十二球问题解法思路的条理化归纳
【以下内容，原为另一个话题楼里面的回复帖，该话题楼已经被删（可能是被看做重复题目了）。但鄙人认为这些内容还是有意义的，故单作一话题另发，有修改。】
十二球问题是：有十二个乒乓球特征相同，其中只有一个重量异常（假球），现在要求用一部没有砝码的天平称三次，将那个重量异常的假球找出来，并且分辨假球是偏重还是偏轻。
这个题目已经讨论过多次，答案不难检索到。但是因为解法步骤的描述过于繁琐，即使查到了答案往往也看不明白。例如@C爪机留名C兄的帖子《完美终结12球1异常》（http://tieba.baidu.com/p/3931300028）中，叙述已经相当清晰完整了，但后面仍然有许多跟帖质疑者，而质疑的主要原因就是“没看清”。
所以我想改个叙述方式，不去直接叙述解法步骤，而是把解法的思路分解为若干较小的要点，按先简后繁的次序来分别解释，或许会容易理解一些？
首先，先列出以下结论，各位不妨先分别想想这些结论对不对，后面我再解释：
一、如果预先知道假球的轻重，那么
(1) 称1次，可以从3个中挑出假球。
(2) 称2次，可以从9个中挑出假球。
(3) 称3次，可以从27个中挑出假球。
推而广之，称N次，就可以从3^N个球中挑。
二、如果虽不知道假球的轻重，但知道：“假如假球在某几个中则假球为轻，否则假球为重”，那么同样
(1) 称1次，可以从3个中挑出假球。
(2) 称2次，可以从9个中挑出假球。
(3) 称3次，可以从27个中挑出假球。
同样，称N次，就可以从3^N个球中挑。
三、如果完全不不知道假球的轻重，且要求在挑出假球时能得出它是轻还是重，那么：
(1) 称1次，只可以从1个中挑。
(2) 称2次，可以从4个中挑。
(3) 称3次，可以从12个中挑。
下面，再解释这些情况下的具体做法。
（待续）
十二球问题是：有十二个乒乓球特征相同，其中只有一个重量异常（假球），现在要求用一部没有砝码的天平称三次，将那个重量异常的假球找出来，并且分辨假球是偏重还是偏轻。
这个题目已经讨论过多次，答案不难检索到。但是因为解法步骤的描述过于繁琐，即使查到了答案往往也看不明白。例如@C爪机留名C兄的帖子《完美终结12球1异常》（http://tieba.baidu.com/p/3931300028）中，叙述已经相当清晰完整了，但后面仍然有许多跟帖质疑者，而质疑的主要原因就是“没看清”。
所以我想改个叙述方式，不去直接叙述解法步骤，而是把解法的思路分解为若干较小的要点，按先简后繁的次序来分别解释，或许会容易理解一些？
首先，先列出以下结论，各位不妨先分别想想这些结论对不对，后面我再解释：
一、如果预先知道假球的轻重，那么
(1) 称1次，可以从3个中挑出假球。
(2) 称2次，可以从9个中挑出假球。
(3) 称3次，可以从27个中挑出假球。
推而广之，称N次，就可以从3^N个球中挑。
二、如果虽不知道假球的轻重，但知道：“假如假球在某几个中则假球为轻，否则假球为重”，那么同样
(1) 称1次，可以从3个中挑出假球。
(2) 称2次，可以从9个中挑出假球。
(3) 称3次，可以从27个中挑出假球。
同样，称N次，就可以从3^N个球中挑。
三、如果完全不不知道假球的轻重，且要求在挑出假球时能得出它是轻还是重，那么：
(1) 称1次，只可以从1个中挑。
(2) 称2次，可以从4个中挑。
(3) 称3次，可以从12个中挑。
下面，再解释这些情况下的具体做法。
（待续）
（续）
下面，依次解释上述各种情况下的具体做法。
下面所述的步骤中，有些地方需要借用“标准球”来做比较。这一点，在这个问题的大背景中显然是可以的。例如下面的“三(2)”，既然已经断定假球就在这四个中，那么这四个以外的球都是可以用作标准球的了。
一、预先知道假球的轻重，那么：
每称一次时，把准备挑的球分成三等分，两份放在天平两边，一份留在旁边。结果有三种：左边重、右边重、两边平。就可以把需要挑的范围缩小到原来的三分之一了。所以：(1) 称1次，可以从3个中挑；(2) 称2次，可以从9个中挑；(3) 称3次，可以从27个中挑。
