【科普】说下宋朝的三弓床弩吧
今天没事学学历史战阵，无意间看到了宋朝的床弩，作为某不入流的工科生，第一想知道的就是这玩意到底是什么原理。尤其是中国三弓床弩造型独特，第三弓是倒置的，所以我查了很多资料，看了很多模型。真正会做三弓床弩的真不少，看到了很多实物，也有很多原理图。但是真正说明三弓床弩射出强弩的原理的我却没看到，就算有少数也是定性猜测，我看不到他的推导所以不能信服。
所以经过我一中午的分析，最后还是推导出了这张弓的原理和作用。本来发到这个吧可能不太合适，但那个合适的贴吧不让我这种新人发帖→_→所以只能来这了，有好心人可以帮我转过去。另外，以下内容涉及到物理的成分很多，如果你物理学不好可能看不懂
看这张图，很多人就看不明白。我也是看了半天，最后发现 深色的黑弦是一根，前弓浅色的那根弦是另一根，后弓和主弓公用一根弦，搭在固定在主弓的动滑轮上。至于前弓的弦是固定在主弓上的，图中是把它画在了定滑轮上，其实他只要在主弓上，使主弓被拉的时候前弓一起被拉就行了。当然，前弓连到后弓一起形变也有类似的效果，但这个暂且不讨论，本帖之研究图中
前弓与主弓同时形变的情况。如图，我盗用了前辈的涂鸦，谁让咱没6级不让画图呢……
所以经过我一中午的分析，最后还是推导出了这张弓的原理和作用。本来发到这个吧可能不太合适，但那个合适的贴吧不让我这种新人发帖→_→所以只能来这了，有好心人可以帮我转过去。另外，以下内容涉及到物理的成分很多，如果你物理学不好可能看不懂
看这张图，很多人就看不明白。我也是看了半天，最后发现 深色的黑弦是一根，前弓浅色的那根弦是另一根，后弓和主弓公用一根弦，搭在固定在主弓的动滑轮上。至于前弓的弦是固定在主弓上的，图中是把它画在了定滑轮上，其实他只要在主弓上，使主弓被拉的时候前弓一起被拉就行了。当然，前弓连到后弓一起形变也有类似的效果，但这个暂且不讨论，本帖之研究图中
前弓与主弓同时形变的情况。如图，我盗用了前辈的涂鸦，谁让咱没6级不让画图呢……
好了 上面那图也不清楚 清楚的度娘死活不让发 我说下 左上角 是总拉力F拉 右下是后弦力F1 那个圆是动滑轮，根据原理图，前弓的弓弦和主弓本身的张力都直接作用于动滑轮。其中设前弓拉滑轮力为F3，主弓拉滑轮力为F2.
我必须强调，为了简化过程，分析原理，我把四个力作为完全平行的四个力来分析，同时不考虑动滑轮本身的转动惯量，即忽略其质量。以此来分析这四个力的作用。
但在分析前，我要纠正很多人一个误区，弓射出来是谁的形变影响。玩过弹弓的都知道，把猴皮筋往一分叉上绑住，利用猴皮筋的弹性，一松手就能让物体弹很远。但弓不是这样的，他是靠弓片，即弓用木头做的那一部分的形变来储存动能的。最后发功是弓片恢复，而不是弦，弦是没有弹性的。
我必须强调，为了简化过程，分析原理，我把四个力作为完全平行的四个力来分析，同时不考虑动滑轮本身的转动惯量，即忽略其质量。以此来分析这四个力的作用。
但在分析前，我要纠正很多人一个误区，弓射出来是谁的形变影响。玩过弹弓的都知道，把猴皮筋往一分叉上绑住，利用猴皮筋的弹性，一松手就能让物体弹很远。但弓不是这样的，他是靠弓片，即弓用木头做的那一部分的形变来储存动能的。最后发功是弓片恢复，而不是弦，弦是没有弹性的。
