在一场足球比赛中，时常出现比分落后的球队的球迷感到失望，连电视机前的球迷都换台的情况；但可能仅仅过了10分钟左右，无意中换回台的球迷又燃起了希望；之后的10分钟左右，落后方的球迷既有可能看到希望即将成真，也有可能陷入更深一层的失望，甚至陷入绝望。
在一个赛季的联赛中，时常出现以夺冠为目标，但积分暂时排名第二的球队的球迷感到失望，连电视机前的球迷都懒得看战报情况；但可能仅仅过了一轮，无意中看到新闻中的战报的球迷又燃起了希望；又经过一轮之后，落后方的球迷既有可能看到希望即将成真，也有可能陷入更深一层的失望，甚至陷入绝望。
那么悲观情况与乐观情况是如何转变的呢？
先看单场比赛。
如果一场比赛，你支持的球队至少需要一场平局；但上半场你支持的球队先丢一球；比赛进行到第70分钟时，对方的第二次破门你支持的球队以0：2落后，你觉得还有多大的可能扳平？
我们可以看出，这种情况意味着，在接下来的20分钟时间里，落后方需要至少比领先方多进2球才行；因此，想必大部分人对此感到悲观。
但如果你的球队在第81分30秒时扳回一球，想必大部分人又开始乐观起来了吧！
为什么是这样呢？
首先，如果这场比赛无限进行下去，第三个进球和第四个进球迟早会到来；如果比赛进行到第70分钟时，落后方以0：2落后，落后方要做的是让第三个进球和第四个进球在接下来的20分钟（加上伤停补时在23分钟左右）内出现，且这两个进球都是落后方攻进领先方的大门（其实这不绝对，因为如果在比赛最后时刻，落后方的球队进三球，在其中的第一球和第二球之间，领先方了进一球的话，落后方还是能扳平比分的；不过这是小概率事件，这里不考虑）。
那么这种事情发生的概率有多大呢？
从【上一个进球完成】到【下一个进球完成】所用的时间的长度不固定，因此这是一个随机变量；虽然有普朗克时间理论认为时间是量子化的，但相对于20分钟而言，时间量子的数量级太小，因此在本文中，我们可以认为时间是连续的；所以，可以认为这个变量是一个连续变量，服从某个连续型随机变量的概率分布。
一般地，这种随着时间的推移，随时可能发生某个事件的概率分布属于指数分别，常见的指数分布有电子元器件的使用寿命的分布（随着时间的推移，元器件随时可能坏掉）、放射性衰变的时间分布等；但一个进球出现之后，由于球员需要调整攻防状态，一两分钟内很难再有第二个进球，这与指数分布不符。
因此，我们的假设是：全场第二个进球发生之后1.5分钟无进球；从71分30秒开始计时，第三个进球完成的时间服从指数分布。
同样地，假设全场第三个进球发生之后1.5分钟无进球；从第三个进球发生之后1.5分钟开始计时，第四个进球完成的时间服从指数分布。
设进第三个球所用的时间为X（从第二个进球之后开始算起，到第三个进球发生所用的时间，单位为分钟），进第四个球所用的时间为Y（从第三个进球之后开始算起，到第四个进球发生所用的时间，单位为分钟），再设X’=X-1.5，Y’=Y-1.5，则X’、 Y’服从相同的指数分布。
设参数为λ（根据指数函数的性质，1/λ为函数的数学期望），则这两个指数分布的概率密度如下：



两个事件可视为相互独立事件，因此联合概率密度如下：



下面开始计算，首先需要计算的是，【从第二个进球发生到第四个进球发生所用的时间】不长于【比赛允许的时间】的概率。
设从第二个进球发生时到比赛结束，剩余的时间为T（单位为分钟），再设T减去两次调整攻防状态的时间（各1.5分钟，共3分钟），得到的时间为T’（单位为分钟），则T’=T-3。
所以，【从第二个进球发生到第四个进球发生所用的时间】不长于【比赛允许的时间】的概率是【以下三个条件同时成立】的概率：
X≥1.5，Y≥1.5，X+Y≤T
或者：
X’≥0，Y’≥0，X’+Y’≤T’
那么需要求的概率如下：