二、虽不知道假球的轻重，但知道：“假如假球在某几个中则假球为轻，否则假球为重”的情况（为便于叙述，我们称不可能偏轻只可能偏重的球为A类；称不可能偏重只可能偏轻的球为B类）：
同样把准备挑的球分成三等分，两份放在天平两边，一份留在旁边。
但是分组时需满足要求：或者，使天平两边全同是A类或全同是B类，或者，使天平左边的A类球与天平右边的A类球一样多，天平左边的B类球与天平右边的B类球一样多。如下图示意。
不难证明，这种分法一定是可以做到的。
于是，称后如果两边平，假球就在留在天平外的那一组中；如果左边重，假球就在左边的A类球和右边的B类球中；如果右边重，假球就在右边的A类球和左边的B类球中。如下图示意。
这样，同样可以吧需要挑的范围缩小到原来的三分之一了。
（待续）
下面，依次解释上述各种情况下的具体做法。
下面所述的步骤中，有些地方需要借用“标准球”来做比较。这一点，在这个问题的大背景中显然是可以的。例如下面的“三(2)”，既然已经断定假球就在这四个中，那么这四个以外的球都是可以用作标准球的了。
一、预先知道假球的轻重，那么：
每称一次时，把准备挑的球分成三等分，两份放在天平两边，一份留在旁边。结果有三种：左边重、右边重、两边平。就可以把需要挑的范围缩小到原来的三分之一了。所以：(1) 称1次，可以从3个中挑；(2) 称2次，可以从9个中挑；(3) 称3次，可以从27个中挑。
二、虽不知道假球的轻重，但知道：“假如假球在某几个中则假球为轻，否则假球为重”的情况（为便于叙述，我们称不可能偏轻只可能偏重的球为A类；称不可能偏重只可能偏轻的球为B类）：
同样把准备挑的球分成三等分，两份放在天平两边，一份留在旁边。
但是分组时需满足要求：或者，使天平两边全同是A类或全同是B类，或者，使天平左边的A类球与天平右边的A类球一样多，天平左边的B类球与天平右边的B类球一样多。如下图示意。
不难证明，这种分法一定是可以做到的。
于是，称后如果两边平，假球就在留在天平外的那一组中；如果左边重，假球就在左边的A类球和右边的B类球中；如果右边重，假球就在右边的A类球和左边的B类球中。如下图示意。
这样，同样可以吧需要挑的范围缩小到原来的三分之一了。
（待续）
（续）
三、如果完全不不知道假球的轻重，且要求在挑出假球时能得出它是轻还是重，那么：
(1) 称1次，只可以从1个中挑。
——已经知道这一个是假球，称一次只不过是拿它和一个标准球比较一下。即可。
(2) 称2次，可以从4个中挑。
——分成3、1两组，将这三个和另外三个标准球称一次比较。若不等重，则假球就在这三个中且已经知道轻还是重，下一步按照上面“一(1)”即可。
——若这三个和标准球比较后等重，则假球就是这另一个，下一步按“三(1)”即可。
(3) 称3次，可以从12个中挑。
——分三组：4，4，4。两份放在天平两边，一份留在旁边。
——如果称后两边平，假球就在留在旁边的那一组4个中。于是按照上面的“三、(2)”，再称两次就可以了。
——如果称后两边不平，则假球就在天平上的8个中，且已经知道有4个属于A类，有四个属于B类。于是按照上面的“二、(2)”，再称两次就可以了。上面的“二、(2)”可以从9个中挑，现在只有8个当然更可以了（例如可以配上一个标准球，还可以有别的灵活做法）。
完了。怎么样？
（待续）
三、如果完全不不知道假球的轻重，且要求在挑出假球时能得出它是轻还是重，那么：
(1) 称1次，只可以从1个中挑。
——已经知道这一个是假球，称一次只不过是拿它和一个标准球比较一下。即可。
(2) 称2次，可以从4个中挑。
——分成3、1两组，将这三个和另外三个标准球称一次比较。若不等重，则假球就在这三个中且已经知道轻还是重，下一步按照上面“一(1)”即可。
——若这三个和标准球比较后等重，则假球就是这另一个，下一步按“三(1)”即可。
(3) 称3次，可以从12个中挑。
——分三组：4，4，4。两份放在天平两边，一份留在旁边。
——如果称后两边平，假球就在留在旁边的那一组4个中。于是按照上面的“三、(2)”，再称两次就可以了。
