奇思妙想的定理世界
潘洛斯阶梯，又名潘罗斯阶梯、彭罗斯阶梯，由英国著名数学物理学家、牛津大学数学系名誉教授潘洛斯提出。曾出现在电影《盗梦空间》里面的清醒梦境中。
潘洛斯阶梯是：四条楼梯，四角相连，但是每条楼梯都是向上的，因此可以无限延伸发展。是三维世界里需要在一定角度下才能看到的楼梯。 在三维世界中不可能出现，这种不可能出现的物体来自于将三维物体描绘于二维平面时出现的错视现象。
为什么在三维世界中不可能存在呢?
潘洛斯阶梯是：四条楼梯，四角相连，但是每条楼梯都是向上的，因此可以无限延伸发展。是三维世界里需要在一定角度下才能看到的楼梯。 在三维世界中不可能出现，这种不可能出现的物体来自于将三维物体描绘于二维平面时出现的错视现象。
为什么在三维世界中不可能存在呢?
潘洛斯阶梯在三维的形态下最高的一级阶梯和最低的一级阶梯是分开的。从一个特定的视角，将下图蓝色线重叠，就能在视觉上实现潘洛斯阶梯了，它只是二维图形，不存在高度这个维度。图中那四条蓝色线，在这个特定视角成了点，这就是空间的转换导致的视觉效果
再举两个例子：
1、莫斯乌比环是由一个纸条(二维)，正面旋转180°与反面相接，它只有一个曲面。蚂蚁只能沿着一个曲面无限循环，所以蚂蚁只能认知二维世界，它们没有高度这个概念。而三维形态下，你可以看到它是呈“8”字型扭曲的，因为我们能认知三维，所以能比蚂蚁更了解这个怪圈。
2、克莱因瓶 由来： 在1882年，著名数学家菲立克斯·克莱因 (Felix Klein) 发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面(即环面)。 具体分析 我们可以说一个球有两个面——外面和内面，如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一个洞，就 无法爬到内表面上去。轮胎面也是一样，有内外表面之分。但是克莱因瓶却不同，我们很容易想象，一只爬在“瓶外”的蚂蚁，可以轻松地通过瓶颈而爬到“瓶内”去——事实上克莱因瓶并无内外之分！在数学上，我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型，而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。如果我们观察克莱因瓶的图片，有一点似乎令人困惑——克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。事实是：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。这是怎么回事呢？我们用扭结来打比方。如果我们把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线，它并不和自己相交，而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，这是一个事实上处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模样；就好像最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。题图就是一个用玻璃吹制的克莱因瓶。好玩的是，如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到两个麦比乌斯圈！
1、莫斯乌比环是由一个纸条(二维)，正面旋转180°与反面相接，它只有一个曲面。蚂蚁只能沿着一个曲面无限循环，所以蚂蚁只能认知二维世界，它们没有高度这个概念。而三维形态下，你可以看到它是呈“8”字型扭曲的，因为我们能认知三维，所以能比蚂蚁更了解这个怪圈。
2、克莱因瓶 由来： 在1882年，著名数学家菲立克斯·克莱因 (Felix Klein) 发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面(即环面)。 具体分析 我们可以说一个球有两个面——外面和内面，如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一个洞，就 无法爬到内表面上去。轮胎面也是一样，有内外表面之分。但是克莱因瓶却不同，我们很容易想象，一只爬在“瓶外”的蚂蚁，可以轻松地通过瓶颈而爬到“瓶内”去——事实上克莱因瓶并无内外之分！