由于T=23（从第70分钟到第90分钟一共20分钟，加上伤停补时一共23分钟左右），所以T’=23-3=20。
再考虑λ，参照欧洲五大联赛的进球效率，2015——2016赛季欧洲五大联赛一共踢了1860场，进了4834球（英超380场1026球，西甲380场1043球，意甲380场939球，德甲340场866球，法甲380场960球）；按一场96分钟算，是178560分钟进了4834球，平均36.94分钟进一球。
但不能因此就说1/λ=36.94，因为这个36.94分钟包括调整攻防状态的时间；更重要的是，1/λ是【从上一个进球发生到下一个进球发生的时间】扣除【调整时间】的数学期望，而这个36.94分钟包括【进完全场最后一个球后额外富裕出的时间】（举个例子，如果一场比赛无限进行下去的话，第40分钟、第80分钟、第120分钟会各出现一个进球的话，从上一个进球发生到下一个进球发生的时间的数学期望是40分钟，扣除调整时间是38.5分钟；但由于裁判会在第96分钟吹响结束哨音，因此算出来的结果是48分钟一个进球），因此1/λ应该比36.94小。
所以，假设1/λ=30相对合理，即λ=1/30。
将λ=1/30、T’=23-3=20带入式子：



也就是说【从第二个进球发生到第四个进球发生所用的时间】不长于【比赛允许的时间】的概率约为14.4%。
接下来计算落后方能扳平比分的概率，由于这两个进球必须都是由落后方攻入领先方的大门，落后方才能扳平比分，设在全部四种情况（两个进球都是由落后方攻入；两个进球都是由领先方攻入；第一个进球由落后方攻入，第二个进球由领先方攻入；第一个进球由领先方攻入，第二个进球由落后方攻入）中，这种情况发生的概率为α，如果两个进球由领先方或落后方攻入的概率都是50%的话，α=50%×50%=25%理论上，落后方能扳平比分的概率只有14.4%×25%=3.6%。
当然，这只是理论上的情况，真实情况未必能悲观到这种地步，因为根据统计，足球比赛在第85分钟之后的进球效率往往高于全场比赛的平均进球效率，所以λ应该比1/30要大。如果λ=1/25，3.6%会变成4.78%；如果λ=1/20，3.6%会变成6.61%……
但值得注意的是，能在前70分钟就领先两球的球队往往是实力更强的球队，而如果接下来有进球，也更有可能是强队打入的，所以这仍然是一个十分悲观的数据——翻开世界杯的历史，某支球队在比赛进行到第70分钟或第100分钟时，以0：2或1：3或2：4落后的情况下，能在90分钟或120分钟内将比分扳平的情况仅出现了5次（1962年世界杯苏联队在2：4落后哥伦比亚队的情况下将比分扳成4：4，1982年世界杯德国队在1：3落后法国队的情况下将比分扳成3：3，1994年世界杯韩国队在0：2落后西班牙队的情况下将比分扳成2：2，1998年世界杯德国队在0：2落后南斯拉夫队的情况下将比分扳成2：2，1998年世界杯墨西哥队在0：2落后荷兰队的情况下将比分扳成2：2），而未能扳平的情况仅仅2014年世界杯就出现了12次（荷兰队5：1西班牙队、哥伦比亚队3：0希腊队、阿根廷队2：1波黑队、智利队2：0西班牙队、哥伦比亚队2：1科特迪瓦队、巴西队4：1喀麦隆队、西班牙队3：0澳大利亚队、波黑队3：1伊朗队、瑞士队3：0洪都拉斯队、哥伦比亚队2：0乌拉圭队、巴西2：1哥伦比亚队、荷兰3：0巴西队，其中有的第70分钟后双方均未破门，有的第70分钟后落后方仅扳回一球，有的第70分钟后领先方扩大了战果）；值得注意的是，早期世界杯的进球效率是比36.94分钟进一球更快的；另外，这些比赛大部分都是领先方在第70分钟之前就领先两球的，所以给两个1.5分钟作为调整时间，实际上是把T’算短了。
由此可见，α很可能比25%小，所以情况恐怕还真的能悲观到这种地步。
但如果落后方在第81分30秒时扳回一球呢？
此时距离比赛结束还有11.5分钟；扣除1.5分钟的调整时间，还有10分钟；此时需要计算的是落后方在10分钟之内扳回一球的概率。
此时首先需要计算的是【从第三个进球发生到第四个进球发生所用的时间】不长于【比赛允许的时间】的概率。仍然设参数为λ，则概率密度如下：