——如果称后两边不平，则假球就在天平上的8个中，且已经知道有4个属于A类，有四个属于B类。于是按照上面的“二、(2)”，再称两次就可以了。上面的“二、(2)”可以从9个中挑，现在只有8个当然更可以了（例如可以配上一个标准球，还可以有别的灵活做法）。
完了。怎么样？
（待续）
（续）
再补充说明一点：
上面的具体操作，某些情况有灵活的余地，所以不同人给出的具体答案可以有细节差别。
例如，
上面的“三、(2)”，“称2次从4个中挑”的操作，
除了上面所说的“分成3、1两组，将这三个和另外三个标准球称一次比较”以外，
也可以将这三个，添上一个标准球，分放在天平两边各两个。如果平，同样说明假球就是另一个；如果不平说明假球在这三个中，且知道了其中两个或一个是A类，一个或两个是B类，下一步按照上面“二(1)”即可。
再补充说明一点：
上面的具体操作，某些情况有灵活的余地，所以不同人给出的具体答案可以有细节差别。
例如，
上面的“三、(2)”，“称2次从4个中挑”的操作，
除了上面所说的“分成3、1两组，将这三个和另外三个标准球称一次比较”以外，
也可以将这三个，添上一个标准球，分放在天平两边各两个。如果平，同样说明假球就是另一个；如果不平说明假球在这三个中，且知道了其中两个或一个是A类，一个或两个是B类，下一步按照上面“二(1)”即可。
上面是要求将那个重量异常的假球找出来，并且分辨假球是偏重还是偏轻。
下面再说一下不要求分辨假球是偏重还是偏轻的情况。
如果降低要求，只要求挑出来，不要求分辨假球是偏重还是偏轻，那么显然上面所述的各种情况，只有“三”可以再放宽。
具体做法：在上述做法中，一律可以多一个球，多的这一个分在天平外面，就可以了。上述步骤完了后如果别的球都不是，就是这一个了。所以
(1) 称1次，可以从2个中挑。
——拿其中一个和一个标准球比较一下。即可。
(2) 称2次，可以从5个中挑。
——分成3、2两组，将这三个和另外三个标准球称一次比较。若不等重同前面，若等重，则假球就在这另2个中，下一步按上面“(1)”即可。
(3) 称3次，可以从13个中挑。
——分三组：4，4，5。两份4放在天平两边，一份5留在旁边。若不等重同前面，若等重，则假球就在这另5个中，下一步按上面“(2)”即可。
下面再说一下不要求分辨假球是偏重还是偏轻的情况。
如果降低要求，只要求挑出来，不要求分辨假球是偏重还是偏轻，那么显然上面所述的各种情况，只有“三”可以再放宽。
具体做法：在上述做法中，一律可以多一个球，多的这一个分在天平外面，就可以了。上述步骤完了后如果别的球都不是，就是这一个了。所以
(1) 称1次，可以从2个中挑。
——拿其中一个和一个标准球比较一下。即可。
(2) 称2次，可以从5个中挑。
——分成3、2两组，将这三个和另外三个标准球称一次比较。若不等重同前面，若等重，则假球就在这另2个中，下一步按上面“(1)”即可。
(3) 称3次，可以从13个中挑。
——分三组：4，4，5。两份4放在天平两边，一份5留在旁边。若不等重同前面，若等重，则假球就在这另5个中，下一步按上面“(2)”即可。
复@4869之徒兄：
不太清楚您上面所问是什么意思。我已经给您回复数次，都被删了，估计是因为这个题目属于重复题。以前已经讨论过多次，我的回复看来也属于重复内容了。
所以，您如还有不明白之处可搜一下以前的帖子就行了。
不太清楚您上面所问是什么意思。我已经给您回复数次，都被删了，估计是因为这个题目属于重复题。以前已经讨论过多次，我的回复看来也属于重复内容了。
所以，您如还有不明白之处可搜一下以前的帖子就行了。
复35楼@C爪机留名C兄：
看来，我上面的措辞是有不够清楚严密的地方，造成误解。
我的原题，并非“有外带的标准球”，仍然是：“标准的12球问题，没有外带的标准球”。
虽说，我上面的叙述中有几个地方（如三(1)及三(2)）用了标准球，但这些标准球并不是12个以外的，而只是“假球嫌疑范围以外”。所以总的这一个大题目（标准的12球问题）中，并没有使用“外带的”标准球。