在数学上，我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型，而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。如果我们观察克莱因瓶的图片，有一点似乎令人困惑——克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。事实是：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。这是怎么回事呢？我们用扭结来打比方。如果我们把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线，它并不和自己相交，而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，这是一个事实上处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模样；就好像最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。题图就是一个用玻璃吹制的克莱因瓶。好玩的是，如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到两个麦比乌斯圈！
红色皇后理论是美国生物学家凡瓦伦提出的，这个奇怪的词来自英国数学家刘易斯•卡罗尔的童话《阿丽思镜中奇遇记》（《阿丽思梦游奇遇记》的续篇），阿丽思穿过了镜子，来到了奇幻世界，红色皇后是该世界里的一枚棋子，她告诉阿丽思，在这个世界里，人必须不停奔跑才能留在原地，真是虐待狂的地界。不知道跑步机的发明者有没有受红色皇后的启发。
还是说动物的事吧，据说猎***的家教是这样的：“孩子，你要是跑不过瞪羚，就会被饿死。”瞪羚妈妈的家教则是：“孩子，你要是跑不过猎豹，就会被吃掉。”
猎豹必须抓到瞪羚，否则就会饿死。经过一代又一代的激烈竞争，跑得慢的猎豹饿死了，活下来的都是精锐中的精锐。
然而这些最善跑的猎豹，虽然有着每小时接近101公里的速度，柔韧的脊椎，强劲的长腿、钉鞋般的爪子和流线体形，比祖先不知快了多少，猎豹捕到的瞪羚却不比祖先多。这是因为猎豹遭受考验的同时，瞪羚也在面临着同样的考验，只有跑得最快的瞪羚才能生存。虽然瞪羚的速度也有很大进步，能甩掉猎豹的瞪羚也没有增加，个中道理跟猎豹一样。
猎豹和瞪羚都被栓在红色皇后的跑步机上。两方不断地进化，越跑越快，但它们得到的东西，并没有跑得慢的祖先多。猎豹没有杀绝瞪羚，瞪羚也没有饿死全部的猎豹，虽然它们飞奔如同红色皇后，却始终留在原地。
还是说动物的事吧，据说猎***的家教是这样的：“孩子，你要是跑不过瞪羚，就会被饿死。”瞪羚妈妈的家教则是：“孩子，你要是跑不过猎豹，就会被吃掉。”
猎豹必须抓到瞪羚，否则就会饿死。经过一代又一代的激烈竞争，跑得慢的猎豹饿死了，活下来的都是精锐中的精锐。
然而这些最善跑的猎豹，虽然有着每小时接近101公里的速度，柔韧的脊椎，强劲的长腿、钉鞋般的爪子和流线体形，比祖先不知快了多少，猎豹捕到的瞪羚却不比祖先多。这是因为猎豹遭受考验的同时，瞪羚也在面临着同样的考验，只有跑得最快的瞪羚才能生存。虽然瞪羚的速度也有很大进步，能甩掉猎豹的瞪羚也没有增加，个中道理跟猎豹一样。
猎豹和瞪羚都被栓在红色皇后的跑步机上。两方不断地进化，越跑越快，但它们得到的东西，并没有跑得慢的祖先多。猎豹没有杀绝瞪羚，瞪羚也没有饿死全部的猎豹，虽然它们飞奔如同红色皇后，却始终留在原地。
生态上密切相关的物种的相互关联地进化叫做协进化或协同进化。协同进化的结果是相互适应相互衬托。物种之间形成非常复杂的相互作用、相互依存的关系。这种关系是除了物理的环境条件之外的另一种重要的外环境。在物理环境条件相对稳定的情况下，物种之间的关系构成驱动进化的选择压。
一个物种的任何进化改进可能构成对其他相关物种的竞争压力，所以，即使物理环境不变，种间关系也可能推动进化。在通常的环境下，物种之间保持着一种动态的平衡。物种间的生态关系的牵制作用使得物种在其生存期间绝灭的风险相对恒定：后代与祖先，新物种与老物种绝灭的机会几乎是相同的。这就是红皇后假说所要解释的现象。一个分类群的对数形式的生存曲线是线性的，绝灭概率是相对恒定的。