由于此时距离比赛结束还有11.5分钟；扣除1.5分钟的调整时间，还有10分钟，所以需要满足的条件是0≤Y’≤10，故这个概率的计算如下：



将λ=1/30代入，则【从第三个进球发生到第四个进球发生所用的时间】不长于【比赛允许的时间】的概率约为28.3%；假设这个进球由领先方或落后方攻入的概率是50%的话，理论上，落后方能扳平比分的概率是28.3%×50%≈14.2%。
14.2%也不算太大，但比起3.6%真是乐观太多了（毕竟对于落后方来说，能有10%以上的追平希望就算不错了）；何况，【第85分钟之后的进球效率高于全场比赛的平均进球效率】这一规律在第81分30秒之后起的作用更明显。
但如果落后方在第75分或78分将比分扳平，领先方在第80分时又打进一球，3：1领先了呢？此时落后方的球迷势必又悲观了起来，并且失望会变成绝望——大家可以自行把T’=10代入公式，计算一下概率。
以上是单场比赛情况悲观与情况乐观的例子，下面说整个赛季的例子。
如果一个赛季还有五轮比赛结束，你支持的球队落后领头羊4分排名第二（其他球队远远落后，无法追赶了），最后五轮你支持的球队与领头羊没有直接交手的话，你对夺冠是乐观还是悲观？
如果倒数第五轮，你支持的球队赢了，领头羊被逼平了呢？
如果倒数第四轮，你支持的球队被逼平了，领头羊赢了呢？
如果倒数第三轮，你支持的球队赢了，领头羊输了呢？
收拾一下你过山车般的心情，看看计算。
首先估计一下两队对阵积分榜第二名开外的球队的胜率、平率、负率。
仍然参照2015——2016赛季的欧洲五大联赛，五个联赛冠军和五个联赛亚军对阵联赛其他球队的成绩为246胜66平40负（莱斯特城队23胜12平1负，阿森纳队18胜11平7负，巴塞罗那队28胜4平4负，皇家马德里队27胜6平3负，尤文图斯队28胜4平4负，那不勒斯队24胜7平5负，拜仁慕尼黑队27胜3平2负，多特蒙德队24胜5平3负，巴黎圣日耳曼队29胜6平1负，里昂队18胜8平10负），胜率约69.9%，平率约18.8%，负率约11.4%；取整，设两队对阵积分榜第二名开外的球队的胜率、平率、负率分别为70%、20%、10%。
设联赛还有五轮时，甲队领先乙队5分，则根据假设，最后五轮甲、乙取得如下分数的概率是相等的：


联赛结束时，乙队积分比甲队高的情况及概率列表如下：


合计0.0552062056，约5.5%。
联赛结束时，乙队积分和甲队相同的情况及概率列表如下：


合计0.0451320552，约4.5%。
总计0.100338268，约10.0%；若两队最终的积分并列第一的情况下，两队夺冠的概率都是50%；则乙队能夺冠的概率为0.0552062056+0.0451320552×50%=0.0777722332，约7.8%。
设联赛还有四轮时，甲队领先乙队3分，则根据假设，最后四轮甲、乙取得如下分数的概率是相等的：


联赛结束时，乙队积分比甲队高的情况及概率列表如下：


合计0.12762605，约12.8%。
联赛结束时，乙队积分和甲队相同的情况及概率列表如下：


合计0.07884008，约7.9%。
总计0.20646613，约20.6%；若两队最终的积分并列第一的情况下，两队夺冠的概率都是50%；则乙队能夺冠的概率为0.12762605+0.07884008×50%=0.16704609，约16.7%。
设联赛还有三轮时，甲队领先乙队5分，则根据假设，最后三轮甲、乙取得如下分数的概率是相等的：


联赛结束时，乙队积分比甲队高的情况及概率列表如下：


合计0.018669，约1.9%。
联赛结束时，乙队积分和甲队相同的情况及概率列表如下：


合计0.033306，约3.3%。
总计0.051975，约5.2%；若两队最终的积分并列第一的情况下，两队夺冠的概率都是50%；则乙队能夺冠的概率为0.018669+0.033306×50%=0.035322，约3.5%。
设联赛还有两轮时，甲队领先乙队2分，则根据假设，最后两轮甲、乙取得如下分数的概率是相等的：