不过，我上面的措辞，似乎这9个问题都是各自独立的，没有明确表示出我的这几个地方只是这个大题目里的一个局部，一个“子问题”。所以会引起误解。
特别是这9个小题目中有超出“12球”范围的，更容易让人误解觉得我不是在叙述“ 大题目里的子问题”。这属于我措辞不当。
虽说2楼开头有点解释，但显然解释得还不太理想。如能把措辞整理一下，或许更好？
（待续）
看来，我上面的措辞是有不够清楚严密的地方，造成误解。
我的原题，并非“有外带的标准球”，仍然是：“标准的12球问题，没有外带的标准球”。
虽说，我上面的叙述中有几个地方（如三(1)及三(2)）用了标准球，但这些标准球并不是12个以外的，而只是“假球嫌疑范围以外”。所以总的这一个大题目（标准的12球问题）中，并没有使用“外带的”标准球。
不过，我上面的措辞，似乎这9个问题都是各自独立的，没有明确表示出我的这几个地方只是这个大题目里的一个局部，一个“子问题”。所以会引起误解。
特别是这9个小题目中有超出“12球”范围的，更容易让人误解觉得我不是在叙述“ 大题目里的子问题”。这属于我措辞不当。
虽说2楼开头有点解释，但显然解释得还不太理想。如能把措辞整理一下，或许更好？
（待续）
（续）
假如就是无条件允许外借标准球的话，那么@C爪机留名C兄说得对：称3次，不止可以从12个中挑，而是可以从13个中挑。
从上面可以看到：“三(3)”中，如果称后两边不平，则假球就在天平上的8个中。但是“二、(2)”可以从9个中挑，从这里看还有一个余地。只不过9是奇数，无法分成两半比较。所以才只能拿8个称。
如果无条件允许外借标准球的话，那就好办了，
——将13个分成两组：9，4。将9个放在天平一边，另一边用外借的9个标准球。称一次。
——如果称后两边平，同前。
——如果称后两边不平，则假球就在这9个中，且已经知道轻还是重，接着按照上面“一(2)”，再称两次就可以了。
上面的方法要借用9个标准球，如嫌借太多，也可如下，只借一个：
——将13个分成三组：5，4，4。将5个放在天平一边，另一边放4个再加一个外借的标准球。称一次。
——如果称后两边平，同前。
——如果称后两边不平，则假球就在天平上的9个中，且已经知道有5个属于A类4个属于B类，或者4个属于A类5个属于B类。于是按照上面的“二、(2)”，再称两次就可以了。
假如就是无条件允许外借标准球的话，那么@C爪机留名C兄说得对：称3次，不止可以从12个中挑，而是可以从13个中挑。
从上面可以看到：“三(3)”中，如果称后两边不平，则假球就在天平上的8个中。但是“二、(2)”可以从9个中挑，从这里看还有一个余地。只不过9是奇数，无法分成两半比较。所以才只能拿8个称。
如果无条件允许外借标准球的话，那就好办了，
——将13个分成两组：9，4。将9个放在天平一边，另一边用外借的9个标准球。称一次。
——如果称后两边平，同前。
——如果称后两边不平，则假球就在这9个中，且已经知道轻还是重，接着按照上面“一(2)”，再称两次就可以了。
上面的方法要借用9个标准球，如嫌借太多，也可如下，只借一个：
——将13个分成三组：5，4，4。将5个放在天平一边，另一边放4个再加一个外借的标准球。称一次。
——如果称后两边平，同前。
——如果称后两边不平，则假球就在天平上的9个中，且已经知道有5个属于A类4个属于B类，或者4个属于A类5个属于B类。于是按照上面的“二、(2)”，再称两次就可以了。
（再补充几句）
我前面的措辞不太恰当之处，主要是顶楼以及三楼中的“三(1)、(2)、(3)”。其中(1)、(2)都允许使用标准球，而只有(3)不允许，这主要是我把(3)当成了“大题目”而把(1)、(2)当成“子问题”了。但文字中又没有交代清楚。
假如换一种叙述，全都采用同样的条件：都允许使用标准球，那么问题或许更加规整。采用数学归纳法，就可以推导出上面C爪机留名C 兄给出的公式(3^N-1)/2。
然后不难证明：不允许使用外单的标准球，则总球数需减1；不要求最后得出轻重，则总球数可加1.