重新整理了一下，发现LS我算的有问题。问题首先就是不符合能量守恒定律弱智的错误。犯这个错误的原因是在动滑轮的和箭矢以及后弓三者之间的相对移动没有分析好。实际上的问题比我想的还复杂，但是有一个事可以简单滴告诉你们，三弓床弩做了三倍的弓出来一定也是三倍的弓。以下我会重新解释他的原理
弱智的错误。犯这个错误的原因是在动滑轮的和箭矢以及后弓三者之间的相对移动没有分析好。实际上的问题比我想的还复杂，但是有一个事可以简单滴告诉你们，三弓床弩做了三倍的弓出来一定也是三倍的弓。以下我会重新解释他的原理
上面的意思就是说，三弓床弩虽然只有一根弦搭在弓上，但只要两个弓同时拥有形变量，那还是两个弓在一起促进弓弦拉箭。
下面说正题了，根据胡克定律，弹性形变产生的力满足kb=F，即弓片形变越大，使弦对箭的作用力就越大。但弓的形变量太小，不容易表示，所以我们采用近似替代法。即，弦伸长L的距离，弓形变b，比例系数为a，即ab=L，可得kL/a=F。我们让K/a仍等于K，既有KL=F，即把弓的形变转化为弦的拉伸，通俗点说就是把弓换回弹弓。
这样问题就好解决了。当我们对箭施加一个牵引力，使后弓拉伸L时，F1=后弓的形变产生的力，即F1=KL。根据动滑轮的原理，F拉和F1相等且共同作用在动滑轮上，滑轮向左受到了2KL的力。
与此同时，前弓与主弓为了保持滑轮的平衡，也会形变产生一个向右的拉力与之平衡。现在为了简便计算，我们假设这三个弓材质一样，前两弓在理想状况下形变相等。即两弓都产生KL大小的向右的力，合力2KL向右与向左的力平衡。
需要强调的是，F拉=KL不等于箭只向后移动了KL，因为滑轮本身也会因为F拉和F1的作用后移，直到主弓和前弓也拉到KL的时候才停止，假如下面的左边下方的的弓弦与上面的弓弦等长为l，则拉动过程结束后下面的绳变短L下=l-L，而上面的绳变长L上=l+2L，而前两弓拉伸L，所以箭矢向后移动距离是3L，而滑轮移动为L。
现在一锤子敲下扳机，F拉就没有了，这样平衡的四个力少了一个，就会变得不平衡，于是动滑轮会拖着弦带着箭受合力作用一起向右走。其中滑轮受到的两个向右的力和一个向左的力，F3和F2向右，F1向左。滑轮受到合力就是F3+F2-F1=F=KL无误，于是我就看到有位大神说：三弓床弩根本没什么了不起，用了三个弓，到头来给箭的力一个弓给的力。具体见这个网站http://bbs.voc.com.cn/topic-5171942-1-1.html
我只能说这个人性子有点急，光是分析了这一个点就说三弓床弩不好，智商怎么说呢，有点捉急……不过我智商也不高，差点被他绕进去了……
毕竟一个箭射出来有多快不是看在发出箭矢一瞬间的力，而是发出箭矢之后的总动能。如果按照能量守恒，你拉弓的时候做了3KL^2/2的功，那弓弹回来也一定是做这么多的功。如果下面的推导你看不懂，只记住这个也是可以的。放心，能量守恒肯定对。 我下面就来分析分析发射时哪些因素使得这三弓床弩以一把弓的力仍然做了三把弓的功。
就算有点复杂，还有些抽象。我只推导，首先要确定，拉满弓时箭矢相对于滑轮向后移动了2L的距离，这2L中的一部分是向弹簧一样被拉伸的量，另一部分是从下面反置弓连的那段抽到上面的量。如果我们射箭矢向前移动了x的距离，那又设这其中有w（x）是沿滑轮抽动的距离，只有剩下的x-w(x)才是真正的距离变化才让后弓产生了形变。
