【月谈逻辑01】用韦恩图理解命题的与或非
大家都知道思考集合问题的时候韦恩图是个好东西，实际上，对于命题的各种与或非运算，用韦恩图来理解同样会很直观。
当初学到集合的交并补运算和逻辑与或非的时候，我就注意到集合运算和逻辑运算法则完全雷同，交=与，并=或，非=补，于是我在处理逻辑与或非运算的时候，直接当成集合运算，进而用韦恩图思考，抽象的逻辑问题会变得形象很多。
现在先来喵喵集合运算跟逻辑运算之间的基情。
下面这段如果学过逻辑真值表的会比较好理解点(看不懂就略过吧，我说的不好，吧友也可以自己想想集合运算和逻辑运算的关系，欢迎补充意见~）。
对于n个命题的一个运算F(a1,a2,...,an)，考虑n个集合的韦恩图(A1,A2,...,An)，这里统一用小写字母表示命题，大写字母表示对应的集合。
n个命题共有2^n种真值结果，所谓的真值结果是指诸如“a1为真，a2为假，a3假，...”这样的一个结果；而n个集合的韦恩图刚好也被分成2^n个区域，某个区域表示着“在A1内，在A2外，在A3外...”！
显然，我们可以把这2^n个结果和2^n个区域建立一个对应关系，结果的ai为真那么其对应的区域就在Ai内！
那么，（a1且a2），其实是表示满足“a1为真，a2为真,...”的共2^(n-2)个结果集合，对应着韦恩图上满足“在A1内，在A2内”的区域，也就是A1交A2；
（a1或a2），是表示满足“a1为真...”或满足“a2为真...”的结果集合，对应着韦恩图上满足“在A1内”或在“A2内”的区域，也就是A1并A2；
非a1显然就是对应A1的补集。
理论说完了，看不太明白不要紧（我自己都感觉没说明白），重要的是结论：
命题的与或非运算等价于集合的交并补运算，把命题运算看成是集合运算，然后就可以亮出你的韦恩图来理解。
好了，现场实践下，求证：(非a 或 b) 且 (!b或a) = (非a且非b)或（a且b）
吧友试试不用韦恩图来证明这个等式，估计没学过逻辑化简的吧友死一堆脑细胞都整不出来。
现在跟我一起用牛逼的韦恩图秒杀此题，画下韦恩图就知道两者的结果都是如下的红色部分：
当初学到集合的交并补运算和逻辑与或非的时候，我就注意到集合运算和逻辑运算法则完全雷同，交=与，并=或，非=补，于是我在处理逻辑与或非运算的时候，直接当成集合运算，进而用韦恩图思考，抽象的逻辑问题会变得形象很多。
现在先来喵喵集合运算跟逻辑运算之间的基情。
下面这段如果学过逻辑真值表的会比较好理解点(看不懂就略过吧，我说的不好，吧友也可以自己想想集合运算和逻辑运算的关系，欢迎补充意见~）。
对于n个命题的一个运算F(a1,a2,...,an)，考虑n个集合的韦恩图(A1,A2,...,An)，这里统一用小写字母表示命题，大写字母表示对应的集合。
n个命题共有2^n种真值结果，所谓的真值结果是指诸如“a1为真，a2为假，a3假，...”这样的一个结果；而n个集合的韦恩图刚好也被分成2^n个区域，某个区域表示着“在A1内，在A2外，在A3外...”！
显然，我们可以把这2^n个结果和2^n个区域建立一个对应关系，结果的ai为真那么其对应的区域就在Ai内！
那么，（a1且a2），其实是表示满足“a1为真，a2为真,...”的共2^(n-2)个结果集合，对应着韦恩图上满足“在A1内，在A2内”的区域，也就是A1交A2；
（a1或a2），是表示满足“a1为真...”或满足“a2为真...”的结果集合，对应着韦恩图上满足“在A1内”或在“A2内”的区域，也就是A1并A2；
非a1显然就是对应A1的补集。
理论说完了，看不太明白不要紧（我自己都感觉没说明白），重要的是结论：
命题的与或非运算等价于集合的交并补运算，把命题运算看成是集合运算，然后就可以亮出你的韦恩图来理解。
好了，现场实践下，求证：(非a 或 b) 且 (!b或a) = (非a且非b)或（a且b）
吧友试试不用韦恩图来证明这个等式，估计没学过逻辑化简的吧友死一堆脑细胞都整不出来。
现在跟我一起用牛逼的韦恩图秒杀此题，画下韦恩图就知道两者的结果都是如下的红色部分：
我越来越不理解逻辑里的‘’或‘’了，请教下，像‘’A→B‘’等价与‘’~A或B‘这样的结论能画出类似的图来吗？’
————————————————————————————————————————
左边的圈表示A，右边表示B，1表示A真B假，2表示A真B真，3为A假B真，4为A假B假
首先，把“若A则B”理解成如下（至于为什么能这么理解之后再说）
如果A为真，那么B也要真；如果A为假，那么B可能真也可能假。（*）
按照（*）的理解，1不符合，因为1中A真B假，2符合，3和4都符合，所以“若A则B”对应的区域是2或3或4，而“非A或B”显然也是对应2或3或4。