这些，@C爪机留名C兄在帖子《完美终结12球1异常》（http://tieba.baidu.com/p/3931300028）后面的跟帖69楼中，都已经有叙述了
我前面的措辞不太恰当之处，主要是顶楼以及三楼中的“三(1)、(2)、(3)”。其中(1)、(2)都允许使用标准球，而只有(3)不允许，这主要是我把(3)当成了“大题目”而把(1)、(2)当成“子问题”了。但文字中又没有交代清楚。
假如换一种叙述，全都采用同样的条件：都允许使用标准球，那么问题或许更加规整。采用数学归纳法，就可以推导出上面C爪机留名C 兄给出的公式(3^N-1)/2。
然后不难证明：不允许使用外单的标准球，则总球数需减1；不要求最后得出轻重，则总球数可加1.
这些，@C爪机留名C兄在帖子《完美终结12球1异常》（http://tieba.baidu.com/p/3931300028）后面的跟帖69楼中，都已经有叙述了
【接受上面@C爪机留名C兄的意见，将上述归纳全文改写如下】
十二球问题解法思路的条理化归纳
【前言】
十二球问题是：有十二个乒乓球特征相同，其中只有一个重量异常（假球），现在要求用一部没有砝码的天平称三次，将那个重量异常的假球找出来，并且分辨假球是偏重还是偏轻。
这个问题还有几种变形题（假球存在的范围比12个再增加）：
变形一：最后只要求挑出假球，不要求判定假球是偏重还是偏轻。
变形二：操作过程中，允许在“嫌疑假球”的范围之外，借用标准球来作比较。
这个题目已经讨论过多次，答案不难检索到。但是因为解法步骤的描述过于繁琐，即使查到了答案往往也看不明白。可以看到网上讨论的话题中，前面叙述已经相当清晰完整了，但后面仍然有许多跟帖质疑者，而质疑的主要原因就是“没看清”。
所以这里打算改个叙述方式，不去直接叙述解法步骤，而是把解法的思路分解为若干较小的要点，按先简后繁的次序来分别解释，或许会容易理解一些？
（待续）
十二球问题解法思路的条理化归纳
【前言】
十二球问题是：有十二个乒乓球特征相同，其中只有一个重量异常（假球），现在要求用一部没有砝码的天平称三次，将那个重量异常的假球找出来，并且分辨假球是偏重还是偏轻。
这个问题还有几种变形题（假球存在的范围比12个再增加）：
变形一：最后只要求挑出假球，不要求判定假球是偏重还是偏轻。
变形二：操作过程中，允许在“嫌疑假球”的范围之外，借用标准球来作比较。
这个题目已经讨论过多次，答案不难检索到。但是因为解法步骤的描述过于繁琐，即使查到了答案往往也看不明白。可以看到网上讨论的话题中，前面叙述已经相当清晰完整了，但后面仍然有许多跟帖质疑者，而质疑的主要原因就是“没看清”。
所以这里打算改个叙述方式，不去直接叙述解法步骤，而是把解法的思路分解为若干较小的要点，按先简后繁的次序来分别解释，或许会容易理解一些？
（待续）
（续）
【先列出几个结论】
首先，先列出以下结论，各位不妨先分别想想这些结论对不对，后面我再解释：
说明：下文中所谓“从×个中挑”，意为已知假球就在这×个中。也就是说×就是开始时“嫌疑假球”的个数。
一、如果预先知道假球的轻重，那么
(1) 称1次，可以从3个中挑出假球。
(2) 称2次，可以从9个中挑出假球。
(3) 称3次，可以从27个中挑出假球。
推而广之，称N次，就可以从3^N个球中挑。
二、如果虽不知道假球的轻重，但知道：“假如假球在某几个中则假球为轻，否则假球为重”，那么同样
(1) 称1次，可以从3个中挑出假球。
(2) 称2次，可以从9个中挑出假球。
(3) 称3次，可以从27个中挑出假球。
同样，称N次，就可以从3^N个球中挑。
三、如果完全不不知道假球的轻重，且要求在挑出假球时能得出它是轻还是重，操作中允许借用另外的标准球（可以限制借用不超过一个，但如果不限个数，操作可以简单一些）来做比较，那么：
(1) 称1次，只可以从1个中挑。
(2) 称2次，可以从4个中挑。
(3) 称3次，可以从13个中挑。
推而广之，称N次，就可以从(3^N-1)/2个球中挑。
四、如果同情况三，但操作中不允许借用已知假球范围以外的标准球来做比较，那么允许的开始时“嫌疑假球”的个数比情况三减一，即：