列方程∫K（L-x+w（x））dx从0积分到2L就是总功。这里w(x)是一个极其复杂的量，它不单与后弓有关，还与前弓给予弓弦的拉力有关，我们只知道w(0)=0，以及w（2L）=L这两个值。到这里再往下求就很困难，这时我就要引用一个假设拆分的思想。 即把右边的前弓两个力的影响去掉，只考虑后弓的拉力。
如果我们假设拉伸过程中的每一个x点对应的滑轮都是平衡不受力的，即箭矢的加速度β，对绳的拉力为mβ，因为是同一根绳，所以mβ=K(L-x+w（x）），而右边两个弓减少的形变量则是w(x),假设滑轮是平衡，则右边与左边的力平衡2K（L-x+w（x））=2K（L-w（x））。此时我们可以得到w(x)=x/2。将w(x)=x/2代入∫K（L-x+w（x））dx，原式=KL^2。而一把弓能给予物体的总动能只有KL^2/2，为什么我们只分析了一个力拉动的总功就得到了两把弓的能量？原因显而易见，是前面两把弓做总功的一部分变向增加了一倍拉距，使后弓多做了KL^2/2的功。
我在上面是假设了滑轮在任何一点平衡不受力。其实你能发现滑轮实际上有向右的先增大后减小的加速度，2K（L-x+w（x））在任何一点都小于2K（L-w（x）），事实上就是这样：刚松弦后滑轮要做加速运动，而箭矢还要相对于滑轮向前运动，所以以x-w（x）只能大于x/2才能达到这种状态。故w(x)应该是一条过0和(2L,L)并低于x/2的曲线，而且其中有些与弓弩本身参数有关的量，无法求出具体的数值。但是这前弓做了KL^2的功是显而易见的。前面已经分析过，其中KL^2用来增大拉距，所以剩下的KL^2就用来给滑轮加速的，从而在后弓做功的同时，阻碍拉距的减小。
所以在能量守恒的情况下，三把弓做的功仍然是三把弓做功的总和。动滑轮增加了后弓一倍的拉距，而动滑轮因松弦后由前弓产生的加速度使得前弓又起着阻碍后弓的弓片回到原本形态的作用。拉距的增大和拉距随x增加减小的更加缓慢这两个因素，使得三弓床弩仍可以做三倍的功。影响比例为2比1。
以上结果，不计滑轮和弓本身重量，不计空气阻力和摩擦力。假设三把弓平行放置，并假弓弦拉伸长度与应力大小为成比例函数，即可比作满足胡克定律的弹簧。
说道拉伸长度与应力大小的函数，这点我要说明一下。并不是剪切应力的关系，工程力学里讲了剪切形变与剪应力的关系Gγ=tao，这个公式只能适用于部分弓的形变，就是最简单的正曲弓。拿一堆弹性竹子叠成一把弓，这种弓只能在γ变化比较小的时候可以近似看成胡克定律。但随着弓的改进，反曲弓，能弯成锐角的复合弓都逐渐使辣身长度与应力大小的函数趋于一条直线，使得瞄准时肌肉不必承担过大的力。现代复合弓甚至可以让这个函数成为递减函数，这些都与弓体的结构有关，而非单纯的剪应力问题。所以我讨论的弓也只是一种特殊情况，但总体来说为使弓上的能量完全传递给箭矢，我们希望的是这条曲线的导数更小，也就是越先进的弓效果越好。复合弓还是首选。
而三弓床弩的第三张弓倒置的好处也显而易见，你只要用一倍的拉力把他拉到底就可以让他做出三张弓的功。而三张弓同向则需要三倍的力才能开弓。宋朝的三弓床弩又名八牛弩，八头牛才拉得动这一个弩的力（当然，其中也有一部分去克服静摩擦力或动摩擦做的负功），可想而知宋朝时三弓床弩的弩有多大，多狠，注定不能叠在一起放。而越大的弩，这3倍的效果就越明显了。