自然界中的物种生存状况就像路易斯·卡洛尔描写的爱丽丝镜中奇遇记故事中的红皇后所言的情景：“你必须尽力地不停地跑，才能使你保持在原地”。用中国话说就是“逆水行舟，不进则退”。在逆水中要保持在原来的地方，也要不停地尽力地划。或者更形象地比喻为鱼儿在急流中逆水而游，它们尽力地游才能不被水冲走，但要越过浅滩或暗礁，则要跳跃。种间关系的牵制作用使得物种要获得显著的进化改变相当困难，这是因为在生态系统中物种的进化是相互制约的，物种都在进化。
从短期来看，只要跟得上就能生存下去。但从长远看，一个物种要在生态系统中获得有利地位就要比别的物种跑得更快。一个物种若具有较大的进化潜力，就等于在进化赛跑中有超常的速度。长远来看，竞争的胜利者不是看当前的适应，而是看能否获得超出其他物种的进化能力。竞争的胜利者是那些获得超出其他物种的进化能力的。当前的适应并不能保证未来的成功，具有大的进化潜力的物种才能获得长远的成功。红皇后假说与物种选择说结合起来，可以解释具有进化功能的遗传结构起源。
一个物种的任何进化改进可能构成对其他相关物种的竞争压力，所以，即使物理环境不变，种间关系也可能推动进化。在通常的环境下，物种之间保持着一种动态的平衡。物种间的生态关系的牵制作用使得物种在其生存期间绝灭的风险相对恒定：后代与祖先，新物种与老物种绝灭的机会几乎是相同的。这就是红皇后假说所要解释的现象。一个分类群的对数形式的生存曲线是线性的，绝灭概率是相对恒定的。
自然界中的物种生存状况就像路易斯·卡洛尔描写的爱丽丝镜中奇遇记故事中的红皇后所言的情景：“你必须尽力地不停地跑，才能使你保持在原地”。用中国话说就是“逆水行舟，不进则退”。在逆水中要保持在原来的地方，也要不停地尽力地划。或者更形象地比喻为鱼儿在急流中逆水而游，它们尽力地游才能不被水冲走，但要越过浅滩或暗礁，则要跳跃。种间关系的牵制作用使得物种要获得显著的进化改变相当困难，这是因为在生态系统中物种的进化是相互制约的，物种都在进化。
从短期来看，只要跟得上就能生存下去。但从长远看，一个物种要在生态系统中获得有利地位就要比别的物种跑得更快。一个物种若具有较大的进化潜力，就等于在进化赛跑中有超常的速度。长远来看，竞争的胜利者不是看当前的适应，而是看能否获得超出其他物种的进化能力。竞争的胜利者是那些获得超出其他物种的进化能力的。当前的适应并不能保证未来的成功，具有大的进化潜力的物种才能获得长远的成功。红皇后假说与物种选择说结合起来，可以解释具有进化功能的遗传结构起源。
传统的进化论强调生物系统适应物理环境的过程，其动力学过程有背后的“势”函数来控制。而真实的生物进化，是由物理环境和生物环境共同决定。但是，如何考虑复杂的生物环境的影响，一直是传统进化论中没有解决的难题。该研究通过引入“流”的概念，揭示和量化了生物相互作用所导致的进化驱动力。在新理论中，进化过程中形成的“势”与“流”好比是进化驱动力的“阴阳”两面，类似于量子世界中的波粒二象性，或者是决定电子运动的电场与磁场。该研究发现，同种群或种群间生物个体的相互作用会导致“流”的产生，即使物理环境保持不变，在“流”的驱动下进化可以永无止境。
各种视错觉~
许多纵向排列，有渐层，锐角为30至40度的菱形，乍看一下各菱形有不同的明暗，而其实各个菱形的颜色和明暗度都相同。
脑内类似面部神经元的汉字神经元，长时间看一个汉字，汉字神经元就会产生疲劳，便会影响感官机能，这时熟悉的字，人也会对其形态产生怀疑而觉得不像甚至变得不认识了
两条平行线看起来中间部分凸了起来
两条平行线看起来中间部分凹了下去
许多纵向排列，有渐层，锐角为30至40度的菱形，乍看一下各菱形有不同的明暗，而其实各个菱形的颜色和明暗度都相同。
脑内类似面部神经元的汉字神经元，长时间看一个汉字，汉字神经元就会产生疲劳，便会影响感官机能，这时熟悉的字，人也会对其形态产生怀疑而觉得不像甚至变得不认识了
两条平行线看起来中间部分凸了起来
两条平行线看起来中间部分凹了下去
垂直线与水平线是等长的，但看起来垂直线比水平线长（上图）
左边中间的线段与右边中间的线段是等长的，但看起来左边中间的线段比右边的要长（上图）
中间的两个圆面积相等，但看起来左边中间的圆大于右边中间的圆（上图）
间的两个三角形面积相等，但看起来左边中间的三角形比右边中间的三角形大（上图）
这三个圆弧看起来弯曲度差别很大，但实际它们完全一样，只是下面两个比上面那个短一些。视觉神经末稍最开始只是按照短线段解释世界。当线段的相关位置在一个更大的空间范围延伸概括后，弯曲才被感知到。所以如果给定的是一条曲线的一小部分，你的视觉系统往往不能察觉它是曲线（上图）
前提为两条长度相等的线段，假如一条线段两端加上向外的两条斜线，另一条线段两端加上向内的两条斜线，则前者要显得比后者长得多。（上图）
透视错觉