(1) 称1次，可以从0个中挑（即不可以完成）。
(2) 称2次，可以从3个中挑。
(3) 称3次，可以从12个中挑。
也就是说，称N次，就可以从(3^N-1)/2-1个球中挑。
五、如果同情况三（或情况四），但已知条件中并不肯定“嫌疑假球”范围内有一个假球，而是最多有一个，也可能没有。要求是：如果有一个则得出情况三（或情况四）要求的结果，如果没有假球则判断出没有，那么，允许的开始时“嫌疑假球”的个数仍然同情况三（或情况四）。
六、如果同情况三（或情况四），但最后只要求挑出假球，不要求判定假球是偏重还是偏轻，那么允许的开始时“嫌疑假球”的个数比情况三（或情况四）加一，即：
(1) 称1次，可以从2个（或1个）中挑。
(2) 称2次，可以从5（或4个）个中挑。
(3) 称3次，可以从14（或13个）个中挑。
也就是说，称N次，就可以从(3^N-1)/2+1个（或(3^N-1)/2个）球中挑。
上述情况“四(3)”，就是我们基本的“12球问题”，而情况“三(3)”、“六(3)”，就是上面说的本题目的变形。
下面，再解释这些情况下的具体做法。
（待续）
【先列出几个结论】
首先，先列出以下结论，各位不妨先分别想想这些结论对不对，后面我再解释：
说明：下文中所谓“从×个中挑”，意为已知假球就在这×个中。也就是说×就是开始时“嫌疑假球”的个数。
一、如果预先知道假球的轻重，那么
(1) 称1次，可以从3个中挑出假球。
(2) 称2次，可以从9个中挑出假球。
(3) 称3次，可以从27个中挑出假球。
推而广之，称N次，就可以从3^N个球中挑。
二、如果虽不知道假球的轻重，但知道：“假如假球在某几个中则假球为轻，否则假球为重”，那么同样
(1) 称1次，可以从3个中挑出假球。
(2) 称2次，可以从9个中挑出假球。
(3) 称3次，可以从27个中挑出假球。
同样，称N次，就可以从3^N个球中挑。
三、如果完全不不知道假球的轻重，且要求在挑出假球时能得出它是轻还是重，操作中允许借用另外的标准球（可以限制借用不超过一个，但如果不限个数，操作可以简单一些）来做比较，那么：
(1) 称1次，只可以从1个中挑。
(2) 称2次，可以从4个中挑。
(3) 称3次，可以从13个中挑。
推而广之，称N次，就可以从(3^N-1)/2个球中挑。
四、如果同情况三，但操作中不允许借用已知假球范围以外的标准球来做比较，那么允许的开始时“嫌疑假球”的个数比情况三减一，即：
(1) 称1次，可以从0个中挑（即不可以完成）。
(2) 称2次，可以从3个中挑。
(3) 称3次，可以从12个中挑。
也就是说，称N次，就可以从(3^N-1)/2-1个球中挑。
五、如果同情况三（或情况四），但已知条件中并不肯定“嫌疑假球”范围内有一个假球，而是最多有一个，也可能没有。要求是：如果有一个则得出情况三（或情况四）要求的结果，如果没有假球则判断出没有，那么，允许的开始时“嫌疑假球”的个数仍然同情况三（或情况四）。
六、如果同情况三（或情况四），但最后只要求挑出假球，不要求判定假球是偏重还是偏轻，那么允许的开始时“嫌疑假球”的个数比情况三（或情况四）加一，即：
(1) 称1次，可以从2个（或1个）中挑。
(2) 称2次，可以从5（或4个）个中挑。
(3) 称3次，可以从14（或13个）个中挑。
也就是说，称N次，就可以从(3^N-1)/2+1个（或(3^N-1)/2个）球中挑。
上述情况“四(3)”，就是我们基本的“12球问题”，而情况“三(3)”、“六(3)”，就是上面说的本题目的变形。
下面，再解释这些情况下的具体做法。
（待续）
（续）
【情况一】
预先知道假球的轻重，那么：
每称一次时，把准备挑的球分成三等分，两份放在天平两边，一份留在旁边。结果有三种：左边重、右边重、两边平。就可以把需要挑的范围缩小到原来的三分之一了。
所以：(1) 称1次，可以从3个中挑；(2) 称2次，可以从9个中挑；(3) 称3次，可以从27个中挑。
称N次，就可以从3^N个球中挑。
【情况二】