最后，让我们看看3倍动能的实际效果。事实上，三弓床弩用于攻守城作战不是没有道理的，空气阻力与阻力因数（环境因数），空气密度，迎风面积以及速度的平方成正比。所以速度越大，阻力越大，阻力做功越大，你这箭射得越亏。而且空气阻力的计算很复杂，就算只考虑阻力做功，阻力永远只会把速度减小，但永远减不到0，所以你想具体计算，也必须给出你到底要减到多少速度，多少速度算有效。这个问题很复杂，而且对于床弩来说并不适用。
对于大型弩箭，他的迎风面积其实虽质量变化迎风面积不会有很大提高，所以最好的方法并不是要射多远，而是射得多有力，增加弩箭的质量才是最佳选择，因为弩箭动能增加了，阻力几乎不改变，能大大提高能量利用效率，同时大大提高攻城能力。下面证明：
W=mv^2/2，当我们提高3倍弩箭质量时，速度不变，速度仍为v。对于射到城墙上的一般弩箭，中间做的空气阻力为W1，即mv^2/2-W1=mv1^2/2 而对于三弓床弩发射弩箭，有3mv^2/2-W1=3mv2^2/2
将两个式子代入整理，得3mv1^2/2+4W1=3mv2^2，v2＞v1，所以三弓床弩射出的3倍重弓弩以相同速度发射，到达城墙时速度反而大于一般弓。
而三弓弩箭所具有的动量则为3mv2。mv=Ft，冲量增高3倍还多意味着箭矢瞬时对城墙产生的压力也会提高3倍，作用时间越短这个力越大，而八头牛拉射出的巨弩威力可想而知。把城墙扎个对穿也不是没有可能的。
下面说正题了，根据胡克定律，弹性形变产生的力满足kb=F，即弓片形变越大，使弦对箭的作用力就越大。但弓的形变量太小，不容易表示，所以我们采用近似替代法。即，弦伸长L的距离，弓形变b，比例系数为a，即ab=L，可得kL/a=F。我们让K/a仍等于K，既有KL=F，即把弓的形变转化为弦的拉伸，通俗点说就是把弓换回弹弓。
这样问题就好解决了。当我们对箭施加一个牵引力，使后弓拉伸L时，F1=后弓的形变产生的力，即F1=KL。根据动滑轮的原理，F拉和F1相等且共同作用在动滑轮上，滑轮向左受到了2KL的力。
与此同时，前弓与主弓为了保持滑轮的平衡，也会形变产生一个向右的拉力与之平衡。现在为了简便计算，我们假设这三个弓材质一样，前两弓在理想状况下形变相等。即两弓都产生KL大小的向右的力，合力2KL向右与向左的力平衡。
需要强调的是，F拉=KL不等于箭只向后移动了KL，因为滑轮本身也会因为F拉和F1的作用后移，直到主弓和前弓也拉到KL的时候才停止，假如下面的左边下方的的弓弦与上面的弓弦等长为l，则拉动过程结束后下面的绳变短L下=l-L，而上面的绳变长L上=l+2L，而前两弓拉伸L，所以箭矢向后移动距离是3L，而滑轮移动为L。
现在一锤子敲下扳机，F拉就没有了，这样平衡的四个力少了一个，就会变得不平衡，于是动滑轮会拖着弦带着箭受合力作用一起向右走。其中滑轮受到的两个向右的力和一个向左的力，F3和F2向右，F1向左。滑轮受到合力就是F3+F2-F1=F=KL无误，于是我就看到有位大神说：三弓床弩根本没什么了不起，用了三个弓，到头来给箭的力一个弓给的力。具体见这个网站http://bbs.voc.com.cn/topic-5171942-1-1.html
我只能说这个人性子有点急，光是分析了这一个点就说三弓床弩不好，智商怎么说呢，有点捉急……不过我智商也不高，差点被他绕进去了……
