一：人兔赛跑悖论。这个·知道的人很多，它出自古希腊的芝诺先生。芝诺说：百米冠军阿基里斯会永远追不上一只在他面前3米远处向前奔跑的兔子。其理由是：兔子和人跑的每一步都是无限可分的，兔子的·每一步可·划分为1/2,这两个1/2又都·可·以分·为两个1/2,于是这一步就被分了两次，1/2,1/4,，如 此再对分出的4段作1/2等分，这一步的长度就=1/2+1/4+1/8。如此再分下去，就是1/2+1/4+1/8+1/16+...1/2^n[n趋于无穷]=无穷长，阿基里斯跑的·路程也会由是变成无穷长。






作1/3,1/9,1/27...的·划分也是一样，就是会导致人或兔在有时间内跑出无穷长的距离的结果。，既然，双方在同一时间内都会跑过无穷远的距离，就是无穷长对无穷长，谁也不比谁 长，所以阿基里斯永远追不上这只兔子。


有一些数学知识的朋友已经看出来了，我的叙述过程其实已经阐明了这个详谬。用数学的语言来说，就是此无穷级数收敛，1/2+1/4+1/2^n[n趋于无穷]不仅不等·于无穷，而且还很小，这是一个很简单的等·比级数，它=1，还是兔子或人跑的那一步 、不会因为被无限细分就变成无穷长了。若是跑的距离一样或跑的时间一样，那么人或兔用的时间或跑过的距离是不同的，也就是速度不同，那么速度较快就能在有限的时间内·追上跑的较慢的一方。

一般地，有n为自然·数且 ≥2 ， n→∞ ∑ 1/x^n= 有限的常数，不会因为加了无穷个数变成无穷大，X可取任意实数，不止上面举的2、3。


如果这个问题仅及于此，未免有些简单了。还有一个问题是，纵然兔子跑的距离是无穷长，它也是有可能被追上的，换句话说，无穷是有大小之分的·。学过一些高数·的朋友看到这里可能会发笑，谁不知道无穷有大小之分?
要不极限都是发散的了、积分也成了无稽之谈.


的确是这样，在分式(x^2+10^10)/）3x^2 种， X趋于正无穷 会使分·子分母奔向无穷，但它们之比并不=1或无穷，
而是=1/3,即是它们无穷变量的系数之比，纵然分子上还加了一个一百亿也没有一点用.


任何有限·的数-不管它·有多大，和无穷相比，都是0.也就说，在无穷面前，一和一百亿是相等的，表达式为 lim 1/x=lim10^10/x [ x趋于无穷，正负无穷都可以].
当然，无**大小的问题比较复杂，也会产生很多和直觉相悖的结论：如大圆和小圆中的点一样多、奇数和整数、偶数和整数一样·多...这里不好展开细讲，还是接下一个更好理解·的悖论吧！

二：飞矢不动悖论。这个也出自古希腊，意思是：射出的箭在每一时刻总有一个确定的位置，既然位置确定，那么在确定位置的一瞬间，箭一定是静止在那里的，否则位置是无法确定的；既然，每一个确定的位置对应一个静止的瞬间，这些静止瞬间之和还是静止的，静止加静止总不能变成·运动吧？所以射出的·箭是不动的。
这个涉及到了运动·的本质。何谓运动？运动中的物体有确定的位置吗？有静止的瞬间吗？无穷个静止的瞬间之和是否还等于静态？

回答是，运动中的物体没有确定的位置，原因是实数的稠密性和无限可分性。


在0和1·之间有多少个数？数不过来，10可以分为3+0.3+0.03+0.003...+无穷。任何一个实数、任何一个实数区间都具有无限可分和稠密的·性质。
质点要被确定位置，它·的位置就得用·有理数来表示，如2，3，，7.333333...等，如果位置参数是3.1415926...
ln7, Asin (ωx+π)之类的无理数，它的·位置怎么都不是确定的。但似乎这不成为问题，因为实数轴上有无穷多个无
无穷稠密的有理数，随便一扔不就砸中一个有理点么？
然而众多的实验却证明，无限稠密的点却是无限不可能被击中 !

