有限资源下可重置Box的期望收益及抽卡策略
一楼感谢吧友（抱歉，我不知道怎么@ 带特殊符号的ID）在p/5562524823这个贴子里对无限资源下可重置Box的模拟，以及感谢吧友@乙哥非凡吊炸天的积极推广。本文纯粹为强迫症犯了的表现，新结论仅供参考。
理论计算和程序模拟均表明无限资源下Box的期望收益为每次单抽1.6678%UR，且最佳抽卡策略如下：第一次出U时若卡池仍有不小于119张则立即重置，否则抽到第二张U后再重置。然而，实践中抽卡资源很可能非常有限，使得期望收益达不到1.6678%，最佳策略也会略有改变。事实上，手头的资源仅够200抽时期望收益只有1.4892%，甚至低于无限资源但不采用最佳策略（即只在抽到2U时重置）的1.5%。
知道大家都不喜欢看数学推导，楼下直接放主要结论，内容包括有限资源时的期望收益、最佳策略和50心用于单抽/11连的比较。
理论计算和程序模拟均表明无限资源下Box的期望收益为每次单抽1.6678%UR，且最佳抽卡策略如下：第一次出U时若卡池仍有不小于119张则立即重置，否则抽到第二张U后再重置。然而，实践中抽卡资源很可能非常有限，使得期望收益达不到1.6678%，最佳策略也会略有改变。事实上，手头的资源仅够200抽时期望收益只有1.4892%，甚至低于无限资源但不采用最佳策略（即只在抽到2U时重置）的1.5%。
知道大家都不喜欢看数学推导，楼下直接放主要结论，内容包括有限资源时的期望收益、最佳策略和50心用于单抽/11连的比较。
绝大部分情况下50心用于11连更合适，但下列情况11连的期望收益反而不如10次单抽：
（1）卡池还剩不足55张且只有1U；
（2）卡池还剩不足19张且还有2U。
（1）卡池还剩不足55张且只有1U；
（2）卡池还剩不足19张且还有2U。
主要结论已完，大致意思就是说资源不足时期望收益可能远低于1.6678%。我先去吃个饭，如果有人感兴趣我再放推导过程（动态规划）吧。
其他定性结论：
若所有资源都用于抽Box，即不考虑其他如阶梯等卡池，
（1）十一连优先用于卡池里还有2U的情形，特别是处于临界抽卡次数之前或附近时；
（2）卡池总卡数越多，十一连越有利；总卡数越少，单抽越有利（均为相对）。
若所有资源都用于抽Box，即不考虑其他如阶梯等卡池，
（1）十一连优先用于卡池里还有2U的情形，特别是处于临界抽卡次数之前或附近时；
（2）卡池总卡数越多，十一连越有利；总卡数越少，单抽越有利（均为相对）。
突然想到可以做一个有趣的比较：240心大阶梯共有5次SR保底1次SSR保底，折算成50心11连相当于1.50%的UR出率。对应的Box66连只有1.16%的UR出率。大家应该知道如何做选择了吧？
说明：本文假设UR为唯一收益来源，且风险中性，即只考虑期望而不考虑方差。以下的“最佳抽卡次数”指第一次抽到UR时若用了不超过该次数则立即重置，否则抽到第二张U后重置。
非常抱歉，前一版在算法的最后整理最佳抽卡策略时算错了，下面是修正版（期望收益没有修改）。另外这里同时附上基于单抽和基于11连的两种结果，对于11连为了简化计算忽略最后2次单抽的投入。
资源（单抽） 期望收益（%UR） 最佳抽卡次数(不足100次单抽时抽到U即重置)
1-21 1-1.05 0-20
22-41 1.05-1.1 21-40
42-62 1.1-1.15 41-61
63-84 1.15-1.2 62-83
85-108 1.2-1.25 84-99
109-132 1.25-1.3 97-89
133-154 1.3-1.35 88-80
155-173 1.35-1.4 80-72
174-189 1.4-1.45 71-64
190-224 1.45-1.5 59-67
225-357 1.5-1.55 68-93
358-605 1.55-1.6 77-82
606-1000 1.6-1.63 80-81
资源（11连） 期望收益（%UR） 最佳抽卡次数(不足9次11连时抽到U即重置)
1-2 1-1.03 0-1
3-4 1.05-1.08 2-3
5-6 1.1-1.13 4-5
7-9 1.15-1.2 6-8
10-11 1.22-1.24 9-8
12-13 1.26-1.28 8
14-15 1.3-1.33 7
16-17 1.36-1.39 6
18-21 1.44-1.45 5-6
22-34 1.45-1.5 7-8
35-72 1.5-1.55 7