两条红线完全等长。透视的运用大大地增强了传统的米勒·莱尔幻觉版本的效果（上图）
图中的正方形确实是一个完好的正方形，是放射线歪曲了人对线条和形状的感知。它虽被称作奥毕森幻觉，其实它是黑林幻觉的一个变体。（上图）
盯着图中的黑点看，等进度条满了的时候，你会发现黑白图片变成了彩色图片。（上图）
盯着彩图中的红点看十秒，然后你会发现神奇的一幕。（上图）
缺8数在乘1至81中的9的倍数可以得到“清一涩”，例如：
12345679×9=111111111
12345679×18=222222222
12345679×27=333333333
12345679×36=444444444
12345679×45=555555555
12345679×54=666666666
12345679×63=777777777
12345679×72=888888888
12345679×81=999999999
“缺8数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿3的倍数与它相乘，发现乘积竟“三位一体”地重复出现。例如：
12345679×12=148148148
12345679×15=185185185
12345679×57=703703703
当乘数不是3的倍数时，此时虽然没有“清一涩”或“三位一体”现象，但仍可看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同。缺什么数存在着明确的规律，它们是按照“均匀分布”出现的。另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。
让我们看一下乘数在区间【10—17】的情况，其中12和15因是3的倍数，予以排除。
12345679×10＝123456790（缺8）
12345679×11＝135802469（缺7）
12345679×13＝160493827（缺5）
12345679×14＝172839506（缺4）
12345679×16＝197530864（缺2）
12345679×17＝209876543（缺1）
乘数在【19—26】及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。
乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，但也不能多吃多占，真是太有趣了！
12345679×9=111111111
12345679×18=222222222
12345679×27=333333333
12345679×36=444444444
12345679×45=555555555
12345679×54=666666666
12345679×63=777777777
12345679×72=888888888
12345679×81=999999999
“缺8数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿3的倍数与它相乘，发现乘积竟“三位一体”地重复出现。例如：
12345679×12=148148148
12345679×15=185185185
12345679×57=703703703
当乘数不是3的倍数时，此时虽然没有“清一涩”或“三位一体”现象，但仍可看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同。缺什么数存在着明确的规律，它们是按照“均匀分布”出现的。另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。
让我们看一下乘数在区间【10—17】的情况，其中12和15因是3的倍数，予以排除。
12345679×10＝123456790（缺8）
12345679×11＝135802469（缺7）
12345679×13＝160493827（缺5）
12345679×14＝172839506（缺4）
12345679×16＝197530864（缺2）
12345679×17＝209876543（缺1）
乘数在【19—26】及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。
乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，但也不能多吃多占，真是太有趣了！