓝色双曲线上的点，沿直线段走到C点所花费的固有时也都相等。因此有AB的固有时等于AD的固有时，BC的固有时等于EC的固有时，而线段AC比AD加上EC还要长出DE一段，所以可以知道ADEC这条路径比ABC这条路径耗费的固有时要长。这样留在地球上的弟弟要比出行的哥哥度过了更长的时间，也就是说，见面时哥哥比弟弟年轻。
选用不同的参考系作为基准坐标系，A、B、C、D、E点，会沿双曲线移动，因此固有时不变，也就是说在任何参照系看，结果都是一样的。