虽不知道假球的轻重，但知道：“假如假球在某几个中则假球为轻，否则假球为重”的情况（为便于叙述，我们称不可能偏轻只可能偏重的“嫌疑假球”球为A类；称不可能偏重只可能偏轻的“嫌疑假球”为B类）：
同样把准备挑的球分成三等分，两份放在天平两边，一份留在旁边。
但是分组时需满足要求：使天平左边的A类球与天平右边的A类球一样多，天平左边的B类球与天平右边的B类球一样多。如下图示意。
不难证明，这种分法一定是可以做到的。
于是，称后如果两边平，假球就在留在天平外的那一组中；如果左边重，假球就在左边的A类球和右边的B类球中；如果右边重，假球就在右边的A类球和左边的B类球中。如下图示意。
这样，同样可以吧需要挑的范围缩小到原来的三分之一了。
所以同样：称N次，可以从3^N个球中挑。
（待续）
【情况一】
预先知道假球的轻重，那么：
每称一次时，把准备挑的球分成三等分，两份放在天平两边，一份留在旁边。结果有三种：左边重、右边重、两边平。就可以把需要挑的范围缩小到原来的三分之一了。
所以：(1) 称1次，可以从3个中挑；(2) 称2次，可以从9个中挑；(3) 称3次，可以从27个中挑。
称N次，就可以从3^N个球中挑。
【情况二】
虽不知道假球的轻重，但知道：“假如假球在某几个中则假球为轻，否则假球为重”的情况（为便于叙述，我们称不可能偏轻只可能偏重的“嫌疑假球”球为A类；称不可能偏重只可能偏轻的“嫌疑假球”为B类）：
同样把准备挑的球分成三等分，两份放在天平两边，一份留在旁边。
但是分组时需满足要求：使天平左边的A类球与天平右边的A类球一样多，天平左边的B类球与天平右边的B类球一样多。如下图示意。
不难证明，这种分法一定是可以做到的。
于是，称后如果两边平，假球就在留在天平外的那一组中；如果左边重，假球就在左边的A类球和右边的B类球中；如果右边重，假球就在右边的A类球和左边的B类球中。如下图示意。
这样，同样可以吧需要挑的范围缩小到原来的三分之一了。
所以同样：称N次，可以从3^N个球中挑。
（待续）
（续）
【情况三】
完全不不知道假球的轻重，且要求在挑出假球时能得出它是轻还是重，操作中允许借用另外的若干个个标准球来做比较。
先按照不限制借用标准球个数的情况叙述：
(1) 称1次，只可以从1个中挑。
——已经知道这一个是假球，称一次只不过是拿它和一个标准球比较一下。即可。
(2) 称2次，可以从4个中挑。
——分成3、1两组，将这三个和另外三个标准球称一次比较。若不等重，则假球就在这三个中且已经知道轻还是重，下一步按照上面“一(1)”即可。
——若这三个和标准球比较后等重，则假球就是这另一个，下一步按“四(1)”即可。
(3) 称3次，可以从13个中挑。
——分成9、4两组，将这9个和另外9个标准球称一次比较。若不等重，则假球就在这9个中且已经知道轻还是重，下一步按照上面“一(3)”即可。
——若这9个和标准球比较后等重，则假球就在这另4个中，下两步步按“四(2)”即可。
一般地，若是称N次，方法是：
先分成两组，一组相当于情况一称N-1次能挑的个数，另一组是情况三称N-1次能挑的个数。做法是，将第一组和同样多的标准球用天平比较一次，如果不一样重就说明假球在第一组中且知道了是轻还是重，然后按照情况一称N-1次即可。
若第一次比较后等重，说明假球就在这另一组中，下面按情况三称N-1次的步骤即可。
再说如果限制借用的标准球不可超过一个的情况：
若是称N次，同样分成两组，一组相当于情况二称N-1次能挑的个数（和情况一一样多），另一组是情况三称N-1次能挑的个数。
不同之处是，第一组不再是和同样多的外借标准球比较，而是将第一组再分成两小组放在天平两边比较。只是，因第一组球个数是奇数，故必须添加一个标准球，才能等分到两边。这样称后如果不等重，说明假求在第一组中，且知道了其中哪些属于A类，哪些属于B类。然后按照情况二称N-1次即可。
若第一次比较后等重，则说明假球就在这另一组中，下面按情况三称N-1次的步骤即可。而且后N-1步可不再受“标准球不可超过一个”的限制了，因为此时嫌疑范围已经缩小，新范围以外的都可看做标准球，不需要“外借”了。