至于为什么“若A则B”能理解成（*）呢，当我说“如果今天下雨，那么我就不外出”这句话时，我其实只是对“下雨了”这种情况断言，如果实际没有下雨，我无论是否外出我都没有说谎，所以当我说“若A则B”时，隐藏着“若非A那么B怎么样都行”的意思，所以“若A则B”理解成（*）是合理的。当然语言本身也是一种其实也是一种约定，当我说“如果今天下雨，那么我就不外出”，很可能会有人认为我还包含着潜意思“如果不下雨，我就外出”，也即认为“若A则B”是
如果A为真，那么B也为真；如A为假，那么B为假（#）
显然，从语言本身的逻辑上看，若A则B，我就是针对A为真的情况作了判断，A为假的情况我不做任何判断，而（#）强行给我加了个针对A为假的情况的判断，显然（#）这种理解不是由语言本身的逻辑而来的，而更多是一种经验。
————————————————————————————————————————
左边的圈表示A，右边表示B，1表示A真B假，2表示A真B真，3为A假B真，4为A假B假
首先，把“若A则B”理解成如下（至于为什么能这么理解之后再说）
如果A为真，那么B也要真；如果A为假，那么B可能真也可能假。（*）
按照（*）的理解，1不符合，因为1中A真B假，2符合，3和4都符合，所以“若A则B”对应的区域是2或3或4，而“非A或B”显然也是对应2或3或4。
至于为什么“若A则B”能理解成（*）呢，当我说“如果今天下雨，那么我就不外出”这句话时，我其实只是对“下雨了”这种情况断言，如果实际没有下雨，我无论是否外出我都没有说谎，所以当我说“若A则B”时，隐藏着“若非A那么B怎么样都行”的意思，所以“若A则B”理解成（*）是合理的。当然语言本身也是一种其实也是一种约定，当我说“如果今天下雨，那么我就不外出”，很可能会有人认为我还包含着潜意思“如果不下雨，我就外出”，也即认为“若A则B”是
如果A为真，那么B也为真；如A为假，那么B为假（#）
显然，从语言本身的逻辑上看，若A则B，我就是针对A为真的情况作了判断，A为假的情况我不做任何判断，而（#）强行给我加了个针对A为假的情况的判断，显然（#）这种理解不是由语言本身的逻辑而来的，而更多是一种经验。
然后就是~A或B了，你看，按这个图，~A或B 是 包含有~B这个部分的，就是这个让我困惑。
————————————————————————————————————
@angelycs
我画的图是从一般的韦恩图中找出满足“若A则B”的区域，而你这个图是我那图中取出满足的区域（2,3,4），也就是说，你这个图所有区域都是满足的，已经去掉了我图里的区域1（~B且A），所以你这个图的~B相当于是（~B且~A），也就是我图的区域4.
这两种画法思路稍有不同，但结果都是一样的，我的画法是先画出两命题所有可能的关系，然后根据“若A则B“这个命题找出满足的关系；而你的图是直接根据”若A则B”画出A与B的关系，所以你图所有区域都是符合“若A则B”关系，已经包含了A和B的一些关系限制，故~B已经包括了~A。
————————————————————————————————————
@angelycs
我画的图是从一般的韦恩图中找出满足“若A则B”的区域，而你这个图是我那图中取出满足的区域（2,3,4），也就是说，你这个图所有区域都是满足的，已经去掉了我图里的区域1（~B且A），所以你这个图的~B相当于是（~B且~A），也就是我图的区域4.
这两种画法思路稍有不同，但结果都是一样的，我的画法是先画出两命题所有可能的关系，然后根据“若A则B“这个命题找出满足的关系；而你的图是直接根据”若A则B”画出A与B的关系，所以你图所有区域都是符合“若A则B”关系，已经包含了A和B的一些关系限制，故~B已经包括了~A。
换个角度看，F(A,B)这个运算看成是描述A，B的关系以及与空集，全集之间的关系。
比如，6楼的图中，结果为2表示（下面没特别说明为空集的都不是空集）
A=B，~A为空集；
结果为2并3表示
A包含于B，~B为空集。
结果为3表示：
A为空集，~B为空集
结果为1并3表示：
A与B没有交集，~A且~B为空集。
对于“若A则B”，表示的是
A包含于B（跟你的上图一样）（也就是6楼图的2，3，4表示的关系）
而“非A或B”，结果也是2，3，4.
好了，为什么你的下图表示的关系不一样呢？
你的下图先不看”非A或B“这个描述表示的关系，其本身就已经描述了”A和B没有交集“这个关系，自然结果就不一样。
比如，6楼的图中，结果为2表示（下面没特别说明为空集的都不是空集）
A=B，~A为空集；
结果为2并3表示
A包含于B，~B为空集。
结果为3表示：
A为空集，~B为空集
结果为1并3表示：
A与B没有交集，~A且~B为空集。
对于“若A则B”，表示的是
A包含于B（跟你的上图一样）（也就是6楼图的2，3，4表示的关系）
而“非A或B”，结果也是2，3，4.
好了，为什么你的下图表示的关系不一样呢？
你的下图先不看”非A或B“这个描述表示的关系，其本身就已经描述了”A和B没有交集“这个关系，自然结果就不一样。