73-100 1.55-1.56 7
举两例解释一下上面的表格怎么用。
比如说我攒了300心，如果抽60次单抽，那么每张抽到的卡有1.1-1.15%的UR率（精确值为1.14%），一旦抽到UR立即重置；如果抽6次11连，那么每张抽到的卡有1.1-1.13%的UR率（精确值为1.13%），一旦抽到UR立即重置。
又如我攒了1000心，如果抽200次单抽，那么每张抽到的卡有1.45-1.5%的UR率（精确值为1.49%），前59-67次（精确值为59次）抽到UR时立即重置，否则抽到第二张U再重置；如果抽20次11连，那么每张抽到的卡有1.44-1.45%的UR率（精确值为1.44%），前5-6次（精确值为6次）抽到UR时立即重置，否则抽到第二张U再重置。
非常抱歉，前一版在算法的最后整理最佳抽卡策略时算错了，下面是修正版（期望收益没有修改）。另外这里同时附上基于单抽和基于11连的两种结果，对于11连为了简化计算忽略最后2次单抽的投入。
资源（单抽） 期望收益（%UR） 最佳抽卡次数(不足100次单抽时抽到U即重置)
1-21 1-1.05 0-20
22-41 1.05-1.1 21-40
42-62 1.1-1.15 41-61
63-84 1.15-1.2 62-83
85-108 1.2-1.25 84-99
109-132 1.25-1.3 97-89
133-154 1.3-1.35 88-80
155-173 1.35-1.4 80-72
174-189 1.4-1.45 71-64
190-224 1.45-1.5 59-67
225-357 1.5-1.55 68-93
358-605 1.55-1.6 77-82
606-1000 1.6-1.63 80-81
资源（11连） 期望收益（%UR） 最佳抽卡次数(不足9次11连时抽到U即重置)
1-2 1-1.03 0-1
3-4 1.05-1.08 2-3
5-6 1.1-1.13 4-5
7-9 1.15-1.2 6-8
10-11 1.22-1.24 9-8
12-13 1.26-1.28 8
14-15 1.3-1.33 7
16-17 1.36-1.39 6
18-21 1.44-1.45 5-6
22-34 1.45-1.5 7-8
35-72 1.5-1.55 7
73-100 1.55-1.56 7
举两例解释一下上面的表格怎么用。
比如说我攒了300心，如果抽60次单抽，那么每张抽到的卡有1.1-1.15%的UR率（精确值为1.14%），一旦抽到UR立即重置；如果抽6次11连，那么每张抽到的卡有1.1-1.13%的UR率（精确值为1.13%），一旦抽到UR立即重置。
又如我攒了1000心，如果抽200次单抽，那么每张抽到的卡有1.45-1.5%的UR率（精确值为1.49%），前59-67次（精确值为59次）抽到UR时立即重置，否则抽到第二张U再重置；如果抽20次11连，那么每张抽到的卡有1.44-1.45%的UR率（精确值为1.44%），前5-6次（精确值为6次）抽到UR时立即重置，否则抽到第二张U再重置。
提高收益的另一有效方式是及时停止，即预先设定一心理门槛值，当接下来的预期收益低于这一值时就不再继续抽了。下面结合一次抽卡模拟来说明完整的应用流程。
假设我攒了30张11连券以及少量绿券（只用于抽卡池最后两张卡），我希望收益不低于1.04%UR（即主卡池有保底的几率）。查表可知30次11连的预期收益为1.48%U，最佳抽卡次数为8次。下面开始抽卡：
第一个盒子抽到第10次才出1U，低于6次的平均水平。因为超过8次，我选择不重置。此时查表知接下来的预期收益为1.50%。又抽了5次后抽到第二张U，重置卡池。
此时我还剩15张11连券，查表知预期收益为1.33%U，最佳抽卡7次，值得继续抽卡。第二个盒子第7次出1U，仍低于平均水平。因为不超过最佳抽卡次数，应当立即重置。
此时我还剩8张11连券，查表知预期收益为1.17%，最佳抽卡7次，继续。第三个盒子抽完8次仍旧没有出U（我好像真的有点非……）。
最后总结，30张11连券共出3U，实际收益为0.91%我觉得也许我还是该放弃抽Box了……
假设我攒了30张11连券以及少量绿券（只用于抽卡池最后两张卡），我希望收益不低于1.04%UR（即主卡池有保底的几率）。查表可知30次11连的预期收益为1.48%U，最佳抽卡次数为8次。下面开始抽卡：