具体地，称一次同上略。称2次、3次的步骤如下：
称2次，可以从4个中挑。
——分成3、1两组，将这三个再分成2、1放在天平两边，并在放1的一边加上一个借来的标准球，称一次比较。若不等重，则假球就在这三个中且已经知道哪些是A类哪些是B类，下一步按照上面“二(1)”即可。
——若这三个和标准球比较后等重，则假球就是这另一个，下一步按“三(1)”即可。
称3次，可以从13个中挑。
——分成9、4两组，将这9个再分成5、4放在天平两边，并在放4的一边加上一个借来的标准球，称一次比较。若不等重，则假球就在这9个中且已经知道哪些是A类哪些是B类，下一步按照上面“二(2)”即可。
——若这9个和标准球比较后等重，则假球就是这另4个，下两步按“三(2)”即可。
用数学归纳法不难证明，称N次，就可以从(3^N-1)/2个球中挑。
（待续）
【情况三】
完全不不知道假球的轻重，且要求在挑出假球时能得出它是轻还是重，操作中允许借用另外的若干个个标准球来做比较。
先按照不限制借用标准球个数的情况叙述：
(1) 称1次，只可以从1个中挑。
——已经知道这一个是假球，称一次只不过是拿它和一个标准球比较一下。即可。
(2) 称2次，可以从4个中挑。
——分成3、1两组，将这三个和另外三个标准球称一次比较。若不等重，则假球就在这三个中且已经知道轻还是重，下一步按照上面“一(1)”即可。
——若这三个和标准球比较后等重，则假球就是这另一个，下一步按“四(1)”即可。
(3) 称3次，可以从13个中挑。
——分成9、4两组，将这9个和另外9个标准球称一次比较。若不等重，则假球就在这9个中且已经知道轻还是重，下一步按照上面“一(3)”即可。
——若这9个和标准球比较后等重，则假球就在这另4个中，下两步步按“四(2)”即可。
一般地，若是称N次，方法是：
先分成两组，一组相当于情况一称N-1次能挑的个数，另一组是情况三称N-1次能挑的个数。做法是，将第一组和同样多的标准球用天平比较一次，如果不一样重就说明假球在第一组中且知道了是轻还是重，然后按照情况一称N-1次即可。
若第一次比较后等重，说明假球就在这另一组中，下面按情况三称N-1次的步骤即可。
再说如果限制借用的标准球不可超过一个的情况：
若是称N次，同样分成两组，一组相当于情况二称N-1次能挑的个数（和情况一一样多），另一组是情况三称N-1次能挑的个数。
不同之处是，第一组不再是和同样多的外借标准球比较，而是将第一组再分成两小组放在天平两边比较。只是，因第一组球个数是奇数，故必须添加一个标准球，才能等分到两边。这样称后如果不等重，说明假求在第一组中，且知道了其中哪些属于A类，哪些属于B类。然后按照情况二称N-1次即可。
若第一次比较后等重，则说明假球就在这另一组中，下面按情况三称N-1次的步骤即可。而且后N-1步可不再受“标准球不可超过一个”的限制了，因为此时嫌疑范围已经缩小，新范围以外的都可看做标准球，不需要“外借”了。
具体地，称一次同上略。称2次、3次的步骤如下：
称2次，可以从4个中挑。
——分成3、1两组，将这三个再分成2、1放在天平两边，并在放1的一边加上一个借来的标准球，称一次比较。若不等重，则假球就在这三个中且已经知道哪些是A类哪些是B类，下一步按照上面“二(1)”即可。
——若这三个和标准球比较后等重，则假球就是这另一个，下一步按“三(1)”即可。
称3次，可以从13个中挑。
——分成9、4两组，将这9个再分成5、4放在天平两边，并在放4的一边加上一个借来的标准球，称一次比较。若不等重，则假球就在这9个中且已经知道哪些是A类哪些是B类，下一步按照上面“二(2)”即可。
——若这9个和标准球比较后等重，则假球就是这另4个，下两步按“三(2)”即可。
用数学归纳法不难证明，称N次，就可以从(3^N-1)/2个球中挑。
（待续）
字数：6719字
发表时间：2017-02-08 01:26:00 +0800 CST
更新时间：2019-12-01 04:36:16 +0800 CST
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