联赛结束时，乙队积分比甲队高的情况及概率列表如下：


合计0.1281，约12.8%。
联赛结束时，乙队积分和甲队相同的情况及概率列表如下：


合计0.2048，约20.4%。
总计0.3329，约33.2%；若两队最终的积分并列第一的情况下，两队夺冠的概率都是50%；则乙队能夺冠的概率为0.1281+0.2048×50%=0.2305，约23.1%。
如果概率越高越乐观的话，计算结果想必跟大家的心情一样：剩五轮时比较失望，剩四轮时燃起希望，剩三轮时陷入绝望，剩两轮时又燃起更大的希望。
2013——2014赛季英超联赛最后几轮，曼城、利物浦、切尔西三队激烈地争夺冠军，三队交替输球或被逼平，所以三队的球迷的心情也如同过山车。
其实，即便是在联赛中程，也存在类似的规律：2011——2012赛季的西甲联赛第22轮之后，巴塞罗那队落后皇家马德里队7分，此时巴塞罗那队主教练瓜迪奥拉仍然乐观，因为联赛还有16轮，在第35轮两队有一次直接交手，如果巴塞罗那队能获胜，并且皇家马德里队在其余15轮比巴塞罗那队多犯两次错误的话，巴塞罗那队仍然是冠军；但第23轮，皇家马德里队赢了，巴塞罗那队输了，此时的瓜迪奥拉也悲观了，因为巴塞罗那队要夺冠，除了需要在与皇家马德里队的直接交锋中获胜之外，还要寄希望于皇家马德里队在其余14轮（已经少了一轮了）联赛中至少比巴塞罗那队多犯三次错误（至少一次是输球）或四次错误（都是被逼平）；但此后巴塞罗那队取得了11连胜，而皇家马德里队在第28轮、第29轮和第32轮却犯了四次错误中的三次（三次被逼平），巴塞罗那队只落后4分了，此时巴塞罗那队全上下又乐观了起来；然而第35轮，巴塞罗那队输给了皇家马德里队，联赛仅剩三轮却需要追7分，巴塞罗那队彻底绝望。
综上所述，无论是单场比赛还是一个赛季，如果一支球队处于落后状态，需要在有限的时间或轮次内出现至少两次利好情况（如追回两球、竞争对手两次输球或被逼平）才能追回来的话，由于追回来的概率较小，该队及其球迷会悲观；如果一次利好情况出现了，追回来的概率会明显增加，该队及其球迷会乐观起来；此后，出现第二次利好情况会让追回来的概率进一步增加，让当事人更加乐观，而出现不利情况会让追回来的概率下降，甚至降到谷底，当事人则会重新悲观，甚至比原来更加悲观。
需要指出的是，有时利好情况不是追回一球或联赛竞争对手未能获胜，而是让参数向着对自己有利的方向发展。
比如单场比赛中，如果对方核心球员受伤，很可能会让α上升，同时还有可能让λ上升；而一个赛季进入到后半段，如果对方核心球员受伤，很可能会让对手接下来的比赛的胜率下降。
其实，在其他体育比赛中，也存在类似的现象。
以NBA为例，单场比赛如果某队最后时刻落后5分，落后方需要拼三分球、用犯规战术，由于成功率不高，此时落后方的球迷会较为悲观；如果落后方三分投进，则落后方的球迷会相对乐观；落后方接下来会采用犯规战术，在这种情况下，如果领先方两罚中一，落后方抢到篮板，则落后方的球迷会更加乐观；如果领先方两罚中一，但领先方抢到篮板，则落后方的球迷会再次悲观起来，甚至陷入绝望。仍然以NBA为例，对于整个赛季常规赛或七场四胜制的系列赛来说，也类似足球联赛，如2012——2013赛季的湖人队在争夺季后赛席位的进程中，一度落后西部第八的球队很多，需要大量利好情况才能进季后赛时，湖人队的球迷集体悲观，但这些利好情况一个个发生之后，湖人队的球迷又乐观了起来，最终湖人队进入了季后赛；而七场四胜制系列赛，某队0：2落后时，该队的球迷会比较悲观；如果追至1：2，该队的球迷会重燃夺冠希望，乐观起来；接下来，如果该队将比分追至2：2，则该队的球迷会更加乐观，但如果比分变成了1：3，则该队的球迷会重新悲观，甚至近乎绝望。
当然，事在人为，小概率事件终究会发生的，NBA历史上，在七场四胜制的系列赛中在1：3落后（哪怕之后对手还有主场优势）的情况下翻盘的先例不是没有，相信早晚有一天，在七场四胜制的系列赛中在0：3落后的情况下翻盘的情况也会出现的。有兴趣的读者可以估算一下这种情况出现的概率。