第一个盒子抽到第10次才出1U，低于6次的平均水平。因为超过8次，我选择不重置。此时查表知接下来的预期收益为1.50%。又抽了5次后抽到第二张U，重置卡池。
此时我还剩15张11连券，查表知预期收益为1.33%U，最佳抽卡7次，值得继续抽卡。第二个盒子第7次出1U，仍低于平均水平。因为不超过最佳抽卡次数，应当立即重置。
此时我还剩8张11连券，查表知预期收益为1.17%，最佳抽卡7次，继续。第三个盒子抽完8次仍旧没有出U（我好像真的有点非……）。
最后总结，30张11连券共出3U，实际收益为0.91%
我觉得也许我还是该放弃抽Box了……
我刚想到一句对Box抽卡机制的总结，自己感觉还不错
Box是现有唯一一个平均产出随投入非线性增加的卡池，最有效率的抽box策略其实就是拼命加大投入。因此这个卡池能有效打压白嫖党，鼓励重氪。我预期未来会有更多AC海这样的强卡进入Box而非通常卡池
Box是现有唯一一个平均产出随投入非线性增加的卡池，最有效率的抽box策略其实就是拼命加大投入。因此这个卡池能有效打压白嫖党，鼓励重氪。我预期未来会有更多AC海这样的强卡进入Box而非通常卡池
上一版的计算忽略了辅助券的收益，50心用于11连时会比拆成10次单抽多出0.1张辅助券（约0.62心）。加入这一因素后，修正结果如下：
（1）若box内剩余不足49张卡且仅有1U时，10次单抽优于11连；
（2）若box内剩余不足18张卡且仍有2U时，10次单抽优于11连。
其实结果也没和12L差太多就是了
（1）若box内剩余不足49张卡且仅有1U时，10次单抽优于11连；
（2）若box内剩余不足18张卡且仍有2U时，10次单抽优于11连。
其实结果也没和12L差太多就是了
其实比起能抽到几U，我更关心能不能抽到唯一想要的卡（AC绘里）。所以下面我就为我自己以及其他真爱党单独计算资源量与抽到至少一张梦情的几率。以下假设想抽到的卡为AC卡，所以为最大化抽到概率选择双AC卡池。“最佳抽卡次数”仍然指第一次抽到UR时是否立即重置的临界点
资源（单抽） 抽到概率（%） 最佳抽卡次数(不足100次单抽时抽到U即重置)
1-14 0-5 0-13
15-29 5-10 14-28
30-43 10-15 29-42
44-58 15-20 43-57
59-72 20-25 58-71
73-86 25-30 72-85
87-101 30-35 86-99
102-116 35-40 99-94
117-131 40-45 94-89
132-147 45-50 88-82
148-162 50-55 81-75
163-178 55-60 74-66
179-193 60-65 65-57
194-214 65-70 52-59
215-245 70-75 59-73
246-282 75-80 73-91
283-329 80-85 90-101
330-390 85-90 90-74
391-500 90-95 74-85
501-1000 95-100 84-79
最后祝大家都能抽到自己想要的卡！
资源（单抽） 抽到概率（%） 最佳抽卡次数(不足100次单抽时抽到U即重置)
1-14 0-5 0-13
15-29 5-10 14-28
30-43 10-15 29-42
44-58 15-20 43-57
59-72 20-25 58-71
73-86 25-30 72-85
87-101 30-35 86-99
102-116 35-40 99-94
117-131 40-45 94-89
132-147 45-50 88-82
148-162 50-55 81-75
163-178 55-60 74-66
179-193 60-65 65-57
194-214 65-70 52-59
215-245 70-75 59-73
246-282 75-80 73-91
283-329 80-85 90-101
330-390 85-90 90-74
391-500 90-95 74-85
501-1000 95-100 84-79
最后祝大家都能抽到自己想要的卡！
对于存了200抽以上的吧友，按照@ll鸟_二次元的建议，可以遵循以下策略以实现最大平均收益（注意不是总收益）：
（1）抽出第一张U时如果只抽了不超过81次单抽或7次11连，立即重置；
（2）抽出第一张U时如已过了上述时机，继续抽直到第二张U后重置；
（3）重置后如发现剩余资源不足200抽，立即放弃抽卡。
