100box应该如何决定11连还是单抽？
RT，今天下午在吧里看到这个问题，我本身好奇这个问题也很长时间了，感觉比较有趣所以就计算了一下。当然lz的结论并不一定正确，对计算方法有疑问的话完全欢迎在帖子里指正与讨论。
2L先放结论吧：当box中剩余卡数大于【55张】时，应当优先使用11连，否则应该选择单抽。55张恰好为“分界点”，但不同抽卡方式相差不大（差距不超过6心）。
相信这个结果比较反很多人的直觉，也确实比我直观感受到的数量高很多。楼下详细阐述分析与计算过程。
相信这个结果比较反很多人的直觉，也确实比我直观感受到的数量高很多。楼下详细阐述分析与计算过程。
一、【问题描述】
box问题可以规约为一个不放回的抽取问题：
假设卡池中共有100张卡，只有1张为我们需要的“UR卡”。现在对其进行不放回随机抽卡。我们有两种抽取策略：
1. 花费50心，抽11张卡；
2. 花费5心，抽1张卡。
显然在刚开始抽卡时，50心11连的方案较优。而随着抽卡逐渐进行到最后，UR的概率逐渐提高，11连往往会“浪费”一些心。最极端的，当卡池仅剩11张卡时，11连方案需要50心才能获取到UR，而单抽方案则平均只需要6抽（即30心）即可获取到UR。因此我们需要制定一个策略来实现最节省资源的抽卡：在卡池里的卡数大于N时，采用11连，随后均采用单抽。问题即为如何确定N的值。
【补充说明】：考虑到红券、绿券对于不同卡池的效用不同，关于其是否可以等效为50心与5心的问题这里先不进行讨论，后续就此问题进行补充说明。此模型仅考虑用心抽卡池的情况。
box问题可以规约为一个不放回的抽取问题：
假设卡池中共有100张卡，只有1张为我们需要的“UR卡”。现在对其进行不放回随机抽卡。我们有两种抽取策略：
1. 花费50心，抽11张卡；
2. 花费5心，抽1张卡。
显然在刚开始抽卡时，50心11连的方案较优。而随着抽卡逐渐进行到最后，UR的概率逐渐提高，11连往往会“浪费”一些心。最极端的，当卡池仅剩11张卡时，11连方案需要50心才能获取到UR，而单抽方案则平均只需要6抽（即30心）即可获取到UR。因此我们需要制定一个策略来实现最节省资源的抽卡：在卡池里的卡数大于N时，采用11连，随后均采用单抽。问题即为如何确定N的值。
【补充说明】：考虑到红券、绿券对于不同卡池的效用不同，关于其是否可以等效为50心与5心的问题这里先不进行讨论，后续就此问题进行补充说明。此模型仅考虑用心抽卡池的情况。
二、【问题分析与简化】
原问题涉及到多轮抽卡，并不十分友好，因此我们将其简化为下述问题：
当前卡池中共有N张卡（不是100张），且其中有1张UR。我们针对【当前11抽】，有两种抽卡策略：
1. 花费50心，进行一次11连；
2. 依次花费5心，进行11次单抽。
11次以后的的抽卡策略不再关心。
简化后的问题与原问题具有等价性，下面进行说明。
原问题涉及到多轮抽卡，并不十分友好，因此我们将其简化为下述问题：
当前卡池中共有N张卡（不是100张），且其中有1张UR。我们针对【当前11抽】，有两种抽卡策略：
1. 花费50心，进行一次11连；
2. 依次花费5心，进行11次单抽。
11次以后的的抽卡策略不再关心。
简化后的问题与原问题具有等价性，下面进行说明。
三、【简化问题的等价性】
1. 若100***ox抽到剩N抽时还未抽到UR，则剩余box的抽卡体验等同于抽一个【仅有N***ox】（这个应该没人怀疑吧？）
2. 若简化问题中单抽方式占优，则恰好对应原问题中利用单抽的方式；若简化问题中11连占优，说明可抽一次11连，并转化为当N'=N-11时的简化问题。初始时N为100，最终必将在一个特定的N值上两种策略效用相等。
1. 若100***ox抽到剩N抽时还未抽到UR，则剩余box的抽卡体验等同于抽一个【仅有N***ox】（这个应该没人怀疑吧？）
2. 若简化问题中单抽方式占优，则恰好对应原问题中利用单抽的方式；若简化问题中11连占优，说明可抽一次11连，并转化为当N'=N-11时的简化问题。初始时N为100，最终必将在一个特定的N值上两种策略效用相等。
四、【问题分析与求解】
BOX本质就是一个不放回抽卡问题，卡池出货率随抽卡次数的变化为线性：
因此在卡池剩余为N时，单抽出货率和十一连出货率如下式：
P1 = 1 / N P11 = 11 / N
在卡池剩余N张时，不妨假设剩余N-11张时，期望花的心数为E(N-11)，因此若分别采用方案1（11连）与方案2（11次单抽），抽到U时消耗心数的期望分别为：
这里简单解释下，11连的方案为有P11(N)的概率花费50心，其余情况下要花费50+E(N-11)心。而单抽则有P11(N)的概率等可能花费5~55心（即平均30心），其余情况下要花费50+E(N-11)心。总结一下就是11连更加注重长远利益，而单抽更注重眼前利益。
二者期望相同时即为分界点，因此得到
于是得到结论：在卡池剩余55抽时，恰好为两种方案的分界点，即无论11连还是单抽期望花费心数均相等。剩余越多，越适合用11连的方式，否则应用单抽的方式。