质点被发射到实数轴上时，它落到有理点上的概率却=0，也就是说它的位置不可测度，在每一时刻它都不会有确定的位置。

所以，质点在运动过程中是没有静止的瞬间的·。落不到一个确定的确定的数值上、还谈何静止的一瞬呢？一瞬的静止没有，一秒的静止也·不会有，一分·钟的静止不会有，无穷小的瞬间的静止也不会有，物质总是在运动的。
物质总在运动是一句形而·哲的·非常枯燥乏味的话，然则给予数学解释，它就·变得生动起来了。数学恰当地给出了运动的永恒性的解释。

当然，无穷的有理数除以无穷的无理数=0这里并没有证明，我也感到证起来很困难，所以就偷一懒，以后有机会再 专题讲。这个证明虽棒极了，但放在形而哲过多的地方是很难被人理解的，还是看以后吧！

三，理发师悖论。这个悖论的内容众所周知，这里不再重复。罗素在这里构造了对立的两个集合：1：给自己理发的人[A]；2：不给自己理发的人[A否]。
从文字表达上看，这两个集合的并集为全集，交集=0，没有人既属于A又属于A否，或者说， 一个人不可能既是死的又是活的。
然则，理发师本人又该如何归类呢？他是给自己理发的人吗？是，否则就没有这个悖论了。
既然他以前在给自己理发，那么他就属于A给自己理发的那一类,，所以他就不能给自己理发了；于是，一下他就从A集合跳到A否集合了。


怪了，一个·定义、一个内涵竟然产生了两种对立的外延、两种对立的结果，这算是辩证法吗？恐怕鬼扯吧！

说这是中国语言的双关性或是佛家打机锋更是无稽之谈，这个悖论是先由英语构造出来的。那么问题出在哪里呢？有点不好弄，这里讲一点粗浅之见。

不敢十分肯定，我觉得他的{给自己理发的人｝、{不给自己理发的人}这两个作为前提的集合和后面的行动:[只给不给自己理发的人理·发]有矛盾.，后面的这一行为取消了前两个集合的界·限。


看吧：本来给不给自己理发是界·限清楚的，但是他来一个[只给·不给]自己理发的人理发，用了肯定+否定的语法先肯定自己要落·实A否,然后又对A否来一个·不给，成·了双重否定=肯定，又把自己归入了A，然则A和·A否是对立的。

[只给不给]是一个自我否定的句式，类似的还有：某一铁匠说，我只给不给自己打铁的人打铁；某电脑芯片公司说：我只给不给自己造·芯的人造芯；某煤矿说：我只·给不给自己挖煤的人挖煤；某电站说：我只給不给自己发电的人发电; 某建筑公司说：我只给不给自己建房的人建房；某医生说：我只给不给自己看病的人看病......;数不胜数。

四：上帝举石悖论。与上面类似，又是一个自相矛盾的推理。
此悖论说，既然上帝是全能的，他能不能造出一个·连他自己也举不起来的石头呢？显然，上帝无论·造出还是没有造出他自己举不起的石头，上帝全能说都会遭到否定。这个比理发师悖论要清楚一些，显然，这个·反诘推理的大小前提是矛盾的。有了上帝全能这一前提，说还可能有一个他自己举不起的石头就是自打其脸，类似的推理在哲学上可不少见哦！

五：说谎者悖论，也叫片云游空悖论。古希腊有一位哲学家说：克里特岛的所有人都在说谎话！任一成年人听到这样的话，第一反应都会是斥之以鼻，他这不是以偏概全来羞辱克里特岛的人么？此人是在编造谣言，乃·喷子无疑也！


但是有人·却从中看出了明堂，说这里面有悖论，理由是：这句话是真实的，所以这位哲学家并没有说谎话，他表达了自己真实的想法，怎么是谎话呢？
显然，这位哲学家是否说了谎话是不一定的，要看衡量标准，如果以[客观]也就是大多数人的想法来衡量,这位哲学家无疑是在说谎；但是以这位哲学家的内心世界来讲，他就不一定在说谎了。如果他表达的是内·真实的想法，他·讲的怎么会是谎话呢？难道人要讲违心之论、去迎合大多数人 才不会是谎话么?
这个就不好破了，关键是客观的标准树立不起来。在克里特岛这个极端的例子中，[客观]相对好找一些，但在关于世界观、价值观的诸多争论中，谁·在说谎简直无法【客观】地来判定。
有人比如片云游空，偏就说前苏联解体是没有坚持马列主义的缘故。他是在说谎吗？


尽管多数人都认为前苏联解体是马列的一大挫败，认为这就是客观事实。但片偏就反其道而行之。从他近乎病态的坚持来看，这个看起来非常有悖常识的看法就是他内心真实的想法。一个人坚持表达自己内心的想法·是在说谎吗？不好定论。


有人说可以用客观标准来衡量，然而可惜的是客观标准始终难以树立，所以这个说谎者-片云游空悖论还将困扰人们。