如起始资源不足200抽，或想要抽光所有资源并最大化总收益，或只关心抽到特定特典卡的几率，我这几天会传一个excel上来。
（1）抽出第一张U时如果只抽了不超过81次单抽或7次11连，立即重置；
（2）抽出第一张U时如已过了上述时机，继续抽直到第二张U后重置；
（3）重置后如发现剩余资源不足200抽，立即放弃抽卡。
如起始资源不足200抽，或想要抽光所有资源并最大化总收益，或只关心抽到特定特典卡的几率，我这几天会传一个excel上来。
若基于研究部推荐的强度本位的后期价值体系，并假设AC海=1分U+5SS贴，AC果/鸟=1U贴，则双限定box的极限平均收益为每一抽4.35心，相比阶梯后2发亏了4.3%，但绿券相比分up主卡池赚了19%。
为了照顾有些数学半吊子但又想自己算的人，这里放上几个简单式子吧……
X=出第一张U时的抽卡次数，Y=出第二张U时的抽卡次数。
P(X=n)=2*(200-n)/200/199，P(Y=n)=P(X=201-n)=2*(n-1)/200/199。
由此可计算得E(X)=201/3=67，E(Y)=2*201/3=134。
X=出第一张U时的抽卡次数，Y=出第二张U时的抽卡次数。
P(X=n)=2*(200-n)/200/199，P(Y=n)=P(X=201-n)=2*(n-1)/200/199。
由此可计算得E(X)=201/3=67，E(Y)=2*201/3=134。
知识准备：
Box里共N张卡，其中一张UR，若第x抽抽到UR，则x的期望为(N+1)/2。
E(x) = sum{i=0:N}(P(x>i)) = sum{i=0:N}((N-i)/N) = (N+1)/2
Box里共N张卡，其中两张UR，若第x抽抽到第一张UR，第y抽抽到第二张，则x的期望为(N+1)/3，y的期望为2(N+1)/3。
E(x) = sum{i=0:N}(P(x>i)) = sum{i=0:N}((N-i)(N-i-1)/N/(N-1))= (N+1)/3
E(y) = N+1-E(x) = 2(N+1)/3 （考虑所有卡排好顺序后倒过来抽，则原来的第二张UR变为第一张）
注：这里E()表示期望，sum{i=:}()表示求和（不知道贴吧能不能设置公式的格式，大家凑活着看吧……）
Box里共N张卡，其中一张UR，若第x抽抽到UR，则x的期望为(N+1)/2。
E(x) = sum{i=0:N}(P(x>i)) = sum{i=0:N}((N-i)/N) = (N+1)/2
Box里共N张卡，其中两张UR，若第x抽抽到第一张UR，第y抽抽到第二张，则x的期望为(N+1)/3，y的期望为2(N+1)/3。
E(x) = sum{i=0:N}(P(x>i)) = sum{i=0:N}((N-i)(N-i-1)/N/(N-1))= (N+1)/3
E(y) = N+1-E(x) = 2(N+1)/3 （考虑所有卡排好顺序后倒过来抽，则原来的第二张UR变为第一张）
注：这里E()表示期望，sum{i=:}()表示求和（不知道贴吧能不能设置公式的格式，大家凑活着看吧……）
假设策略的形式为第一次抽到UR时若不超过k张就重置，否则抽到第二张后重置。此时可将所有可能情况分为3类：A. 前k张含2U；B. 前k张恰含1U；C. 前k张含0U。若发生A或B，则均为抽到第一张U后重置；若发生C，则抽到两张U后重置。仍假设第x抽抽到第一张UR，第y抽抽到第二张。因此期望成本为E(x|A)P(A)+E(x|B)P(B)+E(y|C)P(C)，期望收益为P(A)+P(B)+2P(C)。
P(A) = k(k-1)/200/199; P(B) = 2k(200-k)/200/199; P(C) =(200-k)(199-k)/200/199.
E(x|A) = (k+1)/3; E(x|B) = (k+1)/2; E(y|C) = k+2(201-k)/3.
然后只需带入期望成本和收益的公式算出期望收益率，再对k求极值即可，计算过程不再赘述。
这里E(|)表示条件期望。
P(A) = k(k-1)/200/199; P(B) = 2k(200-k)/200/199; P(C) =(200-k)(199-k)/200/199.
E(x|A) = (k+1)/3; E(x|B) = (k+1)/2; E(y|C) = k+2(201-k)/3.
然后只需带入期望成本和收益的公式算出期望收益率，再对k求极值即可，计算过程不再赘述。
这里E(|)表示条件期望。