BOX本质就是一个不放回抽卡问题，卡池出货率随抽卡次数的变化为线性：
因此在卡池剩余为N时，单抽出货率和十一连出货率如下式：
P1 = 1 / N P11 = 11 / N
在卡池剩余N张时，不妨假设剩余N-11张时，期望花的心数为E(N-11)，因此若分别采用方案1（11连）与方案2（11次单抽），抽到U时消耗心数的期望分别为：
这里简单解释下，11连的方案为有P11(N)的概率花费50心，其余情况下要花费50+E(N-11)心。而单抽则有P11(N)的概率等可能花费5~55心（即平均30心），其余情况下要花费50+E(N-11)心。总结一下就是11连更加注重长远利益，而单抽更注重眼前利益。
二者期望相同时即为分界点，因此得到
于是得到结论：在卡池剩余55抽时，恰好为两种方案的分界点，即无论11连还是单抽期望花费心数均相等。剩余越多，越适合用11连的方式，否则应用单抽的方式。
五、【模拟验证】
那么光说不练假把式，经不起实践考验的结论必将被历史淘汰。于是我用matlab模拟了一亿次box抽卡，分别采用不同的十一连次数策略，即前k次抽卡用11连，之后转为单抽，得到的期望心数花费如下图所示：
可见，【前四次11连或前5次11连】，平均花费的心数基本都是最低的，这也与我们计算的结果相吻合。
不过同时也可以看到，即使是全部单抽这种“土豪行径”，从模拟结果上也只比最优策略花多了5.87心，所以千辛万苦，也就省下了一次单抽钱。
那么光说不练假把式，经不起实践考验的结论必将被历史淘汰。于是我用matlab模拟了一亿次box抽卡，分别采用不同的十一连次数策略，即前k次抽卡用11连，之后转为单抽，得到的期望心数花费如下图所示：
可见，【前四次11连或前5次11连】，平均花费的心数基本都是最低的，这也与我们计算的结果相吻合。
不过同时也可以看到，即使是全部单抽这种“土豪行径”，从模拟结果上也只比最优策略花多了5.87心，所以千辛万苦，也就省下了一次单抽钱。
六、【其它讨论】
之前有吧友提到绿券与红券应当先用还是后用的问题。从作用上来说，券只能抽box与无限池，不能抽阶梯，一定程度上限制了券的使用。毫无疑问的是红券抽box时可以先使用（因为其和50心在box和无限池中完全等价），而绿券众所周知是不适合抽无限池的，如下图展示了【利用绿券】抽box和无限池得到的期望UR数及0U率：
关于绿券是否应“优先”抽box，lz思考后给出的答案是和个人的绿券储量和抽卡计划有关，即需要确定当前绿券是否“溢出”。手上绿券多，又没有什么抽box的计划时，绿券几乎完全没有作用，因此完全可以将绿券优先投入box使用。而如果能保证手上绿券【只抽box都不够】的情况下，则可以等同于本文中的5心，即4次或5次11连后再使用绿券掏底。
之前有吧友提到绿券与红券应当先用还是后用的问题。从作用上来说，券只能抽box与无限池，不能抽阶梯，一定程度上限制了券的使用。毫无疑问的是红券抽box时可以先使用（因为其和50心在box和无限池中完全等价），而绿券众所周知是不适合抽无限池的，如下图展示了【利用绿券】抽box和无限池得到的期望UR数及0U率：
关于绿券是否应“优先”抽box，lz思考后给出的答案是和个人的绿券储量和抽卡计划有关，即需要确定当前绿券是否“溢出”。手上绿券多，又没有什么抽box的计划时，绿券几乎完全没有作用，因此完全可以将绿券优先投入box使用。而如果能保证手上绿券【只抽box都不够】的情况下，则可以等同于本文中的5心，即4次或5次11连后再使用绿券掏底。
对了顺便提一嘴，这个问题之前吧里有精品贴计算过，结论也是55抽，详情可以看这个帖子：
http://tieba.baidu.com/p/5564678542
我就当验证一下，补充一下计算过程吧
http://tieba.baidu.com/p/5564678542
我就当验证一下，补充一下计算过程吧
更新一下不同11连次数抽卡策略下的标准差，方便讨论风险问题
图中看来的话，先抽5次11连这种方案，花费心数的标准差为127心，所以这种策略是一种期望又高，风险又较低的抽卡方式
【顺便提醒结论适用条件】
仅适用于你资源足够，且必须要抽出UR的情况。
【以下两种条件不再适用！！！】
1. 资源不够一盒box又想要：氪金氪得越多越便宜，不再适用于5心与50心的比例，因此只管11连就完了，后面氪金能少一点。
2. 随便抽着玩，不一定要抽出来：问题转化为UR期望问题，同样也是只管11连就完了。
图中看来的话，先抽5次11连这种方案，花费心数的标准差为127心，所以这种策略是一种期望又高，风险又较低的抽卡方式
【顺便提醒结论适用条件】
仅适用于你资源足够，且必须要抽出UR的情况。
【以下两种条件不再适用！！！】
1. 资源不够一盒box又想要：氪金氪得越多越便宜，不再适用于5心与50心的比例，因此只管11连就完了，后面氪金能少一点。
2. 随便抽着玩，不一定要抽出来：问题转化为UR期望问题，同样也是只管11连就完了。