毕竟一个箭射出来有多快不是看在发出箭矢一瞬间的力，而是发出箭矢之后的总动能。如果按照能量守恒，你拉弓的时候做了3KL^2/2的功，那弓弹回来也一定是做这么多的功。如果下面的推导你看不懂，只记住这个也是可以的。放心，能量守恒肯定对。 我下面就来分析分析发射时哪些因素使得这三弓床弩以一把弓的力仍然做了三把弓的功。
就算有点复杂，还有些抽象。我只推导，首先要确定，拉满弓时箭矢相对于滑轮向后移动了2L的距离，这2L中的一部分是向弹簧一样被拉伸的量，另一部分是从下面反置弓连的那段抽到上面的量。如果我们射箭矢向前移动了x的距离，那又设这其中有w（x）是沿滑轮抽动的距离，只有剩下的x-w(x)才是真正的距离变化才让后弓产生了形变。
列方程∫K（L-x+w（x））dx从0积分到2L就是总功。这里w(x)是一个极其复杂的量，它不单与后弓有关，还与前弓给予弓弦的拉力有关，我们只知道w(0)=0，以及w（2L）=L这两个值。到这里再往下求就很困难，这时我就要引用一个假设拆分的思想。 即把右边的前弓两个力的影响去掉，只考虑后弓的拉力。
如果我们假设拉伸过程中的每一个x点对应的滑轮都是平衡不受力的，即箭矢的加速度β，对绳的拉力为mβ，因为是同一根绳，所以mβ=K(L-x+w（x）），而右边两个弓减少的形变量则是w(x),假设滑轮是平衡，则右边与左边的力平衡2K（L-x+w（x））=2K（L-w（x））。此时我们可以得到w(x)=x/2。将w(x)=x/2代入∫K（L-x+w（x））dx，原式=KL^2。而一把弓能给予物体的总动能只有KL^2/2，为什么我们只分析了一个力拉动的总功就得到了两把弓的能量？原因显而易见，是前面两把弓做总功的一部分变向增加了一倍拉距，使后弓多做了KL^2/2的功。
我在上面是假设了滑轮在任何一点平衡不受力。其实你能发现滑轮实际上有向右的先增大后减小的加速度，2K（L-x+w（x））在任何一点都小于2K（L-w（x）），事实上就是这样：刚松弦后滑轮要做加速运动，而箭矢还要相对于滑轮向前运动，所以以x-w（x）只能大于x/2才能达到这种状态。故w(x)应该是一条过0和(2L,L)并低于x/2的曲线，而且其中有些与弓弩本身参数有关的量，无法求出具体的数值。但是这前弓做了KL^2的功是显而易见的。前面已经分析过，其中KL^2用来增大拉距，所以剩下的KL^2就用来给滑轮加速的，从而在后弓做功的同时，阻碍拉距的减小。
所以在能量守恒的情况下，三把弓做的功仍然是三把弓做功的总和。动滑轮增加了后弓一倍的拉距，而动滑轮因松弦后由前弓产生的加速度使得前弓又起着阻碍后弓的弓片回到原本形态的作用。拉距的增大和拉距随x增加减小的更加缓慢这两个因素，使得三弓床弩仍可以做三倍的功。影响比例为2比1。
以上结果，不计滑轮和弓本身重量，不计空气阻力和摩擦力。假设三把弓平行放置，并假弓弦拉伸长度与应力大小为成比例函数，即可比作满足胡克定律的弹簧。
说道拉伸长度与应力大小的函数，这点我要说明一下。并不是剪切应力的关系，工程力学里讲了剪切形变与剪应力的关系Gγ=tao，这个公式只能适用于部分弓的形变，就是最简单的正曲弓。拿一堆弹性竹子叠成一把弓，这种弓只能在γ变化比较小的时候可以近似看成胡克定律。但随着弓的改进，反曲弓，能弯成锐角的复合弓都逐渐使辣身长度与应力大小的函数趋于一条直线，使得瞄准时肌肉不必承担过大的力。现代复合弓甚至可以让这个函数成为递减函数，这些都与弓体的结构有关，而非单纯的剪应力问题。所以我讨论的弓也只是一种特殊情况，但总体来说为使弓上的能量完全传递给箭矢，我们希望的是这条曲线的导数更小，也就是越先进的弓效果越好。复合弓还是首选。
而三弓床弩的第三张弓倒置的好处也显而易见，你只要用一倍的拉力把他拉到底就可以让他做出三张弓的功。而三张弓同向则需要三倍的力才能开弓。宋朝的三弓床弩又名八牛弩，八头牛才拉得动这一个弩的力（当然，其中也有一部分去克服静摩擦力或动摩擦做的负功），可想而知宋朝时三弓床弩的弩有多大，多狠，注定不能叠在一起放。而越大的弩，这3倍的效果就越明显了。
最后，让我们看看3倍动能的实际效果。事实上，三弓床弩用于攻守城作战不是没有道理的，空气阻力与阻力因数（环境因数），空气密度，迎风面积以及速度的平方成正比。所以速度越大，阻力越大，阻力做功越大，你这箭射得越亏。而且空气阻力的计算很复杂，就算只考虑阻力做功，阻力永远只会把速度减小，但永远减不到0，所以你想具体计算，也必须给出你到底要减到多少速度，多少速度算有效。这个问题很复杂，而且对于床弩来说并不适用。
对于大型弩箭，他的迎风面积其实虽质量变化迎风面积不会有很大提高，所以最好的方法并不是要射多远，而是射得多有力，增加弩箭的质量才是最佳选择，因为弩箭动能增加了，阻力几乎不改变，能大大提高能量利用效率，同时大大提高攻城能力。下面证明：
W=mv^2/2，当我们提高3倍弩箭质量时，速度不变，速度仍为v。对于射到城墙上的一般弩箭，中间做的空气阻力为W1，即mv^2/2-W1=mv1^2/2 而对于三弓床弩发射弩箭，有3mv^2/2-W1=3mv2^2/2
将两个式子代入整理，得3mv1^2/2+4W1=3mv2^2，v2＞v1，所以三弓床弩射出的3倍重弓弩以相同速度发射，到达城墙时速度反而大于一般弓。
而三弓弩箭所具有的动量则为3mv2。mv=Ft，冲量增高3倍还多意味着箭矢瞬时对城墙产生的压力也会提高3倍，作用时间越短这个力越大，而八头牛拉射出的巨弩威力可想而知。把城墙扎个对穿也不是没有可能的。
这是和别人讨论后补充的，这里没发出来 补一下
除此之外，三弓床弩也有其他好处。现在不考虑滑轮和弓弦的质量，只分析弓片本身的质量，每个弓片都有一个最大回弹速度。对于一般的三弓串联，三把弓的回弹速度是完全一样的，就算连起来也是一样的。这样一旦箭矢不够重，提前达到了最大回弹速度，剩下的动能就只作用于弓，全部浪费掉了。
而对于三弓床弩，忽视弦和滑轮的质量，后弓以v的速度拉弦，而前弓也以v的速度拉弦。因为动滑轮的作用，又给了绳一个2v的相对速度。因此理论上的最大回弹速度就可以达到3v。
这样做的好处就是遇到比较轻的箭三弓床弩射的效果也要好于三弓串联的床弩
除此之外，三弓床弩也有其他好处。现在不考虑滑轮和弓弦的质量，只分析弓片本身的质量，每个弓片都有一个最大回弹速度。对于一般的三弓串联，三把弓的回弹速度是完全一样的，就算连起来也是一样的。这样一旦箭矢不够重，提前达到了最大回弹速度，剩下的动能就只作用于弓，全部浪费掉了。
而对于三弓床弩，忽视弦和滑轮的质量，后弓以v的速度拉弦，而前弓也以v的速度拉弦。因为动滑轮的作用，又给了绳一个2v的相对速度。因此理论上的最大回弹速度就可以达到3v。
这样做的好处就是遇到比较轻的箭三弓床弩射的效果也要好于三弓串联的床弩